甘肃省天水市第六中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

甘肃省天水市第六中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过2．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（）A．9 B．27 C．81 D．3．设是虚数单位，，，则（）A． B． C．1 D．24．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知复数满足，则（）A． B． C． D．6．已知命题，那么为（）A． B．C． D．7．已知复数满足：（为虚数单位），则（）A． B． C． D．8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B．3 C． D．49．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（）A． B． C． D．10．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．11．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．212．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A． B． C．0 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________．14．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．15．设，则______.16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.（1）求证：平面ACE；（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？19．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.20．（12分）已知函数，.（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.22．（10分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.2、A【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由，得，解得或.因为.且数列递增，所以.又，解得，故.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、C【解析】

由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解：，，解得：.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把当成进行运算.4、B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.5、A【解析】

根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.6、B【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题，，那么是.故选：．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、A【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.8、B【解析】由正弦定理及条件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.选B。9、D【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小【详解】因为偶函数在减，所以在上增，，，，∴.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.10、B【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.11、D【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.12、C【解析】

先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为，设，则，设，记，则，令，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14、【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为1．又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.15、121【解析】

在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令，得，令，得，两式相加，得，所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.16、【解析】

利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）b=32【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示，再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac，于是可以求出b的值；（2）首先根据sinB+3cosB=2求出角B的值，根据第（1）问得到的b值，可以运用正弦定理求出ΔABC外接圆半径R，于是可以将a+c转化为2RsinA+2R试题解析：（1）由cosB应用余弦定理，可得a2化简得2b=3则b=（2）∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b则a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因为b=32得34又因为ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三边关系定理可知综上a+c∈(考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.18、（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.【解析】

（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．【详解】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F为垂足，连接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC与平面PCD所成的角，，，，，，时，AC与平面PCD所成的角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．19、（1）（2）【解析】

（1）直接利用极坐标公式计算得到答案（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.【详解】（1）因为，所以，因为所以直线的直角坐标方程为.（2）由题意可设，则点到直线的距离.因为，所以，因为，故的最小值为.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.20、（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】

（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．【详解】解：（1）因为当时，恒成立，所以，若，为任意实数，恒成立.若，恒成立，即当时，，设，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以当时，取得最大值.，所以，要使时，恒成立，的取值范围为.（2）由题意，曲线为：.令，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，因此在区间上的最小值，所以，当时，，，所以，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而，即方程无实数解.故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．21、（1）（2）【解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.【详解】（1），，解得，抛物线的方程为.（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，，过点的抛物线的切线：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切线的方程为，点到切线的距离为，，即的面积为.【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定