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文档简介
2023届江苏省泰安市长城中学高三实战模拟考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A. B. C. D.2.若x,y满足约束条件的取值范围是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,3.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.4.设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),则"a=b"是"logA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日指数变化趋势,下列叙述错误的是()A.这20天中指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上(指数)的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.77.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.8.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.9.记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A. B. C. D.10.若是定义域为的奇函数,且,则A.的值域为 B.为周期函数,且6为其一个周期C.的图像关于对称 D.函数的零点有无穷多个11.若直线与圆相交所得弦长为,则()A.1 B.2 C. D.312.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为______.14.已知,,且,则的最小值是______.15.设函数,则满足的的取值范围为________.16.已知,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.18.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)由所给数据可知,年需求量与年份之间具有线性相关关系,我们以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标,请完成如下数据处理表格:年份—20140需求量—2570(2)根据回归直线方程分析,2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨,问是否能够满足该地区的粮食需求?参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.19.(12分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程;(2)设曲线与曲线在第二象限的交点为,曲线与轴的交点为,点,求的周长的最大值.20.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面为正方形,,,,,为的中点,为棱上的一点.(1)证明:面面;(2)当为中点时,求二面角余弦值.21.(12分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对之前加工的100个零件的加工时间进行统计,结果如下:加工1个零件用时(分钟)20253035频数(个)15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.(1)求的分布列与数学期望;(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座,用时40分钟,另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.22.(10分)已知函数,,设.(1)当时,求函数的单调区间;(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.(注:是的导函数)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得【详解】解:因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.2.D【解析】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C(2,1),目标函数的最小值为:4目标函数的范围是[4,+∞).故选D.3.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.4.A【解析】
根据题意得到充分性,验证a=2,b=1【详解】a,b∈0,1∪1,+∞,当"a=b当logab=log故选:A.【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.5.C【解析】
结合题意,根据题目中的天的指数值,判断选项中的命题是否正确.【详解】对于,由图可知天的指数值中有个低于,个高于,其中第个接近,第个高于,所以中位数略高于,故正确.对于,由图可知天的指数值中高于的天数为,即占总天数的,故正确.对于,由图可知该市月的前天的空气质量越来越好,从第天到第天空气质量越来越差,故错误.对于,由图可知该市月上旬大部分指数在以下,中旬大部分指数在以上,所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好,故正确.故选:【点睛】本题考查了对折线图数据的分析,读懂题意是解题关键,并能运用所学知识对命题进行判断,本题较为基础.6.B【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.7.D【解析】
根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.8.C【解析】
由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.9.C【解析】
据题意可知,是与面积有关的几何概率,要求落在区域内的概率,只要求、所表示区域的面积,然后代入概率公式,计算即可得答案.【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示:的圆及内部的平面区域,面积为,集合,,表示的平面区域即为图中的,,根据几何概率的计算公式可得,故选:C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算,本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.10.D【解析】
运用函数的奇偶性定义,周期性定义,根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数,则,,又,,即是以4为周期的函数,,所以函数的零点有无穷多个;因为,,令,则,即,所以的图象关于对称,由题意无法求出的值域,所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质,主要是抽象函数的性质,运用数学式子判断得出结论是关键.11.A【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12.B【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由,得,.设线段的中点,则,在圆上,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍,点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆的圆心到直线的距离为,,,..故选:【点睛】本题考查了向量数量积,点到直线的距离,数列求和等知识,是一道不错的综合题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x,可求得,代入圆柱的表面积公式,即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x,则由,得,∴.故答案为:【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.14.8【解析】
由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【详解】,当且仅当时等号成立.故的最小值为8,故答案为:8.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体代入法,属于基础题.15.【解析】
当时,函数单调递增,当时,函数为常数,故需满足,且,解得答案.【详解】,当时,函数单调递增,当时,函数为常数,需满足,且,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.【解析】
先求,再根据的范围求出即可.【详解】由题可知,故.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解,涉及对数的运算,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】
(1),①当时,,②两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,①当时,.当时,,②由①-②,得,因为符合上式,所以.(2)证明:因为,所以.【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.(1)见解析;(2)能够满足.【解析】
(1)根据表中数据,结合以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格;(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程,由线性回归方程预测2020年的粮食需求量,即可作出判断.【详解】(1)由所给数据和已知条件,对数据处理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由题意可知,变量与之间具有线性相关关系,由(1)中表格可得,,,,.由上述计算结果可知,所求回归直线方程为,利用回归直线方程,可预测2020年的粮食需求量为:(万吨),因为,故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用,属于基础题.19.(1)曲线的直角坐标方程为,曲线的参数方程为为参数(2)【解析】
(1)将代入,可得,所以曲线的直角坐标方程为.由可得,将,代入上式,可得,整理可得,所以曲线的参数方程为为参数.(2)由题可设,,,所以,,,所以,因为,所以,所以当,即时,l取得最大值为,所以的周长的最大值为.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证明面面,只需证明面即可;(2)以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系,分别计算出面法向量,面的法向量,再利用公式计算即可.【详解】证明:(1)因为底面为正方形,所以又因为,,满足,所以又,面,面,,所以面.又因为面,所以,面面.(2)由(1)知,,两两垂直,以为坐标原点,以,,分别为,,轴建系如图所示,则,,,,则,.所以,,,,设面法向量为,则由得,令得,,即;同理,设面的法向量为,则由得,令得,,即,所以,设二面角的大小为,则所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角,考查学生的运算求解能力,此类问题关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.21.(1)分布列见解析,;(2)0.8575【解析】
(1)根据题目所给数据求得分布列,并计算出数学期望.(2)根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式,计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.【详解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)设,分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间,事件表示“留师傅讲座及加工两个
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