浙江省丽水市2022-2023学年高二上册期末考试数学试卷（含答案）

浙江省丽水市2022-2023学年高二上册期末考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知过点A(1，a)，A．−23 B．23 C．3 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5A．65 B．75 C．80 D．853．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OCA．14a+C．−14a4．若圆C1：x2+A．－1 B．1 C．1或4 D．45．已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是（）A．若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥αB．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则aC．若a//α，b//β，α//βD．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a6．已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB=2A．π6 B．π3 C．2π37．设a=13，b=2lnA．c>b>a B．c>a>b C．a>b>c D．a>c>b8．在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等边三角形，若二面角P−AB−C的大小为120°，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A．13π9 B．26π9 C．52π9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列求导数的运算正确的是（）A．(x3−C．(xex)10．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为qA．q=B．若{anC．aD．若{an}为递减数列，当且仅当n=311．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，A．若t=1，则A1B．若t=1，则过点M，P，Q的截面面积是9C．若t=12，则点AD．若t=1212．已知抛物线C：y2=4x，点A(−1，0)，B(0，m)(m≠0A．焦点坐标为(B．向量OP与OM的数量积为5C．直线MN的斜率为mD．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知点A(0，1，0)，B14．在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点P在圆O15．若曲线y=lnx+ax在x=1处的切线经过点P(216．一个圆锥母线与底面所成的角为30∘，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为17．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10=．（1.118．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．已知函数f(x)=x（1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数f(x)有三个零点，求a的取值范围．20．已知圆C经过点A(1，2)和B（1）求圆C的方程；（2）过点D(−3，1)作直线l21．设正项数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）若bn=3n−1，求数列{a22．如图，在四边形ABCD中（如图1），∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，BC=CD，E，F分别是边BD，CD上的点，将△ABC沿BC翻折，将△DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）（1）求证：CF⊥PB；（2）求二面角P−EF−B的余弦值．23．已知双曲线M：x2−y23=1，在双曲线M的右支上存在不同于点A(2，3)的两点P（1）求k的取值范围；（2）若△OPQ的面积为6（O为坐标原点），求直线PQ的方程．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题意，得a−(−3)1−2故答案为：A.

【分析】根据斜率的定义求解．2．【答案】D【解析】【解答】设等差数列{an}的公差为d，

由题意可得a5=a1+4d=7a10=a1+9d=22，解得a13．【答案】C【解析】【解答】如图所示：

因为M为OC1的中点，

所以CM→=124．【答案】D【解析】【解答】圆C1：x2+y2=4的圆心C10，0，半径r1=2，

圆C2：x2+y2−2mx+m2−m=0，即为x-m2+5．【答案】B【解析】【解答】对于A：若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，

由线面垂直的判定定理可知：当a、b相交才有l⊥α，故A错误；对于B：若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥对于C：若a//α，b//β，α//β，则对于D，若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a，α的位置关系有：平行、相交和直线在平面内，故D错误.故答案为：B.

【分析】对A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的性质分析判断；对于C：根据面面位置关系分析判断；对于D：根据线面位置关系分析判断.6．【答案】B【解析】【解答】如图，过点A做平面O1∵O1O2⊥O1D//O2A，由题意可知AB=2，AD=1，在Rt△ABD中，DB=A在等腰△O由余弦定理cos∠D∠DO1B=2π3故答案为：B.

【分析】如图，过点A做平面O1的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，易得∠DO1B或其补角为O27．【答案】B【解析】【解答】因为b=2ln令g(x)=x−ln(x+1)，x>0，则g'(x)=1−1x+1=xx+1>0当x>0时恒成立，

所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=0，

可得所以函数f(x)在(0，π2)上单调递增，则f(x)>f(0)=0，

可得x>sinx，x∈0，π2，

当x∈(0，1)，则sinx∈因为13∈(0，1)，所以13又因为c=12ln因为8>e2，可得c>a，

综上所述：故答案为：B.

【分析】构建g(x)=x−ln(x+1)，x>0，f(x)=x−sinx，x∈0，π2，利用导数判断单调性可得当x∈(0，1)8．【答案】C【解析】【解答】设△ABC的外接圆的圆心为G，取AB的中点D，则DG=13CD=33，

过D作DO⊥平面PAB，过G作GO⊥平面ABC，DO∩GO=O，可知OG⊥CD，则O为四面体PABC的外接球的球心，又因为二面角P−AB−C的大小为120°，则∠ODG=120°−90°=30°，则在Rt△ODG中，OD=DGcos设四面体PABC的外接球的半径为R，则R2所以四面体PABC的外接球的表面积为4πR故答案为：C.

【分析】根据题意结合外接球的性质作出球心的位置，根据二面角P−AB−C可得∠ODG=30°，进而可得OD=29．【答案】A,C【解析】【解答】对于A：(x3−1x)'=3x2+1x2，故A正确；

对于B：(ln10．【答案】B,C【解析】【解答】因为数列{an}为正项等比数列，则an>0，q>0，

由题意可得：a1a5=a2a4=4a2+a4=5，解得a2=1a4=4或a2=4a4=1，

若a2=1a4=4，即a2=a1q=1a4=a1q3=4，解得a1=12q=2；

若a2=4a4=1，即a2=a1q=4a411．【答案】B,D【解析】【解答】如图所示，若t=1，则M与A重合，对于A：延长PQ交BB1于L，连接AL，

若A1B1∥平面MPQ，A1B1⊂平面AA1B1B，且平面AA1对于B：连接AD1，D1Q，

因为P，Q分别是棱BC，CC1的中点，则PQ∥BC1，PQ=12BC1

又因为AD1∥BC1，如图所示，若t=12，则M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，则M(2，1，0)，P(1，2，0)，Q(0，2，1)，A可得MP→设平面MPQ的法向量为n→=(x，y，z)，则令x=1，则y=z=1，可得n→对于C：点A1到平面MPQ的距离是n对于D：设AB与平面MPQ所成角为α∈0，π2，

则sinα=cosn→故答案为：BD.

【分析】对于A：根据线面平行的判定定理与性质定理分析判断；对于B：根据平行关系可知平面APQD1即该截面，且该截面为等腰梯形，结合梯形面积运算求解；对于C、D：以D为中心建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离和线面夹角.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A：因为抛物线C：y2=4x，所以抛物线标准方程可得焦点F(1，0)，故A错误；对于B：设直线AP方程为：x=ty−1，P(y12联立方程x=ty-1y2=4x，消去x得y2−4ty+4=0，

则∆=16t2所以OP→对于C：设直线QP方程为：x=ky−km，Qy联立方程x=ky-kmy2=4x，消去x得y2−4ky+4km=0因为y1⋅y2=4所以kMN对于D：若PQ过焦点F，由选项C可得km=−1，

则y1⋅y3=−4所以kAP+kAQ=故答案为：BCD.

【分析】对于A：根据抛物线方程可得p=2，进而可得焦点；对于B：设直线AP方程为：x=ty−1，P(y124，y113．【答案】(−1【解析】【解答】设C的坐标为x，y，z，则AC→=x，y-1，z，AB→=2，2，2，

因为AC→=−12AB→=-1，-1，-1，可得x=-1y-1=-1z=-1，即14．【答案】(x−2)【解析】【解答】因为圆O：x2+y2=9的圆心为O，半径为3，

如图所示，取OA中点D，连接DQ，则D(2，0)，

可知点Q的轨迹为以D为圆心，半径为3的圆，所以Q的轨迹方程为(x−2)故答案为：(x−2)

【分析】取OA中点D，连接DQ，根据题意可得DQ=15．【答案】−【解析】【解答】因为y'=1x+a，则y|x=1=a，y'|由题意可得：0−a=(1+a)(2−1)，解得a=−1故答案为：−1

【分析】根据导数的几何意义求切线方程为y−a=(1+a)(x−1)，进而代入点P(16．【答案】8【解析】【解答】如图，对于圆锥SO，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB，设E为AB的中点，

则OE⊥AB，SE⊥AB，∠SAO=30°，SO=33则圆锥的体积为13π⋅OA可得SO=2，AE=OA2−OE2=12−OE所以S△SAB故答案为：8.

【分析】根据题意可知OE⊥AB，SE⊥AB，∠SAO=30°，SO=33OA，结合体积关系可得OA=23，17．【答案】1472【解析】【解答】由题意可得cn+1整理得cn+1−1000=1.1(cn−1000)，

可知数列cn−1000是以首项c1-1000=200所以c10故答案为：1472.

【分析】由题意可得cn+1−1000=1.1(cn−1000)，可知数列cn−1000是以首项c18．【答案】13【解析】【解答】设椭圆的左焦点为F'，|FQ|=m因为PF=4FQ，则由椭圆定义可知：QF又因为|OP|=|OF|，可知∠FPF在Rt△PQF'中，可得PF'2+PQ2=则|PF'|=45a，|PF|=65a，

在Rt△PFF'所以椭圆的离心率是e=c故答案为：135

【分析】设椭圆的左焦点为F'，|FQ|=m，由椭圆定义可知：QF'=2a−m，|PF'|=2a−4m19．【答案】（1）解：函数f(x)=x3−3x+a(a∈R)当x⟨−1，x⟩1时，当−1＜x＜1时，f'所以f(x)的单调递减区间为(−1，（2）解：由（1）得：当x=−1时，f(x)取得极大值f(−1)=a+2；当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=a−2.由三次函数性质知：当x→−∞时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞.所以若f(x)有三个零点，则a−2＜0a+2＞0，解得−2<a<2所以a的取值范围为(−2，【解析】【分析】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性；

(2)结合(1)中的单调性，可知原函数的极值，结合三次函数性质知可得结果.20．【答案】（1）解：∵A(1，2)，B∴AB的垂直平分线为：y−0=−1由y=x−32x+y=0解得圆心C(故圆C的方程为(x−1（2）解：若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=k(x+3)，即kx−y+3k+1=0圆心C(1，−2)到直线l所求的一条切线为7x−24y+45=0；当直线l的斜率不存在时，圆心C(1，−2)所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．【解析】【分析】(1)根据圆的性质，先求AB的垂直平分线方程y=x−3，进而可求圆心和半径，即可得圆的方程；

(2)分类讨论直线l的斜率是否存在，结合切线的性质运算求解.21．【答案】（1）解：当n=1时，a12+2当n≥2时，an−1则an化简得(a又an>0，所以an所以数列{a所以an（2）解：因为an=2n−1，所以an所以Tn13所以Tn所以23整理得Tn【解析】【分析】(1)根据Sn与an的关系，可得数列{an}22．【答案】（1）证明：∵平面PBC∩平面BCFE=BC，平面PBC⊥平面BCFE，又∵FC⊂平面BCFE，且FC⊥BC∴FC⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，∴FC⊥PB（2）解：取BC中点O，连接PO，∵PB=PC，∴PO⊥BC∵平面PBC∩平面BCFE=BC，平面PBC⊥平面BCFE，PO⊂平面PBC∴PO⊥平面BCFE以C为