专题10 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略（原卷版）

专题10难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 6【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 15【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 21【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 26【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 34【典型例题】【类型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为．

(1)用含t的代数式分别表示线段和的长；(2)当t为何值时，与相似？2．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．

(1)求为多少秒时，的面积为为(2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似.3．如图，矩形中，，点E为的中点，动点F从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，连接．过点作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑、、在一条直线上的情况）．

(1)填空：当___________时，，此时___________；(2)当与相似时，求t的值．【类型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在中，，，，点D在边AC上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为．2．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为．3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在中，，，，，分别为边，上的动点，且，作，垂足为，连接．当是直角三角形时，的长为．

4．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为．5．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为．【类型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【变式训练】1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，中，，，，D是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为．2．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为．连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为．3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

【类型四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（

）A．B．C． D．3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（

）．

A．

B．

C．D．

【类型五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．【变式训练】1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

2．（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）综合与探究问题提出：数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．

特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．拓展提高（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．【类型六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；【特例研究】(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．①求证：；②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【变式训练】1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023·河南安阳·统考一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作推断如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿