2024年中考数学真题分类汇编(全国版)专题14二次函数的图象与性质（39题）含答案及解析

专题14二次函数的图象与性质（39题）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（

）时，，均随着的增大而减小．A． B． C． D．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（

）A． B． C． D．8．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（

）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．411．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．414．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是316．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①

②（m为任意实数）

③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A． B． C． D．21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则（填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则．26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是（请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．(1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求的值；(2)比较与的大小．37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．(1)求的值；(2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．(1)若，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

专题14二次函数的图象与性质（39题）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，∴化成顶点式则为，故选：A．2．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（

）时，，均随着的增大而减小．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，当时，，均随着的增大而减小，故选：D．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为依题意，∵，抛物线开口向下，∴当时，，即∴，故A选项正确，符合题意；若对称轴为，即，而，不能得出对称轴为直线，故B选项不正确，不符合题意；∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程有两个不等实数解，即，又∴，故C选项错误，不符合题意；无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；故选：A．5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得解得．故选：A．6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∵抛物线的顶点为，∴，观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．8．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶二次函数的对称轴为y轴，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，∵点都在二次函数的图象上，且，∴，故选∶A．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴的取值范围是，故选：C．10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（

）①；②；③；④若方程两根为，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，方程两根为满足，故④正确；故选：B．11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．【详解】解：根据题意可得：，，，即，，，的值可正也可负，不能确定的正负；故①错误；，抛物线开口向下，且关于直线对称，当时，随的增大而减小；故②正确；，抛物线为，，，故③正确；抛物线，将向左平移1个单位得：，抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；正确的有②③，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，，.，..故①错误；对称轴是直线，点和点都在抛物线上，而，.故②错误；当时，，当时，函数取最大值，∴对于任意实数有：，∴，故③正确；，.当时，，.，即，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.【详解】解：①函数图象开口方向向上，；对称轴在轴右侧，、异号，，∵抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①错误；②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，，，时，，，，，故②正确；③对称轴为直线，，最小值，，∴，故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，，，，，，，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（

）A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，当时，，当时，，，当时，，，故A、B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知，，当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵，∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，∴关于对称轴对称的点坐标为，∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，∴，解得，，故选：C．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①

②（m为任意实数）

③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴∵对称轴为直线，∴∴∵抛物线与轴交于正半轴，则∴，故①错误，∵抛物线开口向下，对称轴为直线,∴当时，取得最大值，最大值为∴（m为任意实数）即，故②正确；∵时，即∵∴即∴，故③正确；∵、是抛物线上不同的两个点，∴关于对称，∴即故④不正确正确的有②③故选：B18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；【详解】解：①抛物线开口向上，，，∴当时，，故①不符合题意；②∵抛物线过点，∴函数的最小值，∴有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∵，，∴抛物线的对称轴为直线，且，∴，而，∴，∴，故③不符合题意；④∵抛物线过点，∴，∵时，，即，当时，，∴，∴，∴，故④符合题意；⑤∵，，∴，由根与系数的关系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合题意；故选：C．19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键，根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④．【详解】解：设抛物线的解析式为：，∴，，∴，故①正确；∵点C的纵坐标在～之间，∴，即，∴，故②正确；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③错误；∵令相等，则∴，解得（舍），，∴，故④正确；故选A．20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，四边形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．点、的横坐标分别为、，，．，，，设，则，，，，，．又，，，．．．．点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．．故选：B．21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时，当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．【详解】解：∵抛物线的图象经过点，∴当时，，故①正确；∵抛物线的图象交x轴于点、，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴；∵、，∴，∴；在中，当时，，∴，∴，当时，则由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理当时，可得；综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；当时，，则，如图所示，取点，连接，则，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，在中，由勾股定理得，故④正确，∴正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】解：由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，③正确；，，关于的一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则（填“＞”或“＜”）；【答案】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：，∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，∴抛物线的解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故答案为：．24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴没有实数根，∴，．故答案为：．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，把点代入得到，，得到，∴，故答案为：226．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，∴，即，且，∵，，∴且，解得，故答案为：；．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．【答案】4【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，，中存在一点，有，解得，则，抛物线“开口大小”为，故答案为：．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有，又，∴点离较远，∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是（请填写序号）．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，∴，∴，即，由图可知，抛物线开口方向向下，即，∴，当时，，∴，故①正确，符合题意；②∵直线是抛物线的对称轴，∴，∴，∴由图象可得：当时，，∴，即，故②正确，符合题意；③∵直线是抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，则，，∴，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x的一元二次方程无实数根，∴，故④正确，符合题意．故答案为：①②④30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．(1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，∴，设，∴，∴，∴，∴当时，，无解，不符合题意，舍去；当时，，；∴．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．【答案】(1)(2)（ⅰ）3；（ⅱ）【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；（2）根据题意得出，，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．【详解】（1）解：，∴的顶点为，∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，∴，∴；（2）由（1）得∵点在抛物线上，点在抛物线上．∴，，整理得：（ⅰ）∵，∴，整理得：，∵，，∴，∴；（ⅱ）将代入，整理得，∵，∴当，即时，h取得最大值为．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；当时，如图，此时，∴，又∵，∴；当时，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；（3）分为，时，时，建立方程解题即可．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，解得，∴；（2）解：点B平移后的点的坐标为，则，解得或（舍），∴m的值为；（3）解：当时，∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；当时，∴最大值与最小值的差为，符合题意；当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；综上所述，n的取值范围为．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）①把代入，得：；∴；②∵，∴当时，有最小值为；（2）∵，∵抛物线的开口向上，∴当时，有最小值；∴甲的说法合理；（3）正确；∵，∴当时，有最小值为，即：，∴当时，有最大值，为．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求的值；(2)比较与的大小．【答案】(1)(2)当时，；当时，．【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；（2）当时，；当时，．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴；（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，当时，∴；当时，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积