广东省佛山市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

广东省佛山市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．如图，直线l的倾斜角为（）A．π4 B．π3 C．3π42．已知向量a=(4，−2，3)，bA．2 B．-2 C．143 D．3．已知圆的一条直径的端点分别为P1(2，A．(x+3)2+(y+4)C．(x+3)2+(y+4)4．已知向量a=(1，0，3)，A．(15，25，0) B．5．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则nA．4 B．5 C．12 D．156．已知直线l1：x+2ay−1=0与lA．16 B．12 C．0或16 D．7．过点M(2，1)作斜率为1的直线，交双曲线A．62 B．3 C．22 8．在两条异面直线a，b上分别取点A1，E和点A，F，使AA1⊥a，且AA1⊥b.已知A1E=2，AF=3A．π6 B．π3 C．2π3二、多选题9．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n(Ω)=18，n(A)=9，n(B)=6，n(A∪B)=12则（）A．事件A与事件B互斥 B．P(C．事件A与事件B相互独立 D．P(10．已知曲线C的方程为x225−k+A．半径为17的圆B．焦点在x上的椭圆，且长轴长为25−kC．等轴双曲线D．焦点在y上的双曲线，且焦距为211．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线l的垂线，垂足分别为A'A．OA⊥OBB．若|AF|=5，则A的纵坐标为4C．若AF=2FBD．以A'12．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．B1D⊥平面A1EF B．平面C．点О到直线A1E的距离为26 D．点O到平面三、填空题13．从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.14．如图，在空间平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点.设AA'=a，AB=b15．已知F是双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的右焦点，Р是C的左支上一动点，16．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝F2，与影片门F1应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C：x24+y23=1，椭圆的左右焦点分别为F1，F2四、解答题17．△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(3，（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；（2）求△BCM的面积.18．每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为23，乙每轮答对的概率为p，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为5（1）求p的值；（2）求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P（1）求C的方程；（2）若斜率存在且不为0的直线l经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.20．如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，AE=ED=DC=（1）若AB=1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为π421．党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.22．已知过原点的动直线l1与圆C：x（1）求线段AB的中点M的轨迹Γ的方程；（2）若直线l2：y=kx上存在点P，使得以点Р为圆心，2为半径的圆与Γ

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意可知：直线l的倾斜角为π4的补角，即为3π故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的求解方法和两角互补的关系，进而得出直线l的倾斜角的值。2．【答案】A【解析】【解答】∵a⊥b，∴4×1+(−2)×5+3x=0，解得x=2故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出实数x的值。3．【答案】D【解析】【解答】由题意可知，圆心为线段P1P2圆的半径为|CP故所求圆的方程为(x−3)2故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合中点坐标公式得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程。4．【答案】C【解析】【解答】由题意可得：a⋅故b在a上的投影向量为a⋅故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出b在a上的投影向量。5．【答案】A【解析】【解答】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是13则6×5(6+n)(5+n)解得n=4（负值舍去）.故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出n的值。6．【答案】C【解析】【解答】由已知可得2a(3a−1)=−a3a−1≠1，解得a=0或1故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等、纵截距不等，进而得出实数a的值。7．【答案】B【解析】【解答】设点A(x则有y12a由已知y1∴24=∴1得c故答案为：B

【分析】利用已知条件结合代入法和双曲线的标准方程，再结合直线与双曲线相交，联立直线与双曲线的方程，从而结合韦达定理和作差法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，c的关系式，再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。8．【答案】B【解析】【解答】如图，设两条异面直线a，b所成的角为θ(0<θ≤π∵AA1⊥a，AA1⊥b，A1∴EF则EF∴5得cosθ=12∴θ=故答案为：B

【分析】设两条异面直线a，b所成的角为θ(0<θ≤π2)，再利用AA1⊥a，AA1⊥b，A1E=29．【答案】B,C【解析】【解答】由题意可得：P(A)=n(A)n(Ω)=∵n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(AB)，∴n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∪B)=3≠0，即事件A与事件B不互斥，A不符合题意；可得：n(A故P(AB)=n(AB)可知B符合题意，D不符合题意；又∵P(AB∴事件A与事件B相互独立，C符合题意；故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合互斥事件的定义、独立事件的定义、互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式，进而找出正确的选项。10．【答案】A,D【解析】【解答】对于A选项，若曲线C为圆，则25−k=9+k25−k>0，解得k=8此时，曲线C的方程为x2+y对于B选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则25−k>9+k9+k>0，解得−9<k<8此时，椭圆C的长轴长为225−k对于C选项，若曲线C为等轴双曲线，则25−k+9+k=0，无解，C不符合题意；对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则9+k>025−k<0，解得k>25此时，双曲线C的焦距为29+k+k−25故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合圆的定义、椭圆的定义、椭圆的长轴求解方法、等轴双曲线的定义、双曲线的焦距求解方法，进而找出正确的选项。11．【答案】B,C,D【解析】【解答】由题意可得：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，设直线AB为x=my+1，A(y联立方程x=my+1y2=4x则Δ=16m对A：∵OA=(∴OA⋅∴OA，对B：∵|AF|=y124+1=5∴A的纵坐标为4，B符合题意；对C：∵AF=(1−y1∴−y1=2y2，则−故直线AB的斜率k=1对D：∵y1∴A'B'的中点M(−1又∵|MF|=4+4故以A'故答案为：BCD.

【分析】由题意结合抛物线的标准方程可得抛物线C：y2=4x的焦点坐标和准线方程，设直线AB为x=my+1，A(y124，y112．【答案】B,C【解析】【解答】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：A(1，设平面A1EF的法向量为由A1F=(−1令x=2，则y=4，z=3，则设平面ACD1的法向量为由AC=(−1，1令a=1，则b=c=1，则m=(1对A：∵DB1=(1，1，1)∴B1D不与平面对B：∵21≠41≠∴平面ACD1与平面对C：∵A1O=(0，1∴sin⟨故点О到直线A1E的距离为对D：点O到平面A1EF的距离为故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合线面垂直的判定定理、两平面相交的位置关系、点到直线的距离公式、点到平面的的距离公式，进而找出正确的选项。13．【答案】3【解析】【解答】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：(4，中能构成三角形的有(4，这三条线段能构成一个三角形的概率为34故答案为：34

【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出这三条线段能构成一个三角形的概率。14．【答案】a【解析】【解答】由题意可得：BM=故答案为：a−

【分析】利用已知条件结合三角形法则、向量共线定理，进而结合平面向量基本定理，从而得出BM→15．【答案】y=±【解析】【解答】由题意可得A(0，23由双曲线的定义可得|PF|−|PF|PF|=2a+|PF'|则△APF的周长为|PA当且仅当A，P，由题意可得2a+212+c解得a=1，则渐近线方程为y=±故答案为：y=±3

【分析】由题意可得A(0，23)，F(c，0)，设F'(−c16．【答案】4x−2y−1=0【解析】【解答】如图，设∠F1PF2的角平分线与x∴cos设PF则cos∠F∴PF12又∵cos∠F1∴cos∠PQ∴sin∠PQ当x=1时，14+y23∴lPQ故答案为：4x−2y−1=0

【分析】设∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q，利用已知条件结合同角三角函数基本关系和∠F1PF∈(0，17．【答案】（1）解：由题意可知：AB的中点M为(2，则边AB上的中线CM所在直线的方程为y−15−1=x−2（2）解：由（1）可得：|CM|=(4−2)2+(5−1)2故△BCM的面积S=1【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出点M的坐标，再利用两点式得出边AB上的中线CM所在直线的方程，再转化为边AB上的中线CM所在直线的一般方程。

（2）利用已知条件结合两点距离公式和点到直线的距离公式，再结合三角形的面积公式得出三角形△BCM的面积。18．【答案】（1）解：设事件A=“甲第一轮猜对”，事件B=“乙第一轮猜对”，事件C＝“甲第二轮猜对”，事件D=“乙第二轮猜对，∴甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为P=P解得p=34或∴p=3（2）解：三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率P=【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而得出p的值。

（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率。

19．【答案】（1）解：根据椭圆对称性，点P3(1，则P1(−1，∴1a所以C的方程为x（2）证明：由（1）得右焦点F(1，设直线l：x=ty+1，t≠0，A(联立x24+y2则y又直线BD：令y=0得x=又y即y=0时，x=4，直线BD过x轴上的定点(4，【解析】【分析】（1）根据椭圆对称性，点P3(1，32)，P4(1，−32)必在椭圆上，则P1(−1，1)不在椭圆上，P2(0，3)在椭圆上，再利用代入法和椭圆的标准方程，进而得出a，b的值，从而得出椭圆C的标准方程。

（2）由（1）得出右焦点坐标，设直线l：x=ty+120．【答案】（1）解：由题意可知：AB⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE=AC，可得AB⊥平面ACDE，如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则C(2，且平面ACDE的一个法向量为m=(0若AB=1，则B(0，1，∵cos⟨BD与平面ACDE所成角的正弦值为12（2）解：设B(0，a，∵CD=(−12令x=3a，则y=23，z=a设平面BDE的法向量n2∵DE=(−1，0令y0=3，则x0=0由题意可得：|cosn1，nAB的长为62【解析】【分析】（1）由题意可知：AB⊥AC，再利用平面ABC⊥平面ACDE结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以AB⊥平面ACDE，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用已知条件得出点的坐标，再结合平面的法向量求解方法，进而得出平面ACDE的一个法向量，若AB=1，则B(0，1，0)，再结合向量的坐标表示得出BD=(3221．【答案】（1）解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点C(0，4)、B(8，设圆心坐标为(0，b)，设圆的半径为r，则圆弧AB所在圆