新高考数学二轮复习强化练习思想01 函数与方程思想（讲）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想01函数与方程思想（讲）考向速览方法技巧典例分析1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.2.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.3.常见方法：（1）运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．（2）利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．（3）构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.01函数与方程思想在方程、不等式中的应用【核心提示】1.函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2.含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：①灵活转化：（1）“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立”转化为“SKIPIF1<0”；“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立”转化为“SKIPIF1<0”；（2）“关于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”转化为“SKIPIF1<0”；“关于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”转化为“SKIPIF1<0”；②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；③得出结论，列出参数SKIPIF1<0所满足的方程，通过解方程，求出SKIPIF1<0的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<002函数与方程思想在数列中的应用【核心提示】数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.【典例分析】典例4.（2022·全国·高二课时练习）设数列SKIPIF1<0为等差数列，其前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40典例5.（2023·河南·校联考模拟预测）记正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________.典例6.（2021·全国·统考高考真题）设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和．证明：SKIPIF1<0．03函数与方程思想在解析几何中的应用【核心提示】1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．【典例分析】典例7.（2021·全国·统考高考真题）设B是椭圆SKIPIF1<0的上顶点，点P在C上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2典例8.（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称②卵圆上不存在两点关于直线SKIPIF1<0对称③线段SKIPIF1<0长度的取值范围是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0典例9.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条切线，SKIPIF1<0是切点，求SKIPIF1<0面积的最大值．04函数与方程思想在立体几何中的应用【核心提示】立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．【典例分析】典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例12.（2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．05函数与方程思想在平面向量中的应用【核心提示】1.平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)；②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．2.平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例14.【多选题】（2023·全国·模拟预测）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．设Z为线段AK上任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0典例15.（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形SKIPIF1<0中，P是对角线SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，若点M为线段SKIPIF1<0（含端点）上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为__________．06函数与方程思想在概率统计中的应用【核心提示】利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常识.【典例分析】典例16.（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为SKIPIF1<0.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为SKIPIF1<0，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0典例17.（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量SKIPIF1<0的取值集合均为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的散度SKIPIF