初中中考数学函数专题专题23二次函数中的交点问题含答案及解析

专题23二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故专项训练一、单选题1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y24．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（）A．5 B． C．5或1 D．或9．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A． B． C． D．10．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题11．定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线y上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1(a1，0)，A2(a2，0)，A3(a3，0)，…An+1(an+1，0)（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．12．已知二次函数，它的图象与x轴的交点坐标为________．13．已知抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根是_______．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A、B、C、D分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则“蛋圆”的弦CD的长为____．15．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．三、解答题16．已知关于x的二次函数，（1）若二次函数的图象与x轴没有交点，求k的取值范围；（2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围；（3）若和是抛物线上两点，试比较b和s的大小．17．定义：若一次函数（）与反比例函数（）满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数与反比例函数是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数与反比例函数（）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线有唯一交点，求b，c的值．（3）若一次函数（）与反比例函数（）的“附中函数”的图象与x轴有两个交点分别是A（，0），B（，0），其中，点C（3，4），求△ABC的面积S△ABC的变化范围．18．已知抛物线．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数取得最大值或最小值时相应的自变量的值．（2）求该抛物线与轴的交点坐标，并直接写出当时相应的的取值范围．19．已知抛物线．（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A；（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当为直角三角形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点，点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数与轴交于，两点（其中在的左侧），且．（1）抛物线的对称轴是______．（2）求点和点坐标．（3）点坐标为，．若抛物线与线段恰有一个交点，求的取值21．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）（1）若抛物线的对称轴为x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C，抛物线与x轴交点分别为A、B，若△ABC为等边三角形，求证：b2—4ac＝12；（3）若当x＞—1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax—＋c相切于点D，若OD≥2恒成立，求c的取值范围．22．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．23．现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．

专题23二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专项训练一、单选题1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以①正确；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故②正确，

∵x=-=1，即b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴5a＜0，∴8a+c＜0；故③正确；当y＞0时，函数图象在x轴的上面，∴x的取值范围是-1＜x＜3；故④正确；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)【答案】A【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出平移后对称轴，进而得出答案．【详解】解：y＝x2+2mx+m2﹣1＝（x+m）2﹣1，∵将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，∴y＝（x+m+8）2﹣1，则x＝﹣m﹣8＝1，故y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，当x=0时，y=0则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的平移以及二次函数与y轴的交点，解题关键是熟练掌握平移的步骤以及求与y轴交点更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的方法．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【答案】B【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，得出1＜x0＜2，对称轴在和0之间，画图，根据抛物线的对称性判断y1，y2，y3的大小．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，∴x=1对应的函数值与x=2对应的函数值互为异号，∴1＜x0＜2，∴对称轴在和0之间，∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴a＞0，如图所示，∵距离对称轴最近，其次是-1，最后是1，∴y2＜y1＜y3，故选：B．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断．4．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个【答案】D【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断函数与坐标轴的交点情况．【详解】解：∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0，∵函数y=ax2+2x+1，当a=0时，一次函数与坐标轴的交点个数为2，，当a<0时,二次函数与y轴交点为，∵，∴二次函数与x轴有两个交点，∴当a<0时二次函数与坐标轴有3个交点，综上，函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是2个或3个，故选：D．【点睛】此题考查一次函数的性质及二次函数与坐标轴交点个数，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，抛物线与坐标轴交点个数的判断方法，注意易错点是a的取值范围分类讨论．5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正结论的个数为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，故b＜0，与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c＜﹣1，所以abc＞0，故①正确；抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=1，因此与x轴的另一个交点为（3，0），当x=4时，y=16a+4b+c＞0，所以②不正确；由对称轴为x=1，与y轴交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即＜﹣1，也就是4ac﹣b2＜﹣4a，又a＞0，所以4ac﹣b2＜8a是正确的，故③是正确的；由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣1，x2=3，又x1•x2=，即c=﹣3a，而﹣2＜c＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a＜﹣1，因此＜a＜，故④正确；抛物线过（﹣1，0）点，所以a﹣b+c=0，即a=b﹣c，又a＞0，即b﹣c＞0，得b＞c，所以⑤不正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提，本题综合性较强，考查了学生对概念的理解以及知识应用的能力．6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用图象确定出a，b，c的符号，利用顶点坐标可得，；利用点B的坐标和抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0）；利用上述结论结合抛物线的图象，对每一个结论进行逐一判断，得出正确选项．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴，；∴b＝﹣2a，b＞0，4ac﹣b2＝12a．①∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0．故①正确；②∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0．故②错误；③∵抛物线的顶点坐标A（1，3），a＜0，∴y＝ax2+bx+c有最大值为3，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2有两个交点，即方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根．故③正确；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点B（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点B（﹣2，0）．∵a＜0，∴抛物线在x轴的下方有两部分，它们对应的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞4．∴当y＜0时，即ax2+bx+c＜0，对应的x的取值范围是；x＜﹣2或x＞4．故④错误；⑤∵4ac﹣b2＝12a，∴4ac＝b2+12a．故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①③⑤．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，根的判别式．利用已知条件结合函数的图象，采用数形结合的方法解答是解题的关键．7．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．②由图象开口向下，对称轴为直线x=2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x=2对称，由中点坐标公式求解．④由图象中（0，8），（2，9），（5.5，m）可得y的取值范围．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：①由图象顶点（2，9）可得y=a（x-2）2+9，将（8，0）代入y=a（x-2）2+9得0=36a+9，解得a=，∴y=（x-2）2+9=y=x2+x+8，故①错误．②∵5.5-2＞2-（-1），点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，∴m＜n，故②正确．③∵图象对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2-8=-4，故③正确．④由图象可得当x=0时，y=8，x=5.5时，y=m，x=2时，y=9，∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．故④错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．8．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（）A．5 B． C．5或1 D．或【答案】C【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解．【详解】解：比较抛物线与抛物线，发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．9．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，由题意得：，解得，则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，顶点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher10．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线与抛物线C2相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，∴B（4，0），A（8，0）．∴抛物线向左平移4个单位长度．∴平移后解析式．当直线过B点，有2个交点，

∴．解得m=2．当直线与抛物线C2相切时，有2个交点，∴．整理，得x25x2m=0．∴△=25+8m=0．∴m=．如图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵若直线与C1、C2共有3个不同的交点，∴＜m＜2．故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．二、填空题11．定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线y上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1(a1，0)，A2(a2，0)，A3(a3，0)，…An+1(an+1，0)（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．【答案】或【分析】由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形，该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1），由此求解即可．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形，∴该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，∵，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1），∵当时，，当时，，当时，，∴美丽抛物线的顶点只有和，若为顶点，则（1，），∴，同理当为顶点，求得，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点，抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．已知二次函数，它的图象与x轴的交点坐标为________．【答案】（5，0）,（-1，0）.【分析】令y=0，可得，解一元二次方程即可求解.【详解】解：令y=0，可得，，，x1=5，x2=-1，所以二次函数图象与x轴的交点坐标为（5，0）和（-1，0）故答案为：（5，0）和（-1，0）.【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题主要考查二次函数与x轴交点，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与x轴交点的计算方法.13．已知抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根是_______．【答案】3或-1【分析】根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得，解得x的值即可．【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），

∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，

∴，

解得：x=-1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（-1，0）．

所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3．

故答案是3或-1．【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A、B、C、D分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则“蛋圆”的弦CD的长为____．【答案】3+【分析】连接CM，由抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形COM更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher中，利用勾股定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【详解】解：连接CM，

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵M为AB的中点，，∴，∴AO=1，BO=3，,∵AB为半圆的直径，∴，∵CO⊥AB，∴，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及二次函数图像与坐标轴的交点问题，能够根据二次函数图像求出各点的坐标是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher15．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．【详解】解：联立，得，∴∆=，当时，∆有可能≥0，∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；抛物线的对称轴为：直线x=，若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；抛物线的顶点坐标为：，∵，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．三、解答题16．已知关于x的二次函数，（1）若二次函数的图象与x轴没有交点，求k的取值范围；（2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围；（3）若和是抛物线上两点，试比较b和s的大小．【答案】（1）k的取值范围为；（2）实数m的取值范围为；（3）当时，b>s；当c=时，b=s；当c<时，b<s．【分析】（1）△≥0，且k＞0，即可求解；（2）抛物线的对称轴为直线，当n=q时，根据函数的对称性，则m=5，即可求解；（3）把B(c+1，b)和C(c，s)代入解析式，由b-s=2k(2c-1)，然后讨论即可．【详解】解：（1），，，∴，即，解得：，∵，∴k的取值范围为；（2）∵抛物线的对称轴为，当n=q时，根据函数的对称性，则m=，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又，∴实数m的取值范围为；（3）∵B(c+1，b)和C(c，s)是抛物线上两点，∴b=2k(c+1)2−4k(c+1)+k+1=2kc2+4kc+2k-4kc-4k+k+1=2kc2-k+1，s=2kc2−4kc+k+1，∴b-s=4kc-2k=2k(2c-1)，当2c-1>0即c>时，b>s；当2c-1=0即c=时，b=s；当2c-1<0即c<时，b<s．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．定义：若一次函数（）与反比例函数（）满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数与反比例函数是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数与反比例函数（）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线有唯一交点，求b，c的值．（3）若一次函数（）与反比例函数（）的“附中函数”的图象与x轴有两个交点分别是A（，0），B（，0），其中，点C（3，4），求△ABC的面积S△ABC的变化范围．【答案】（1）存在，；（2）b＝6，c＝11；（3）．【分析】（1）找出对应a、b、c，再根据题目所给定义进行判断即可；（2）根据定义得到c=2b－1，从而得到“附中函数”，再建立一元二次方程由根的判别式求解即可；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）根据定义得到，从而得到“附中函数”，由求根公式求出、，再表示出三角形面积进行计算即可．【详解】解：（1）存在，∵a＝3，b＝6，c＝9，∴，∴存在“附中函数”为；（2）由题可知：a=1，1+c=2b，∴c=2b－1，∴“附中函数”为：，∵“附中函数”的图象与直线有唯一交点，∴，即有两个相等的实数根，∴，解得：，即b=6，∴c＝11；（3）由题可知：a－c=2b，∴，∴“附中函数”为：，令得：，解得：，，∴，又∵点C(3，4)，∴，当c=a时，，当c=3a时，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴．【点睛】本题考查了新定义题型，弄清题意，掌握二次函数与一元二次方程，根的判别式，求根公式等知识是解题的关键．18．已知抛物线．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数取得最大值或最小值时相应的自变量的值．（2）求该抛物线与轴的交点坐标，并直接写出当时相应的的取值范围．【答案】（1）函数的最小值为，对应的值为；（2）抛物线与轴的交点坐标为，，或【分析】（1）将已知的二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口向上可求出最终结果；（2）求出当时x的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标，再根据开口向上得出结果．【详解】解析：（1）已知抛物线，，抛物线开口向上，函数值存在最小值，变形，得，当时，函数值取得最小值．（2）已知抛物线令，，解得或，抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线开口向上，当时，相应的的取值范围为或．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括最值问题，与轴的交点坐标问题，以及自变量取值问题，属于基础题，难度一般，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher19．已知抛物线．（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A；（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当为直角三角形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点，点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A(2,0)；(2)或；(3)F点存在，其坐标为(-4,0)．【分析】(1)对因式分解为即可求解；(2)根据抛物线的对称性且△ABC为直角三角形，可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过顶点C作CP⊥AB于P，则CP＝AB，其中CP为抛物线顶点C的纵坐标的绝对值，AB为抛物线与x轴两个交点横坐标之差的绝对值，代入即可求出m；(3)由点B在A的右侧,得到，此时二次函数为：，过E作EM⊥y轴，证明△FDO≌△DEM，进而EM=DO=3，FO=DM，再根据E点在抛物线上即可求出E点坐标进而求出F点坐标．【详解】解：(1)令中，即，对该式进行因式分解，得到：，∴，∴不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A(2,0)；(2)由抛物线的对称性且△ABC为直角三角形可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，过顶点C作CP⊥AB于P，如下图所示：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，故顶点C的坐标为，∴，且，∵△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，CP⊥AB，∴，∴，当时，整理得到，解得当时，整理得到，解得又抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，当时，代入：，故舍去，当时，代入，综上所述，或；(3)∵点B在A的右侧,更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，此时二次函数变为：，假如存在符合题意的E和F点，过E作EM⊥y轴，如下图所示：∵△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，∠EDF=90°，∴∠FDO+∠EDO=90°，又∠FDO+∠DFO=90°，∴∠EDO=∠DFO，在△FDO和△EDM中，，∴△FDO≌△DEM(AAS)，∴EM=DO=3，FO=DM，即E点的横坐标的绝对值为3，当E点在y轴右侧时，且在抛物线上，故E(3，-1)，此时DM=3-(-1)=4，∴FO=DM=4，此时F点坐标存在，为(-4,0)；当E点在y轴左侧时，由于要保证∠EDF=90°，∴此时F点必位于第一象限内，而不在x轴上，故此时F点不存在，当时，在的左侧，不合题意，舍去，综上所述，F点存在，其坐标为(-4,0)．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查二次函数的综合应用，等腰直角三角形的存在性问题，二次函数与坐标轴的交点问题，本题难度较大，熟练掌握二次函数及各图形的性质是解决本题的关键．20．已知二次函数与轴交于，两点（其中在的左侧），且．（1）抛物线的对称轴是______．（2）求点和点坐标．（3）点坐标为，．若抛物线与线段恰有一个交点，求的取值【答案】（1）；（2）点坐标为，点坐标为；（3）或或【分析】（1）由求解即可；（2）由，抛物线与x轴的交点为A，B，抛物线对称轴为即可求解；（3）先求出CD的解析式为，然后分和结合图像分类讨论求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为∴抛物线对称轴为直线；（2）∵，抛物线与x轴的交点为A，B，A点坐标为，点坐标为；（3）把代入，得：，，∴抛物线顶点坐标为（-2，-a）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵点C坐标为(−2.5，−4)，D(0，−4)∴直线CD的解析式为当时，线段CD恰好经过抛物线的顶点，∴，解得：，当，，得：，当时，即，解得：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综上：或或.【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求出顶点坐标和对称轴.21．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）（1）若抛物线的对称轴为x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C，抛物线与x轴交点分别为A、B，若△ABC为等边三角形，求证：b2—4ac＝12；（3）若当x＞—1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax—＋c相切于点D，若OD≥2恒成立，求c的取值范围．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）或．【分析】（1）设这两个交点的横坐标为，，根据题意可求得这两个交点的坐标；（2）根据题意得：，，，由于为等边三角形，根据等边三角形高与边长的关系即可证得结论；（3）根据抛物线的性质可得：，，进而可得：，由于抛物线与直线相切于点，可知，有两个相等实数根，可求得，进而可求得点坐标，由勾股定理得，令，得，根据该抛物线开口向上，且顶点