2022年高考人教版数学（理）大一轮复习讲义：第一章

第一章

DIYlZHANG

集合与常用逻辑用语、函数

第一节集合

考纲解读考情分析核心素养

1.了解集合的含义.体会元素与集合的属于关系.

2.理解集合之间包含与相等的含义.能识别给定集合的考查角度:

子集.1.集合间的关系(子集关系、参数

1.发展数学抽象；

3理.解两个集合的并集与交集的含义.会求两个简单集合范围等);

2.应用宜观想象；

的并集与交集.2.集合的运算(交集、并集、补集)；

3.提升数学运算；

4理.解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子3.常与方程•不等式等知识相结合.

4.发展数学建模.

集的补集.考查形式：选择题或填空题.

5能.使用韦恩、(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的难度:低档.

运算.

教材,知识,四基基固可以载物

教材细梳理

知识点1集合的含义与表示

(1)元素与集合的关系：属于记为巨；不属于记为生

(2)集合的三种表示法：列举法、描述法、图示法.

思考：集合4={小=炉},B={y\y=jc］,C={(x,y)|y=^}是同一个集合吗?

提示：不是.集合A是函数y=记的定义域，集合2是函数y=f的值域，集合C是函

数y=^图象上的点集.

知识点2集合间的基本关系

(1)集合间的基本关系：壬集、真子集、相等.

⑵“C”与“”的区另ij：或AB,若AG8和AB同时成立，则AB

更准确.

思考：若{x|"+l=O}C{x*—1=0},则实数。的值为.

提示：0或一1或1.

［拓展］

1.集合的子集和真子集具有传递性：若AC2,BNC,则AUC；若AB,BC,则AC.

2.含有”个元素的集合有2"个子集，有2"—1个非空子集，有2"—1个真子集，有2"

—2个非空真子集.

知识点3集合的基本运算和性质

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A

符号表示AUBAnB

的补集为［以

S2)

图形表示Io

AUBAC\BCM

意义{小£A,或工£5}且{x\x^U,且依A}

AU([必)=U；

AU0=A；An([%)=0；

AO0=0；

AUA=A；CcXCc/A)=A；

性AAA=A；

AUB=Cc/(AnB)=

质AnB=Bnx；

BUA；QA)U([UB)；

AAB-£5

AUB=A^B^AUAUB)=

"C

四基精演练

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴若{x2,1}={0，1},则x=0,1.()

(2){xg}={f|0}.()

(3)对于任意两个集合A、B,关系(4口2)。(4口为恒成立.()

(4)若ACB=AnC,贝i」8=C.()

答案：(1)X(2)V(3)7(4)X

2.(知识点2)若集合A={xeN|x<VTb},a=2小,则下面结论中正确的是()

仁源自必修一Pi2A组T5

A.[a}^AB.a^A

C.{a}^AD.a^A

解析：选D.A={0,1,2,3},a=24A,故选D.

3.(知识点3)已知集合4={尤|3W了<7},8={尤12Vxe10},贝!](CRA)CIB=.

源自必修一Pii例9

解析：因为[RA={4X<3或x、7},所以(CRA)C8={尤12Vx<3或7Wx<10}.

答案：{x[2<x<3或7Wx<10}

4.(知识点3)设集合A={1,2,4},B=[x]x2-4x+m=0].若ACB={1},则8=()

<=源自必修一Pl2A组T6

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

解析：选C「・・An5={l},AieB,

1—4+m=0,/.m=3.

由x2—4x+3=0,解得x=l或x=3.

AB={1,3}.

经检验符合题意.故选C.

考点;考法,探究法熟可以生巧

考点一集合的含义及表示［基础练通］

基础题组强化训练提升考能

1.(2018•全国卷II)已知集合4={(》，y)*+y2W3,xGZ,ydZ},则A中元素的个数为

()

A.9B.8

C.5D.4

解析：选A.由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),

(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素，故选A.

2.(2018•湖北八校联考)设A=，2,3,出一3a,a+|+71,2={|。一2],—2},已知4GA

且448,则a的取值集合为.

解析：因为4GA,即4G，2,3,a2—3a,a+3+7，，所以

、2

3〃=4或〃+/+7=4.

若层一3〃=4,则a=—l或a=4;

22

若Q+,+7=4,即Q+;+3=0,层+3〃+2=0,

则a=—\或a=~2.

2

由a2—3a与a+~+7互异，得—1.

故a=-2或a=4.

又4超,即4住{|〃一2|,-2},所以|Q一2|W4,解得〃#一2且

综上所述，〃的取值集合为{4}.

答案：{4}

3.若a,bGR,集合{1,a-\-b,a}=，0,“，则。一々=.

解析：因为{1,a-\-b,a}=jo,*j,a中0,所以o+b=0,即g=—1，所以a=-1,

b=1.故b—a—2.

答案：2

I方法技巧I

1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明

白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.

2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常

用于解决集合问题.

考点二集合间的基本关系［探究变通］

［例1］(1)(2018・成都模拟)已知集合4={巾=肝彳,xGR},B={x\x=r^,m^A},

贝女)

A.ABB.BA

C.A匚BD.B=A

解析：{尤|-1WXW1},.*.2={x|0WxWl}.故BA.

答案：B

(2)已知集合A={R—2WxW5},B={x|7"+lWxW2m—l},若8CA,则实数机的取值范

围为•

解析：

①若2=0,则2根一此时相＜2.

2m-1三根+1,

②若BW。,则“九十1》-2,

2m~1W5.

解得2WmW3.

由①、②可得，符合题意的实数机的取值范围为〃zW3.

答案：(-8,3］

［母题变式］

1.本例(2)中若BNA变为AUB则实数机的取值集合为.

解析：若AU2,

卜九+lW-2,一3,

财酗

〔2机一125,［m^3.

所以m的取值范围为0.

答案：。

2.本例(2)中的集合A若变为A={尤［x<-2或无>5},则实数机的取值集合为

解析：因为所以①当3=0时，即2加一1<加+1时，m<2,符合题意.

\m-\-1W2〃？—1,m+1^2m—1,

②当B手。时，或

[m~r1>5,2m—1<—2,

廿2,」"后2，

解得彳或J1即m>4.

[m>4,m<—2，

综上可知，实数机的取值范围为(-8,2)U(4,+°°).

答案：(—8,2)U(4,+°°)

I类题通法I

1.判定集合间的基本关系有(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或

图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进

而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.

［提醒］在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

考点三集合的基本运算［多维贯通］

命题点1交集、并集、补集的混合运算

[例2]⑴(2018•天津卷)设集合A={1,2,3,4},0,2,3},C={xGR|T4

<2},则(AUB)nC=()

A.{-1,1}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4)

解析：由题意得AUB={-1,0,1,2,3,4},又C={尤eR|-lW尤<2},.•.(AUB)nC

={-1,0,1}.故选C.

答案：C

(2)(2018・湖北孝感模拟)已知集合A={x|y=ln(l—2x)},8=[^^],贝比AUB(ACB)=

()

A.(-8,0)B.(一/1

「111

C.(—8,O)U|_2-1JD.1一1,0

解析：根据题意可知4=(—8,，，B=[0,1],所以AUB=(-8,1],AC\B=0,£),

所以[AUB(AC8)=(—8,Q)U5,1,故选C.

答案：C

命题点2利用集合运算求参数

[例3]（1）（2018•辽宁锦州质检）已知集合4={1,3,洞,B={1,m},AUB=A,则机

等于（）

A.0或小B.0或3

C.1或6D.1或3

解析：由AUB=A,得所以机GA.因为A={1,3,y[m],所以%=漏或机=3,

即相=3或m=l或%=0.由集合中元素的互异性知mWl,故选B.

答案：B

⑵（2018•海口模拟）已知集合M={x|—lWx<2},N={y|y<“},若MCN=。，则实数a

的取值范围是（）

A.llWa<2B.aW2

C.—1D.a>—1

解析：M={%|-lWxV2},N={MyVa},且MGNW。，结合数轴可得4>一1.

-1a012%

答案：D

I求解策略I

集合运算的关注点

解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函

数的自变量还是函数值等；（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意

数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

突破练强化训练提升考能

1.（2018•西安西北工业大学附属中学模拟）已知集合4={1,a],3={尤*-5x+4<0,x

eZ）,若AABW。，则a等于（）

A.2B.3

C.2或3D.2或4

解析：选C.由题意可得8={x|lVxV4,xGZ}={2,3},结合交集的定义可得。=2或3,

故选C.

2.（2018•石家庄二检）设集合A={R—1<XW2},8={小<0},则下列结论正确的是（）

A.AUB={x|x<0}B.(ERA)nB={x|x<-l)

C.AAB={x|-l<x<0}D.AU((R2)={4X\0}

解析：选C.由题知，A=(—1,2],B=(—8,o),.*.AUB=(—2],AAB=(—1,

o),(ERA)nB=(-°o,-1],AU(CRB)=(-1,+8),故选c.

创新,应用,提能见多可以识广

r

与集合有关的创新问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目

的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学

抽象.

J

[例4](1)(2018•南昌模拟)若尤GA,贝吐GA,就称A是伙伴关系集合，集合M=

{-1-0,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()

A.1B.3

C.7D.31

(2)(2018・兰州诊断)对于集合N,定义N={x|xG〃，且送N},M®N=(M-N)^(N

—M),若A=|尤卜2—*XGR},B={X|X<0,XCR},则A㊉B=()

A(-*0)B.*,0)

C(-8,-?U[0,+00)D.(-8,-》(0,+0°)

解析：(1)具有伙伴关系的元素组是一1;I，2,所以具有伙伴关系的集合有3个：{—1},

21,卜1，2-21,

(2)依题意得A-8={x|x20,A-GR},B-A=1X|X<~|,XGR1,故A㊉3=(—8,—?

U[0,+8).

答案：(1)B(2)C

I思维升华I

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质.解

题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.

［素材库］

1.(2018•河北省邢台市月考)已知全集U={xGZ|0<xW8},集合A={xGZ|2cxe机}(2

<m<8),若［%的元素的个数为4,则根的取值范围为()

A.(6,7］B.［6,7)

C.［6,7］D.(6,7)

解析：若［必的元素的个数为4,则［必={1,2,7,8},：.6<m^7.

答案：A

2.(2018.天津卷)设全集为R,集合A={x|0<x<2},2={小》1},则An&8)=()

A.{ROW}B.{x|O<x<l}

C.{x|lWx<2}D.{x|0<尤<2}

解析：选B.因为8={x|x》l},所以［RB={X|X<1},因为A={x|O<尤<2},所以

={x|0Vx〈l},故选B.

3.(2018.浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则(以=()

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5)

解析：选C.因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以［以={2,4,5).故选C.

限时规范训练（限时练•夯基练•提能练）

A级基础夯实练

1.（2018•全国卷ni）已知集合4={尤lx—120},B={0,1,2},则ACB=（）

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1,2）

解析：选C.：A={x|x》l},B={0,1,2},.•.AAB={1,2},故选C.

2.（2018•全国卷I）已知集合4={无廿一x—2>0},则[RA=（）

A.{x|-l<x<2}

B.{x|—lW%W2}

C.{x\x<-l}^{x\x>2]

D.{小W—1}U{小22}

解析:选B.；A={x|尤<一1或x>2},

.•」RA={X|-1WXW2}.故选B.

3.(2018•广西南宁毕业班摸底)设集合M={无仇<4},集合N={尤*-2尤<0},则下列关

系中正确的是()

A.MCN=MB.A/U(CR2V)=M

C.NU([RM)=RD.MUN=M

解析：选D.由题意可得，N=(0,2),M=(—8,4),NUM所以MUN=M.故选D.

4.(2018•南昌模拟)已知集合M={x|/-4x<0},N—{x|m<x<5},若MCN={x[3<x<

n},则机+〃等于()

A.9B.8

C.7D.6

解析：选C.由炉一4工<0得0<无<4,所以M={x|0<尤<4}.又因为N={x|mVr<5},

Mr\N—[x\3<x<n],所以m=3,n—4,m+n=l.

5.(2018•西安模拟)设集合A={(x,y)|尤+y=l},B={(x,y)\x-y=3},则满足M£(AA8)

的集合M的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.由题意可知，集合A表示直线x+y=l上的点，集合2表示直线x—y=3上

[尤+y=l,

的点，联立'可得AC8={(2,-1)},M为AC8的子集，可知M可能为{(2,-1)},

〔尤一尸3,

0,所以满足MC(AAB)的集合M的个数是2.

6.(2018•石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合加=,性+?=1,2V={^||+^=1},则

MCN=()

A.。B.{(3,0),(0,2)}

C.[-2,2]D.[-3,3]

解析：选D.因为集合加=凶一3忘;<<3},N=R,所以MAN=[—3,3],故选D.

7.(2018・鹰潭模拟)已知集合A={x|l<2x^16},B={x\x<a},若AHB=A,则实数a

的取值范围是()

A.(4,+8)B.[4,+°0)

C.[0,+8)D.(0,+8)

解析：选A.由题意知A={x|0<尤W4},由ACB=A,知所以实数。的取值范围

是(4,+8),故选A.

8.(2018•太原阶段性测评)设集合A={—1,0,1,2},8={x|y="—1}，则图中阴影

部分所表示的集合为（）

A.{1}B.{0}

C.{-1,0}D.{-1,0,1}

解析：选B.由题意得图中阴影部分表示的集合为AC([RB).♦8={x[y=yx2-l}={x*

,

一120}={尤|尤三1或xW—l},.*.ERB={X|-1<X<1),..An(ERB)={0},故选B.

9.(2018.广州模拟)已知集合4={4,a],8={尤GZ|/—5x+420},若AnQg)#。，则

实数a的值为（）

A.2B.3

C.2或4D.2或3

解析：选D.因为8={xGZ|/—5x+420},所以[zBMlxeZlf—Sx+dVO}：9,3},

又集合A={4,a],若AC([z8)W0,则。=2或a=3,故选D.

10.(2018.淮北二模)已知全集U=R,集合M={x|尤+2a北0},^={x|log2(x-l)<l}>若

集合MC([uN)={x|x=l或x23},那么。的取值为()

1J

A.a=2B.oW]

C.a=~2D.心]

[x—1>0,

解析：选C.・・・log2（x—l）Vl,・・・'即1VXV3,则双={%|1<工<3},VU=R,

[x—1<2,

：.[uN={x\x^l或x>3},又：加={尤|尤+2420}=3尤2—20},知0（[加=凶尤=1或尤23},

-2a=l,解得a=一故选C.

B级能力提升练

11.（2018•衡水模拟）已知集合4={0,i,2m},B={x|l<22^<4},若4仆8={1,2m},

则实数相的取值范围是（）

A（0,9B.&1）

C（0,加&1）D.（0,1）

解析：选C.因为8={x[l<22r<4},所以8={x|0<2—xV2},所以8={R0Vx<2}.由

[0<2m<21

2〃2G8=H,解得，0<唐<1且机片不故选C.

〔2机W12

12.（2018•辽宁恒大附中测试）对于非空集合尸，Q,定义集合间的一种运算“左”：P>Q

={尤|尤GPUQ且x&PC。}.如果尸={R1W3*W9},。={和=5一1},则尸力。=（）

A.[1,2]B.[0,1]U[2,+00)

C.[0,1]U(2,+8)D.[0,1)U(2,+8)

解析：选D.因为P={x|lW3"W9},Q={x\y=y[xZ：i],所以P={尤|0WxW2},Q={x\x-

120}={%仅\1},所以2口。=[0,+8）,2门。=[1,2],所以尸斗。={工仅6（尸口°）且/①0。）}

=[0,1）U（2,+°°）,故选D.

13.（2017・江苏卷）已知集合4={1,2},B={a,a2+3}.若AC8={1},则实数a的值

为.

解析：：8={a,CT+3],AA8={1},

a=1或a?+3=1,

（2=1.

经检验，满足题意.

答案：1

14.（2018•汕头模拟）已知集合4={1,2,3,4},集合8={x|xWa,aER},AUB=（-

8,5],则a的值是.

解析：因为集合4={1,2,3,4},集合8={x|xWa,a&R},AUB=（-°°,5],所以

a=5.

答案：5

15.（2018•宁波三模）已知全集U=R,集合A={x|尤十°20,彳611},2={小2—2%—8忘0}.若

（[以）CB=[—2,4],则实数a的取值范围是.

解析：由集合A中的不等式解得a,

即4=[—a,+°°）.

因为全集U=R,所以（以=（—8,

由集合8中的不等式解得一2WxW4,即8=[—2,4],

因为（[必）仆8=[—2,4],

所以一a>4,即aV-4.

答案：a<—4

C级素养加强练

16.（2018•深圳模拟）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成

“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对

于集合A=1—1,8={尤|°/=1,。20},若A与8构成“全食”或构成“偏食”，则

a的取值集合为.

解析：当a=0时，8为空集，满足此时A与8构成“全食”；当a>0时，B=

।1~，—r[,由题意知「=1或1—解得ct=l或a=4.故a的取值集合为{0,1,4）.

答案：｛0，1,4)

第二节常用逻辑用语

考纲解读考情分析核心素养

考查角度：

1.了解“若中,则二形式的命题及其逆命题、否命题与逆1.考查命题的真假判断；

否命题，会分析四种命题的相互关系.2.与含有一个量词的命题有关的问题；

1.发展逻辑推理；

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.3.充分必要条件的判断及应用.本节

2.提升数学运算；

3.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.内容单独考查较少，多与其他知识

3.发展数学建模.

4.理解全称量词与存在量词的意义.交汇命题.

5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考查形式：选择、填空题.

难度：中低档.

教材，知识，四基基固可以载物

教材细梳理

知识点1四种命题及其关系

(1)若两个命题互为逆否命题它们的真假性祖回.

(2)若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.

思考：在同一个命题的四种命题中，真命题的个数可能有几个？

提示：。或2个或4个.

知识点2充分条件与必要条件

(1)充分条件与必要条件的有关概念

①如果p今4，则p是q的充分条件，q是P的必要条件.

②如果p=q,q=p,贝1Jp是4的充要条件.

(2)充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即"q"03”.

②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)

条件，即且一“E”("p«q且qE"今"游八').

思考1：“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”有区别吗？

提示：有区别；前者是“p今q且p”,而后者是“q今p且pRq".

思考2:“p是q的充分不必要条件”与“rq是rp的充分不必要条件”等价吗？

提示：等价；因为P0q0rq0rp.

知识点3简单的逻辑联结词

(1)确定pAq,pVq,rp真假的记忆口诀如下：

pAq一见假即假，pVq一见真即真，p与真假相反.

(2)“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”.因此，常常

借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

思考：命题“pYq”的否定是什么？命题"p'q"的否定是什么？

提示："pVq”的否定为“rpAp”；“pAq”的否定为“千寸.

知识点4全称命题与特称命题

命题名称命题结构命题简记命题的否定

对M中任意一个%,有p(x)

全称命题p(x)M"(XQ)

成立

存在M中的一个配，使p(xo)

特称命题p(%o)XxRM,-

成立

四基精演练

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

JIJI

⑴命题"若a=w，则tana=1"的否命题是"若a=干则tanaWl".()

(2)若p是q的充分不必要条件，则是rq的必要不充分条件.()

(3)若命题pAq为假命题，则p、q都是假命题.()

(4)3%oeA/,p(xo)与X/xCM,r°(_r)的真假性相反.()

答案：⑴X⑵J(3)X(4)V

2.(知识点1)设相GR,命题“若相>0,则方程尤2+无一根=0有实根”的逆否命题是()

同源自选修2—1P8A组T2

A.若方程V+x—机=0有实根，则机>。

B.若方程/+x—〃2=0有实根，则机W。

C.若方程/+无一机=0没有实根，则机>0

D.若方程V+x—机=0没有实根，则机W0

解析：选D.把命题“若m>Q,则方程一+x一根二。有实根”的条件与结论“换位且否

定”，得到逆否命题是“若方程/+x—m=0没有实根，则加W0”.

3.(知识点2)设p：x<3,q：-l<x<3,则°是4成立的()［源自选修2—lPi2A组T3

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选B."qnp"，但由“pWq”故p是q成立的必要条件.

X

4.(知识点3、4)已知命题P：VxGR,2<3\命题q：3xoeR,使端=1—焉，则下列

命题中为真命题的是（）仁I源自选修2—1P27B组

A.p/\qB.

C.pA（「q）D.（Y）A（「〃）

解析：选B.对于命题p,由于x=-1时，2-1=3>/=3-I所以是假命题，故是真命

题；对于命题夕，设1,由于/（o）=—ivo,y（i）=i>o,所以y（x）=o在区间（0,

1）上有解，即存在xo£R,使焉=1—焉，故命题9是真命题.综上Qp）Aq为真命题.

考点,考法・探究法熟可以生巧

考点一命题及其真假的判断［基础练通］

基石出题组强化训练提升考能

1.（2018•江西鹰潭二模）下列命题中错误的是（）

A.若命题p为真命题，命题4为假命题，则命题为真命题

B.命题“若〃+》W7,则〃#2或b=5”为真命题

C.命题“若％2—x=0,则x=0或x=l”的否命题为“若/一元=0,贝!JxWO且％W1”

D.命题p：3xo>O,sinxo>2xo~1,则->〃为V%>0,sinx^2x—1

解析：选C.A.若q为假，则为真，故"V（「q）为真，故A正确；B.命题的逆否命题为

若〃=2且8=5,则〃+6=7,显然正确，故原命题正确，B正确；C.命题“若一一冗=0,则

x=0或x=l”的否命题应为“若x2—尤W0,则xWO且xWl”,故C错误；D.特称命题的否

定是全称命题，改变量词，结论否定，显然，D是正确的.故选C.

2.下列命题中的假命题是（）

A.VxeR,2x>0B.VxeN*,（x-l）2>0

C.三九o£R,lgxo<lD.3xo^R,tanxo=S

解析：选B.对于A,因为指数函数的值域为（0,+°°）,所以A正确；对于B,当x=l

时，1）2=0,所以B错误；对于C,当％=1时，1g1=OV1,所以C正确；对于D,当x

时，tanx=，§,所以D正确.

3.（2017・山东卷）已知命题p：焉一出+120；命题q：若〃2<庐，则〃VZ?.下列

命题为真命题的是（）

A.pAqB.pA（「q）

C.（p）AqD.（Y）A（F）

解析：选B.由％=0时/—x+120成立知p是真命题，由l?v（—2尸可知q是假命题，

p/\qy（rp）Aq、（r0）八（rq）均为假命题，pA（rq）为真命题，故选B.

I方法技巧I

1.命题真假的判定

给出一个命题，要判定它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只

需举一反例即可.

2.四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当直接判断一个命题的真假不易进

行时，可以判断其逆否命题的真假.

3.判断“pA/'"pV/'"rp”形式命题的真假关键是准确判断简单命题p、q的真假;

再由真值表判断复合命题的真假.

考点二充分条件与必要条件的判断

［探究变通］

［例1］（1）（2018•沈阳模拟）设集合M={x|0<xW3},N={x|0<尤W2},那么GM”是

“mEN”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：因为N是Af的真子集，所以由机GN能推出wiGAf,但是由wiGA/推不出〃zGN,

所以“mWM”是““zdN”的必要不充分条件.

答案：B

⑵（2018•北京卷）设a,b,c,d是非零实数,则“血=比”是“a,b,c,d成等比数列”

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：a,b,c,d是非零实数，且a,b,c,d成等比数列，可得ad=bc,即必要性成

立；

当。=1,b=—2,c=—4,d=8时，ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列，即充分性

不成立，故选B.

答案：B

（3）（2018・长春二模）给定两个命题p,q.若rp是q的必要不充分条件，则p是飞/的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：因为rp是4的必要不充分条件，则q0rp但rp/q,其逆否命题为pnrq但rq吩

P，所以P是rq的充分不必要条件.

答案：A

［母题变式］

若本例⑴中的“mGM”“mGN”改为：“加也T”机隹N”，其他不变，则—胡T是“加

在N”的条件.

解析：因为N是M的真子集，所以由相GN能推出?"GM,但是由wGM推不出机GN,

所以“mCM”是“mGN”的必要不充分条件.所以“优助T是“tn&N”的充分不必要条件.

答案：充分不必要

I方法技巧I

充分条件与必要条件的判断方法

1.定义法：分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.

2.集合法：设p、q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系进行判断.

3.利用原命题与其逆否命题同真假来判断.

突破练强化训练提升考能

1.（2018•天津卷）设xGR,则“卜一支＜；”是“炉＜1”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A,由x—2V；得一；Vx—解得0Vx<1.

由9<1得尤<1.当0<尤<1时能得到x<l一定成立；当x<l时,0<尤<1不一定成立.所

以“x—J是的充分而不必要条件.故选A.

★2.(2018・惠州调研)命题“VxG[l,2],记一aWO”为真命题的一个充分不必要条件是

()

A.a>4B.aW4

C.a》5D.aW5

解析：选C.命题“VxC[l,2],f—aWO”为真命题，可化为2],czW”恒

成立，即只需即“VxG[l,2],K—aWO”为真命题的充要条件为。与4