2022年新高考数学基础训练第05讲 指对幂函数运算与性质(提升训练)(解析版)

第05班指对累函数运算与性质

【提升训练】

一、单选题

L已知〃=10832/=卜24=8%吟3,则。c的大小关系为（）

A.a<b<cB,b<c<a

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【分析】

利用对数函数的单调性得到0<log2^<log23,利用换底公式转化可得到a<b<\,利用指数对数的运算法则将

化简得到3为底的累，可以判定c>l,从而得到ahc的大小关系.

【详解】

11

解：V0<log26,<log23,--------------,HPIn2>log32,*,a<b<\,

log2elog23

•/c=88口=Q喝3）1=3：〉3。=i,

・'.a<b<c.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.关于不同底数的对数的大小比较，

常常是利用换底公式转化为同底数的对数进行比较，对于指数，对数式之间的比较大小，常常是利用中间

值，比如常见的1,0等比较大小.

2.若等比数列｛%｝中的《，。2017，是方程/-dr+BuO的两个根，则Iog34+log34+log3a3+

…+log3〃2021=（）

20222021

A.-----B.1010C.-----D.1011

32

【答案】C

【分析】

根据等比数列性质求出Q2,再利用对数的运算性质化简对数即得解.

U10ll=3。

【详解】

由题得％。2017=3，

根据等比数列性质知：=。2a2020=…=4010。1012=《0114）11=3,

于是叫=31

12021

100

则%+log3%+晦％+••+log3出⑼=噫（4咏•••%）=log33'・3万=亍，

故选：C

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键有两点，其一，是求出々=3；：其二是化简对数式.

£*1011J

3.数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.

根据香农（舫刖咐公式C=Wlog20+J式中W是信道带宽（赫兹）.s是信道内所传信号的平均

功率（瓦），C是数据传送速率的极限值，单位bit/s一是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：

N

CC

7=1000,即信号功率是噪声功率的1000倍）,讨论信噪比时，常以分贝（dB）为单位即SNR=101gR（信

噪比，单位为dB）.在信息最大速率C不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽（W）的

方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比SNR=3MB的环境转到SNR=0dB的环境，则信号带宽

（W）大约要提高（）

（附：42。0.3）

A.10倍B.9倍C.2倍D.1倍

【答案】B

【分析】

依题意，分别求出力=10'#=1,进而可得叱alOW「

【详解】

S/VR=30dB=l°lg今=>lg今=3=>今=1。3

S/VR=0dB=1。怆*=但去=0=£=1。°=1,

所以,

C=^log21+^-3

=^log2(l+10)

=叱log?(1+10°)=吗

C=W,log21+

IVz、lg(l+10。

所以京=log20+l03)=«—=10*所以w,*0叱，即大约提高9倍.

坨20.3

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：在求费时，馆(1+103)°吆1()3=3是解决本题的一个关键

4.若〃=&,b=log420,c=log630,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】

根据对数运算得b=log420=l+log45〉2,c=log630=l+log65<2,l+log65>

1+log6R=\5>®,故b>c>a.

【详解】

依题意,Z?=log420=l+log45>2,c=log630=l+log65<2,故b>c,

又1+Iog65>l+k)g6#=L5>VL故c>〃，

所以Z?>C>4.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数式的大小比较，对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据对数运算

化简，并借助中间量L5,2实现大小比较.

5.若正实数。，〃满足log2。一一—=21ogZ?-----,则()

〃+142b+1

A.a>2bB.a<2bC.b>2aD.b<2a

【答案】R

【分析】

构造函数f(x)=log2X--L，根据其在xe(。，”)上单调递增，将条件变成函数值关系，从而求得自变

x+1

量大小关系.

【详解】

由复合函数单调性知，/(X)=10g,X一一在XW(0,48)上单调递增，

X+1

则/(〃)=log,4-一，/(2Z?)=log22/?--!—=21og4+1,

。+12^+12b+l

又log2a-----；=2log4b-——

因此/(。)</(2/，则〃<2Z?

故选：B

【点睛】

关键点点睛：将条件变成函数f(x)=log,x--匚的两个变量的大小比较，则只需判断出函数单调性即可.

6.已知函数〃若Qu/jlogA,/?=/(log56),c=/(log64),则。，瓦c的大小关系正确

的是()

A.b>a>CB.a>b>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答窠】B

【分析】

先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较

法进行判断即可.

【详解】

因为“一力=1+"=，(%)，所以/⑶为偶函数，

r(…一

当x〉0时，r(x)>0,函数单调递增，当x<0时，/'(x)vO,函数单调递减,

a=/0og4[=/(-log45)=/(log45),Z?=/(log56),c=/(log64),

因为Ig4+lg6>2，lg4」g6,

故Ig41g6<J=等<]竽j=(lg5)2

lg5lg6Ig25-lg41g6

log5-log6>0

45ig4运一—Ig41g5

所以log45>log56>1>log64>0,则a>Z?>c.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：对于判断函数值大小问题一般从判断函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性入手.

7.设实数a,b满足5“+11〃=18“，7"+9"=15"，则〃，b的大小关系为()

A.a<hB.a=bC.a>hD.无法比较

【答案】A

【分析】

从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.

【详解】

假设则11。之1-,7"之7”，

由5"+1代=18。得5"+11”N18"n(4)"+(—)a21，

1818

因函数/(x)=(―)'+(2)”在R上单调递减，又/⑴=7^+7^=u<1,则/(。)21>/(0，所以〃<1；

1010101010

7o

由7"+y=15“得7"+9'Y15〃=(—/+(—/<1,

797916

因函数g(x)=(«)'+(«)'在H匕单调递减，又且6=6+«=«>1,则83)«1<8(1),所以人>1；

即有avl<b与假设矛盾，所以。<人，

故选：A

【点睛】

思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推

理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.

8.已知函数/（力是定义在区间（Y）,0）U（0，f8）上的偶函数，且当无«0,48）时，

21Tn<v<2I

/（x）=.二,；，则方程/（力+3/=2根的个数为（）

x>28

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

v2

将问题转化为f（x）与y=2■的交点个数，由解析式画出在（0,+8）上的图象，再结合偶函数的对称性即

可知定义域上的交点个数.

【详解】

12

要求方程〃力+三%2=2根的个数，即为求/（"）与y=2-二的交点个数，

88

・••在（・？，0）上也有3个交点，故一共有6个交点.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：将问题转化为/3）与y=2的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的

个数.

9.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量尸会按确定的比率衰减（称为衰减率），尸与死亡年数f之间的

函数关系式为P=g）1其中。为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若

2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于（）参考数据：

log20.79«-0.34.

参考时间轴：

A.战国B.汉C.唐D.宋

【答案】B

【分析】

I

根据“半衰期”得。=5730,进而解方程079=（小丽得八一1948.2,进而可推算其所处朝代.

【详解】

5730

由题可知，当1=5730时，P=—，故2_=门_]丁，解得a=5730,

22⑴

所以P=（gj73。，所以当p=o.79时，解方程0.79=（小.，

两边取以2为底的对数得log20.79=log[g）573°=-±-«-0.34*解得，*一1948.2,

所以2021—1948.2=72.8£（—202,220）,

所以可推断该文物属于汉朝.

故选：B

【点睛】

本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得

〃=5730,进而解方程0.79=(口疝

(1Y1，则旗+噌卜同+f电的值为(

10.已知函数/(x)=l+ln——(。＞0),若/)

1-x

A.2B.4C.0D.-2

【答案】B

【分析】

由=求出f(x)=l+ln」.

1—x

利用看,超>。且内+占=1时，/(X)+/(Z)=2+Inf即可求解.

【详解】

由=1,可得l+lna=l,故a=l,即〃x)=l+ln」一

1—x

中2

注意到当司占＞0且%+七=1时，fM+f(X2)=2+ln=2,所以

故选：B.

【点睹】

对于多个函数值求和问题，先研究函数的性质再整体计算.

11.定义在(0,+e)上的函数/(力满足^'(工)一1>0,/(4)=21。2,则不等式/(/)</的解集为()

A.(0,2In2)B.(―,21n2)C.(21n2,-H»)D.(L21n2)

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=/(x)—lnx,xe(0,-Ko),先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不

等式为gS)<g(4)，根据单调性解不等式即可.

【详解】

设g(x)=/(x)Tnx,XG(O,+<X>),则g<x)=八力」="("-1>0,

XX

故g(%)在(0,+巧上单调递增，g(4)=/(4)-ln4=21n2-21n2=0,

不等式O<x,即-Ine'vO,即g(e")<g(4),根据单调性知0<然<4，

即,<4=*4,得4<ln4，即x<21n2,故解集为(9,21n2).

故选：B.

【点睛】

思路点睛：

利用导数解不等式时，常常要构造新函数，新函数一方面与已知不等式有关，一方面与待求不等式有关,

再结合导数判断单调性，利用单调性解不等式.

/1V

--4X<-1「r

12.已知函数/(司=八2；1'_,若/[〃切<0,则工的取值范围为()

ln(x+l),x>-1

A.(-2,0)B.卜

C.12/一1D.

【答窠】D

【分析】

先由『[/(X)]〈。可得出一2</(工)<0,然后再分xK—1、x>—l两种情况解不等式一2v/(x)<0,

即可得解.

【详解】

(I、/(X)

则/[/("]=目一4<0,解得。(力>-2,此时，-2</(x)<-l；

若〃力>-1,则/[/(切=ln[f(x)+l]vO,可得Ov/(x)+lvl,解得一lv〃x)vO.

综上，—2vf(x)v0.

若xw-l,由一2</(x)<0可得一一4<0,可得<4,解得-2VXV-1,此时-2VXVT；

12J12J

若%>-1,由-2v/(x)v0可得一2vln(x+l)v0,可得勺<1+1<1,解得，■一1cx<0,此时，

—2—1<x<0.

e

综上，满足/[/(力]<0的工的取值范围为(一2,-1)^(5-1,01

故选：D.

【点睛】

思路点睛：涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量的取值不确定时，往往要

分类讨论求解；当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时，只需根据自变量的情况直接代入相应解析

式求解.

13.已知实数。，b,。满足0.4"=2,0.2'=5,0.5*=0.4,则4+力+c+'+?+!=()

abc

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】

先利用指数式与对数式的互化关系表示出。，b,c,进而得到,，7,再根据换底公式和对数的运

abc

算法则即可得结果.

【详解】

•••0.4“=2,0.2"=5,0.5。=0.4,

a=log042,b=log025,c=log050.4,

A-=log0.4,-=log0.2,-=log0.5,

a2b5c04

**•a++---1---1—=log。42+log。,5+log。50.4+log20.4+logs0.2+log。4。.5

abc

=log”2+log040.5-1+log20.4+logos。-4-1=log04=

故选：C

【点睛】

本题考查指数与对数互化，对数运算，考查运算求解能力、逻辑思维能力，试中档题.需要指出，涉及指数

式与对数式的运算时，常常进行指数式与对数式的互化，然后利用指数的运算性质和对数的运算性质、换

底公式进行化简，要注意对数运算性质的正确运用.

14.已知xw(l,2),a=2',力=(2、/，。=22*,则仇c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】

根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当xt(l,2)时f,2x,2'的大小，利用特值法即可求得结果.

【详解】

因为力=(2'丫=22',函数y=2"是单调增函数，

所以比较小b,c的大小，只需比较当xw(1.2)时父,2苍2工的大小即可.

用特殊值法，取x=1.5,容易知Y=2.25,2x=3,2'=2’，

再对其均平方得(Y丫=2.252=5.0625,[2x)2=9,(2»=23=8,

显然(2x)2=9>(2V)2=23=8>(X2)2=2.252=5.0625,

所以2x>2'>x?,所以6>。。

故选：B.

【点睛】

本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较

当工£(1,2)时f,2x,2'的大小，再通过特殊值法即可得答案.

15.已知〃=0.3-脸叱/?=log32,c=log3020,则()

A.a<b<CB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

先利用对数的运算和性质比较。口的大小，再作差比较加c大小即得解.

【详解】

-,O8aje

•.•a=0.3b=log32>log36=一，

e22

:.a<b\

lg2lg20l+lg2

•・•b=log2==

3lg3lg30-l+lg3

一错告法备。:.b<c,

:.a<b<c,

故选：A.

【点睛】

方法点睛：比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“3”比，再和特殊值比较，最后利用作差法比较.要根

据已知条件灵活选择方法求解.

16.函数f(x)=x+ln|x|的图象大致是()

【答案】D

【分析】

确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由x>0时的单调性排除一个选项，得正确选项.

【详解】

易知/(x)=x+ln|x|是非奇非偶函数，所以排除选项A,C；

当Q。时，/㈤单调递填所以排除选项B.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

22

17.设。=log48,6=21n2,c=----+-----,则()

3”+13-'+1

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】

根据指数运算与对数运算得c=2,a=|,6=ln4vln/=2,再根据

-==—=log16/>log1616=1即可判断a，进而得答案.

b21n4lnl61616

【详解】

2222-3x

因为cH-----------1-----=2>

3"3-x+l3X+13X+1

33

32

a=嘀8=log222=1log22=pZ?=21n2=ln4<lne=2>

所以色=3Ine3

log16e>logl616=l,

b21n4lnl6

所以C>4>6

故选：A

【点睛】

本题考查指数运算与对数运算比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在

3

于根据指数运算与对数运算化简得c=2,。=7，匕=ln4vln/=2,再作商法比较凡b大小即可.

2

18.已知函数/（幻=,2'工"，若对于任意一个正数。，不等式|/*）一/（0）|＞［在（-。,幻上都有

kx+b,x＜03

解，则％出的取值范围是（）

24

A.kGR,Z?GB.k<O,bw

3,3

C.keR,he—,+coID.k＜0,Z?G^-oo,—I

【答案】A

【分析】

49

由小等式可知，或结合图象，分析可得比,。的取值范围.

【详解】

当工20时，,一1卜；，得2、之：，Vx£（一。,。），不能满足2■1都有解;

当％＜0时,|〃力一1卜;,得〃力＞：或〃力＜'|,

如图，当ANO或女＜0时，只需满足匕或人＜3,满足条件.

33

(2\(4]

所以AeR,be-oo-(J-,+oo时，满足条件.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据不等式成立，求参数的取值范围，本题的关键是利用数形结合理解，分析

19.已知/(无)为定义在R上的偶函数，当尤“时，有〃工+1)=-/(同，且xw[O』)时；

/(x)=log2(x+l),给出下列命题：①/(2013)+/(-2014)=0：②函数)(力在定义域R上是周期为

2的周期函数；③直线丁=工与函数y=/(冗)的图象有1个交点；④函数/(x)的值域为(一1,1),其中正

确命题有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】

由函数关系式及偶函数的性质可知/(x)在xNO、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数

解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.

【详解】

由题设，/(x+2)=-/U+l)=/W，却/*)是周期为2的函数，

令l«xv2,则而工£[0,1)时；/(x)=log2(x+l).

•,*/(x)=-/(x-l)=-log2x.

log2(x+l),0<x<1

・二综上：/(%)=<且在xNO上周期为2.

-log2x,1<x<2

•••/(元)为定义在/?上的偶函数,

log(l-x),-l<x<0

・••在xWO上周期为2且/*)=<2

-log2(-x),-2<x<-l

①/(2013)+“一2014)=/(2013)+42014)=/(1)+/(0)=0,正确:

②函数/(力在定义域R上是周期为2的周期函数，错误；

③直线y=x与函数y=/(x)的图象如下图示，只有I个交点，正确;

④函数/(力如下图示，其值域为(一1』)，正确；

【点睛】

关键点点睛：利用函数关系及偶函数性质，判断函数的周期性及相应区间上的解析式，应用数形结合的方

法判断各项的正误即可.

20.若存在TF数x使，成立,则。的取值范围是()

A.(-co,4-oo)B.C.卜8」-1)D.(-oo,-l)

【答案】B

【分析】

令y=x+〃，y=e-x,将问题转化为3^>0使y<凹，结合函数图象，即可确定。的取值范围.

【详解】

由题设，知：3c>0使成立，令y=x+a,x,

・•・仅需avl时，在小>0,使得e]*+a)<l成立.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：令丁=%+",将问题转化为两个函数在第一象限内存在yvy,应用数形结合的

思想求参数范围.

21.函数/(x)=sin7ix-logs%的零点的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

在同一-坐标系中画出两个函数的图像可得它们交点的个数，此数即为函数零点的个数.

【详解】

函数/(X)零点的个数就是丁二京口⑪与y=k>gsX的图像交点的个数，在同一直角坐标系中作图，如下，

它们共有5个不同的交点，故/(»零点的个数为5,

故选：C.

【点睛】

方法点睛：函数零点的个数判断，可以依据函数的单调性和零点存在定理，如果函数/(无)比较复杂，则

可以把外力的零点问题转化为S(x)=7(力的方程的解问题，其中/(力=5(力一丁(耳，而后者又可以

看成两个函数y=S(x),y=T(x)图像的交点问题，注意y=S(x),y=T(x)都是常见函数.

/\

22.函数f(x)=ln2-上一小■，则使得“2x)v/(l-x)成立的x的取值范围是()

1

A.B.—00,—

1-43

-00,-11甲,+8

C.UD.

4J(2“扑453；

【答案】D

【分析】

由函数定义域的求解方法可求得“力定义域，由奇偶性定义可知/（x）为偶函数，由单调性性质和复合函

数单调性的判断方法可确定当X；，+8，由偶函数性质知其在（-8,一；）上单调递

时，/（X）单调递增

减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.

【详解】

2-白＞。

1A(1

国得:或x>L1

由，・・./（1）定义域为9、一-(J-

222八12

|%|工0

11=ln2-吉-J,

v/(-x)=ln2-x=f（x），，/（4）为偶函数;

\-\)l+(r『I\A)i+x

当X£(g,+811

时，/(x)=ln2

xl+x2

又y=2」1在惇+oo］上单调递增，在佶,+oo］上单调递增,

xx)2

在（；,+8）上单调递减,+8）上单调递增,

・•・〃力在

又"白

•・•/（》）为偶函数,「ja）在18,-g|

上单调递减;

由〃2力＜/（1_力得：|2才〈|1_元|,解得：-Ivxc；；

(1)(1加D1

又2xe-00,--U一,+00,1-XG-00,-

\2)1212

或u

443

即使得/（2x）</（1-x）成立的x的取值范围为1-1,

45>

故选：D.

【点睛】

易错点点睛：本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单

调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范

围求解错误.

23.已知/（功是定义在（-8,长。）上的偶函数，且在（-8,0］上是减函数，设。=/,b=flog,4,

\/\2>

c=f（亚）,则a,b,C的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

【答窠】D

【分析】

（\

由偶函数得函数在。+8）上递增，b=7|log,4=/（-2）=/⑵，比较自变量的大小后可得函数值大小.

、27

【详解】

因为/“）是定义在（-OO,+8）上的偶函数，且在（YO,0］上是减函数，所以/（X）在［。,+8）上递增，且

b=flog,4=/(-2)=/(2)

22<>/5所以acbvc.

2

故选：D.

【点睛】

方法点睛：本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查对数函数的性质，幕的运算法则.这类问题常常由

奇偶性得出函数的单调性，同时由奇偶性化函数值中自变量的值到同一单调区间上，然后根据指数函数、

对数函数、三角函数等的性质比较自变量的大小，然后由单调性得出结论.

24.下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（）

X0.271.5358

1gX6a-3b-23a-b+c2a-ba+c3-3a-3c

A.lgl.5B.Ig3C.Ig5D.Ig8

【答案】A

【分析】

根据对数的运算法则计算后判断.

【详解】

因为已知式中只有一个对数式错误，

若lg8=3—3a—3c,则lg2=l—。-c,又Ig2+lg5=l—a-c+a+c=l=lglO,正确，

因此1g8,1g5均正确，lg2+lgl.5=l—〃-c+3〃一人+c=2a—力+1,但Ig2+lgl.5=lg3,

因此lgl.5和lg3中有一个错误，

27

lg0.27=lg—=31g3-2=6a-3Z?-2,这样怆0.271g3都不错，只有lgl.5错.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：本题考查对数的运算法则，因此在已知式中两个对数式运算的结果是正确的，这两个对数一定

正确，这样利用对数运算可得结论.

【答案】D

【分析】

根据函数的定义域，排除C,根据x>l时，令/(x)=0,可排除A；根据x-±1时，函数的取值情况,

可排除B,即可求解.

【详解】

由不等式=9~~D(x+1)〉0解得一1vxvO或4>1,

XX

即函数“X)的定义域为(-I,O)U(L+8)，可排除C；

当x>l时，令/(6=0,解得冗=母1,肛2肛…，可排除A；

当x->T时，sinxvO』n(x-,)<0,圻以sinxln(x-,)>0,排除B,

xx

故选：D.

w

26.已知/(x)=x-2,^-/(log3>/5),b-/^log3-ij,c-/(ln3),贝ija,〃，c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】

当xvO时，八幻=汇出<°，据此可得b<o,当K..0时，/(x)=x-2\求出导函数，分析可得f(x)在

[0,48)上为增函数，由此可得进而可得答案.

【详解】

x-2\x.O

解：根据题意，/(x)=x-2w=«

,x<0

当X<0时，/(x)=x•<0,又Iog3：=-log32<0,所以6v0,

当X..0时，f(x)=x-2\导函数/。)=2、%2/〃2>0,所以/(%)在［0,+8)上为增函数，

又1(0)=0,则当％>0时,/(x)>0；

因为OvlogaV历3,所以

综上，c>a>b,

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：当X.0时，利用导数判断函数/(X)的单调性，进而利用单调性比较函数值大小是本题解题的

关键.

27.已知函数/(力=3^1，则不等式〃”)+/(/)>0的解集为()

A.(^O,-I)u(l,+QO)B.(-oo,-2)u(2,+oo)c.(^o,-l)U(2,+oo)D.(^»,-2)u(l,+oo)

【答案】D

【分析】

将f(x)+/(f)>0代入解析式翻译出来化简即可转化为常规的一元二次不等式问题.

【详解】

户卜(会十(

„(小得“I禺I+芸।=’1-1)6—17)+6/)>°

即-l)(ej+l)+(e〜_1卜-1+1)>0

整理得：25十》一2>0,即/+*-2>1=火

所以，/+工一2>0,解得M一2或

故选D.

【点睛】

方法点睛：在处理函数与不等式相关问题时，根据题设条件对不等式进行转化，转化为我们熟悉的问题，

如二次不等式，指对数不等式等，或者运用数形结合思想，结合函数单调性做出函数图像根据图像，通过

图像去解决问题.

28.奇函数/(可满足/(2-力=〃司，当x«O,l］时，〃x)=log2(x+a),则/(2021)=()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】

由"0)=0计算得出实数。的值，推导出函数〃力的周期为4,可得出〃2021)=〃1),即可得解.

【详解】

因为函数/(x)为奇函数，则/(0)=log2a=0,解得。=1,

所以，当*二［0,1］时,/(x)=log2(X+1),

由已知条件可得/(1)=/(2_工)=_/(工_2)=/(%-4),

所以，函数“X)是以4为周期的周期函数，则〃2021)=〃l)=log22=l.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

(1)若函数“力的图象关于直线工=〃和x=b对称，则函数/(力的周期为丁二2,一小

(2)若函数f(x)的图象关于点(。,0)和点伍,0)对称,则函数“力的周期为T=2|a-小

(3)若函数“X)的图象关于直线工=。和点伍,0)对称，则函数/(x)的周期为丁=4,一班

29.碳-14测年法是由美国科学家马丁•卡门与同事塞缪尔・鲁宾于1940年发现的一种测定含碳物质年龄的

方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律N=Noe"’(表示的是放射性元素在生物体中最

初的含量N。与经过时间，后的含量N间的关系，其中a=竽(丁为半衰期),已知碳-14的半衰期为5730

年，狐=1.2x10上,经测量某地出土的生物化石中碳一14含量为4x10』，据此推测该化石活体生物生

活的年代距今约(结果保留整数，参考数据k)g23=1.585)()

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

【答案】c

【分析】

利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可.

【详解】

InA

Tin生

由题意知：N==>义"=e"-力==>7=N°——必,把数据代入得:

&N°In2In2

斤

Tin必5730xIn1.2xlQ-12

4Xi。*_5730In3故诜•C

N二________________

=5730log23«5730x1.585=9082.05«9082,

In2In2In2

【点睛】

方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解.

30.已知。=万3/=31。二加\下列说法正确的是（）

A.b>a>cB.h>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【分析】

利用塞函数单调性可比较Ac的大小，构造函数/（x）=电土，利用单调性可比较〃，力的大小.

【详解】

解：•・•幕函数y=/•在（0,+8）上单调递增，又3<%,

"，即bvc,

^iS/（x）=—,则r（x）=l^^,当工£（e,y）时，r（x）<0；

XX

・•・〃工）在上单调递减,

In3In4…

—>----，I'P7rln3>31n^r»

37t

••ln3”>In/，

3">乃3,即b>。,

综上，c>b>a,

故选：D.

【点睛】

InY

关键点点睛：构造函数/（幻=一:，利用单调性比较4b的大小是本题的解题关键.

31.若公比为g的无穷等比数列｛〃/满足：对任意正整数i,都存在正整数3使得4=4•%,

贝U（）

A.4有最大值1B.%有最大值2C.《有最小值1D.4有最小值2

【答案】B

【分析】

由题得♦力，得到4%》卜2,即得解.

【详解】

因为々=《•勺，

所以4x（g）i=qx（g）ixqx（g），T,

所以4=（；产旬，

因为对于任意正整数i,j”j,都存在正整数Z,使得4=4•〃八

所以»=（g产，

因为女之l,kwN*,

所以q有最大值g）f=2.

故选：B

【点睛】

方法点睛：最值问题的求解常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式

法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

32.已知。、b、c均为不等于1的正实数，且lna=cln8,lnc=blna,则。、b、c的大小关系是（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】

分析可知，Ina、Inh、Inc同号，分。、b、。£（0,1）和。、b、C£（l,+00）两种情况讨论，结合对数函

数的单调性可得出〃、b、c的大小关系.

【详解】

,/\na=c\nb,\nc=b\na,且。、b、c均为不等于1的正实数，

则Ina与In6同号，Inc与Ina同号，从而In。、Inb、Inc同号.

①若〃、bCG（0,1）,则Ina、In/?、Inc均为负数，

lna=clnb>lnb,可得a>人，lnc=Z?lna>lna,可得c>。，此时

②若。、b、ce（l,+oo）,贝Ulna、Inb、Inc均为正数，

\na=c\nb>\nb»可得a>