建筑力学考试讲义

一、《建筑力学》的任务

设计出既经济合理又安全可靠的结构

二、《建筑力学》研究的对象

静力学：构件、结构一一外力

材料：构件----内力

结力：平面构件（杆系结构）外力

三、《建筑力学》研究内容

1、静力学：研究物体外力作用写的平衡规律

对梁来说，要设计出合理的截面尺寸和配筋，则是以梁的内力为依据，则内力又是由外力产生,

外力都有哪些呢？外力大小如何？这是属于静力学所研究的内容。

2、材力研究单个杆件：

a.强度：构件在外力作用下不出现断裂现象。

b.刚度：构件在外力作用下不出现过大变形。

c.稳定性：不发生突然改变而丧失稳定。

3、结力研究体系：

a.强度：由于荷载、温度、支座下陷引起的结构各部分的内力，计算其大小。

b.刚度：由荷载、温度、支座下陷引起的结构各部分的位移计算。

c.稳定性：结构的儿何组成。

不稳定稳定

图1-4

1—1力和平衡的概念

一、力的概念。

1、定义

2、三要素：①大小。②方向。③作用点。

3、单位：国际单位制N、KNo

二、刚体和平衡的概念。

1、刚体：

2、平衡：

三、力系、等效力系、平衡力系。

1、力系：

a、汇交力系

b、力偶系

c、平面力系。（一般）

2、等效力系：

a、受力等效一一力可传递性。

b、变形等效。

3、平衡力系：

a、汇交力系：SX=0,SY=0

b、力偶系：2M=0

c、一般力系：2X=0,2Y=0,2M=0。

1-2、静力学公理

公理1：二力平衡公理

一个刚体受到两个力的作用，这两个力大小相等，方向相反，作用在一条直线上，这个刚体则平衡.（因

为一对平衡力使物体的运动效果为零）.讲例

公理2：加减力系平衡公理

一个刚体上增加或减去若干对“平衡力”，则刚体保持其原有运动状态.

推理：力的可传递性.（注：不适用于求内力）

证明：刚体原作用Fi,如沿Fi作用线加一对平衡力（F-F3）,使FI=FZ=-F3,此FI与F3

可视为一对平衡力系.据公理2减去F3与Fi,则相当于Fi从A点移至B点.

公理3：力的平行四边形法则（略讲）

推理：”三力汇交平衡”

一个物体受到三个力的作用而处于平衡，则这三个力的作用线必交于一点.

证明：刚体受Fi,F2,F3作用而平衡，Fi与Fz可传递到交于A点，R是其合力，F必定通过A点

并与R在一条直线上且相等.（形成一对平衡力）.

公理4：作用力与反作用力.中学讲过，略讲

1-3、约束与约束力

一、约束反力

1、约束：限制别的物体朝某一个方向运动的物体。如柱是梁的约束。

2、约束反力：由约束来给予被约束物体的作用力，称为约束反力，简称为反力。

3、如何分析约束反力。

（1）根据物体运动的趋势决定是否有约束反力（存在性）。

（2）约束反力的方向与物体运动趋势方向相反（方向性）。

（3）约束反力的作用点就在约束物和被约束物的接触点（作用点）。

图1-8

在（a）图中，对球体来看：球体虽在A处与墙体有接触，但球体没有运动趋势，所以没有

（运动）反力。在（b）图中，球体与墙在A点不仅有接触点，球体同时还有向左的运动趋势。

二、约束的几种基本类型和约束的性质。

1、柔体约束：方向：指向：背离被约束物体。（拉力）

方位：在约束轴线方位。

表示：To

2、光滑接触面：方向：指向：指向被约束物体。（压力）

方俘：沿接触面的法线方位。

表示：No

3、园柱较链；方向；指向：假设。

方位：不定，故可用在x,y轴分力表示。

4、链杆约束：方向：指向：假设

方位：沿链杆轴线方位。

三、支座和支座力

1、支座：建筑物中支承构件的约束。

2、支座反力：支座对构件的作用力叫支座反力。

3、支座的类型：

（1）、固定钱支座：受力特性与圆柱较链相同，形成不同。

区海图必比-----「受力图

简支梁

图1-13

(2)、可动较支座：受力特性与链杆约束相同，形式不同。

受力图

简支梁

图1/4

(3)、固定端支座：

方向：指向：假设。

方位：不定。

V

悬臂梁简图受力图

图1-15

1一4、受力图

一、画受力图步骤

1、确定研究对象。

2、取出研究对象。

3、在研究对象上画出所受到的全部主动力。

4、分清约束类型，在研究对象上画出所有约束反力。

讲例题

二、画受力图注意的几个问题。

1、分析系统各构件受力图，应先找出二力杆分析，再分析其它。

2、如何研究对象是物体系统时，系统内任何相联系的物体之间的相互作用力都不能画出。

3、作用力方位一经确定，不能再随意假设。

说明：以上内容通过教科书例题讲解，另外增加例题。

例：指出并改正图中示力图的错误。

图1-16

1-5.荷载

1、分类

按作用时间：恒载

活载

偶然荷载

按作用范围：集中荷载加

分布荷载

按作用性质：静力荷载

动力荷载

按作用时间：固定荷载

移动荷载

图1-17

2、简化、计算。

(1)截面梁自重的计算

已知：截面尺寸h,b;梁单位体积重Y(KN/nd)

求：线荷载q.

解：此梁总童：Q=b.h.LY(KN)

沿梁轴每米长的自重：q=&半=b.h.Y(KN/m)

(2)均布荷载化为均布线荷载。

1=5.97

图1-18

已知：板均布面荷载；q'(KN/m2)；板宽b；板跨度L

求：q(KN/m)

解：板上受到的全部荷载：Q=q\b.L(KN)

沿板跨度方向均匀分布的线荷载：q==b.q(KN)

例如：①图中板自重11KN；②防水层的均布面荷载为：q'=300N/m2;③水泥沙浆找平层厚0.0

2

2m,Y=2CKN/n?;④雪载：q'4=300N/m.

求：将全部荷载化成沿板长的均布线荷载。

解：5=芳喘3237N/谓

q；=300N/m2；

(1.49x5.97x0.02)x20x10002

q：==400N/m

1.49x5.97

q；=300N/m2

2

(总)q'对+q2,+q3'+q；=1237+300+400+300=2237N/m

线载一邛包迪嚅包U333N/#。

2—1、平面汇交力系合成与平衡的几何法

一、用图解法求合力。

作法：

1、平行四边形法则。

2、各力首尾相连。

注：合力大小和方向与各力相加的次序无关。

讲例题

二、平面汇交力系平衡的几何条件：

必要和充分条件是该力系的力多边形自行闭合。即R=0

说明：汇交力系中，未知力数超过两个就不能作出唯一的闭合多边形，故平面力系汇交用图解法

只能求出不超过两个未知力的问题。

讲书例题

2-2.力在坐标轴上的投影、合力矩定理

一、力在坐标轴上的投影

1、如何投影：自加两端向x,y轴作垂线，则在轴上两垂线的线段，称为力在该轴上的投影。

2、符号规定：力在坐标轴上的投影是代数量，有正负之分，当力投影与坐标轴一致时，投影为

正，反之为负。如：F=cosa,F,即：AB'段

FY=sina.F,即：AB'段

讲例题。

3、如果FXFY已知，则合力F的大小和方向也可确定，据几何关系:

F=J.X2+42；tga=|I

其中：a一一F与x轴的夹角（锐角）

F的方向由R和F、的正负确定。

二、合力投影定理：

1、用平行四边形法求出平面汇交力系Pi、P2、P3的合力R。

2、PBab；P2X=be;

_

p3x=dc;RX=ab

P।X+P2X+P3X=ab+bc-dc=ad=RX

即：PiX-t-p2X+P3X=RX；同理：Piy十P2y十P3y=Ryp

由此，得出合力投影定理：i'?

合力在两坐标轴上的投影等于各个分力在同一坐标轴—P，

上投影的代数和：式

即：RX=P1X+P2X+3X=£X

P¥=PiY+P2Y+P3Y=Lyb

LX——各力在X轴上投影的代数和；-『d

£Y——各力在Y轴上投影的代数和。图”

2——3平面汇交力系的合成与平衡的解析法

三、合成：

大小：R=yj(LRx)2+(Ex2+Ey2)=也，+“2

方向：tga=lIa一一R与X轴的夹角

合力所在象限由£丫、£、的正负号确定。

讲书中例题。

四、平衡条件

R=0,即：Lx=O；Ey=O

则：£x=0

Ly=O

五、平衡条件的应用：

讲书中例题

3—1、力对点之矩

一、力矩

1、什么叫力矩：一力使物体饶某点0转动，O点叫矩心，力的作用线到O点的垂直距离d叫力

臂，力的大小与力臂d的乘积叫力对矩心0点之矩，简称力矩，以Mo()表示，数学表达式为:

Mo()=±pd

2、力矩的正负：逆时针为正，顺时俨为负。

力矩是代数量。

3、力矩的单位：N.m,KN.m

讲例题。

3—2、合力矩定理

一、合力矩定理。

如图：

Mo()=-Pd=-P.a.sina

又：将用两分力Px,PY代替，

Mo(x)=0；Mo(Y)=-a.P.sinaa

即：Mo()=Mo(x)+M0(Y)

由此得：合力对力系作用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。

讲例题

3-3力偶及其基本性质

一、力偶和力偶矩

力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。

1、力偶矩：为了描述力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量一一力偶矩。它等于力偶中的一个

力与其力偶臂的乘积。即：M二士p•"(d——两力间垂直距离)

2、正负规定；逆时针为正，顺时针为负。

3、单位：N.MKN.M

4、力偶的性质：

(1)、不能用一个力代替力偶的作用(即：它没有合力，不能用一个力代替，不能与一个力平

衡)

(2)、力偶在任意轴上的投影为零。

(3)、力偶对所在平面上任意一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

如国：已知：力偶M=

O在M所在平面内任意一点，

M对O点之矩为：

—PX+P(X+d)

二-Px+Px+Pd

=Pd

3—4平面力偶系的合成与平衡

一、合成

B

初产?小

图3-5

设Pl+〃2>〃3，则R=Pl+〃2-“3

M=R,d=(Pi+Pz+P3)d=P14+P2d2-P3d3

=机1+租2+多=Z机

结论：平面力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

讲例题

二、平面力偶系的平衡条件：

平面内所有力偶矩的代数和等于零。

即：>〃=0

注：力偶和；力偶矩是两个不同的概念。力偶是力使物体饶矩心转动效应的度量，其大小和转向与

矩心位置有关；力偶矩是力偶使物体转动效应的度量，力偶矩的大小与矩心的位置无关。

三、平衡条件的应用：讲书中例题。

3—5、力的平移法则

一、平移法则：

1、问题的提出：力平行移动后，和原来作用不等效，如何才能保持等效呢

2、力平移原理：

（1）在A点作用一力P

（2）据加减平衡力系原理，在0点加一对平衡力//,p〃，使

//〃p",且p'=p"=p,0点到p距离为d

（3）力〃,pip〃组成的力系与原来作用于A点的力p等效。

（4）力系p,plp〃组成两个基本单元，一是力，一是p和组成的力偶，其力偶矩为M=p.d

因此，作用于A点的力P可用作用于0点的力和力偶矩用=/"来代替。

定理：作用在物体上的力F,可以平行移到同一物体上的任一点O,但必须同时附加一个力

偶，其力偶矩等于原力P对于新作用点0的矩。

反之，一个力和一个力偶可以合成一个力。

4—1平面一般力系向作用面内任意一点简化

一、主矢、主矩

1、简化原理

据“力平移法则”，可将平面一般力系中的各力平行与自身的作用线移到同一点o,从而把原

力系分解成平面力系汇交力系和平面力偶系，以达到简化。

2、简化内容：

（1）将作用与物体上的一般力系……P”向任一点。平移，得到一个汇交力系和一个对

应的力偶系。

（2）其合力R通过简化中心，并等于力系中原有各力的矢量和；

R=p]x+p2x+……

t

+

Ry=Pxy+p2y……pn^y=^y

R'=+（R，y）2=场炉+£y2

tg=。是R'和X轴夹角，R，称主矢，其指向由Rx'和RY'的正负确定。

3、将各附加力偶合为一个合力偶。

例0=%（P1）+%（P2）+……+"o（P"）=Z"o（P）

R'一主矢；Mo,一主矩；

注：R，并非原力系的合力，而只是作用在简化中心的平面汇交力系的合力，其大小和方向与简化

中心无关；Mo,的大小和转向与简化中心有关，所以主矩必须明确简化中心。

—■、合力。

•・・M=Fd又力的平移定理

即可确定出R的位置（作用点R方向）

讲例题

三、合力矩定理：

平面一般力系的合力对平面任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。

证明：

由RM，而R•d=A/。（R）,=ZM。（尸）

贝hMO（R）=ZM）⑺

四、简化结果的讨论

1.R=0,M

故原力系等效于一个力偶，合力偶矩为M；

2.RwO,M

主欠R就是原力系的合力，简化中心正好选在原力系的合力作用线上；汇交力系。

3.R决0,Mo工0

主矩、主矢可进一步合成为一个力R,R为原力系的合力。

4.R=O,Mo=0

显然原力系处于平衡。

五、平衡条件：

R,即：=°

M

或X?=0

2mo=0

只要是未知力不超过三个的一般力系，都可以用此方程求解。

4-2平面一般力系的平衡方程及其应用

一、平衡方程的三种形式

=o

-O

o

0-

A=o

B

=O

2、二矩式:

=O

若平面上有一点A,满足x轴不于A,B连线垂直，则这个力系就不能简化为力偶，此力系

可能平衡，也可能有一个通过A点的合力R。

若平面上有另一点B,且满足Z机8（尸）=0,则这个力可能平衡，也可能有一个通过A,B两点的

合力Ro

合力既要通过A点又要通过B点，那么只有在A,B的连线上。

3、三矩式：z若A,B,C不共线。

fznA=0

m=0

ZR

=0

这时，力偶不存在，也不可能有通过三个点，A,B,C的力存在。

5-1变形固体及其基本假设

一、变形固体

a、弹性变形b、塑性变形

二、基本假设：

1、连续性：组成固体的粒子之间毫无空间。

2、均匀性：组成固体的粒子之间密集度相同。

3、各向同性：在固体的体积内各点力学性质完全相同。

4、小变形

5-2杆件变性的基本（假设）形式

一、四种基本形式:

1、轴拉（压）：

2、剪切：

3、扭转:

4、弯曲：

5-3材力的任务

一、任务：

1、强度：材料或构件抵抗抗破坏的能力。如：

2、刚度：材料或构件抵抗变形的能力。

3、稳定性：保持原有平衡状态的能力。

6-1轴拉（压）时的内力，应力

一、轴向拉（压）的概念

力作用在杆的轴线上。

二、内力，截面法，轴力，轴力图

1、内力：外力作用而构件分子间的互相牵制力。

2、截面法，轴力，轴力图

（1）向伸长：说明截面有拉力

（2）截面仍然垂直杆轴：说明内力均匀分布。

（3）轴力正负规定：拉（背离截面）为正，压（指向截面）为负。

（4）轴力图：直观反映内力变化规律。

三、轴向拉（压）应力

1、轴拉（压）横截面上的应力

（1）应力：截面某点内力所分布的密集程度

（2）单位：P“,”2，GC,（12=1%2』次,=K）6pa,iGP=K）9&JM4=1%2）

（3）应力；正应力---。

剪应力---T

垂直于截面的应力：。二，两边同时积分：N=oA

平衡于截面的应力：T=；两边同时积分：Q=TA

（4）拉（压）杆横街面上的应力：。二；

N---轴力

A----面积

2、轴向拉（压）杆斜截面上的应力。

——从x轴标起，逆时针往n轴旋转为正，反之为负。

说明：斜截面与横截面虽说分布轴力密集程度不一样，但轴力的大小应该一样。

NN

则：P=——=—cosa

4A

即：pa=Jcosa

3a=Pa•cosa=6•cos2a

Ta-pa•sina=5•cosasina=^<^sin2a

----斜截面上的正应力（拉应力为正，压应力为负）

一斜截面上的剪应力（顺时针为正，逆时针为负）

3、最大应力。

当。=0,时，=5（材料易从横截面拉断）

当a=45°时，Tmax=?（材料易剪切破坏）

6—2、轴拉（压）杆的变形及虎克定律

一、变形

（

（

纵

图6-4

实验：，引入比例系数：&=区=巫一虎克定律

EAEA

式中：N一轴力；A一截面积；E—材料弹性模量；A2一变形；一原长;

EA—抗拉、压刚度

虎克定律的另一种形式：将与二£；2=玳入

A

得：6=E-A

注：虎克定律适用条件：杆截面应力不超过比例极限。

三、横纵向变形及泊松比

I、横向变形一，=》咛£；纵向变形…中哈

拉伸时：为负，为正；压缩时：为正，为负。

2、实验所得：泊松比

3、横纵向应变的关系a

6-3材料在拉伸、压缩时的力学性质

一、概述

1、学性质主要研究：

a、强度

b、变形

2、塑性材料一一如低碳钢

3、脆性材料一一如铸铁、混凝土、木材等

二、在拉伸时的力学性质：

1、试件取样：

试长件：l=10d

短试件:l=5dE

2、拉伸图应力----应变图B/ZZ，/D

A

J

拉伸图

强度极限--

屈服极限

弹性极限一

匕例极限-Q

说明：1、OiG//（OB）；2、OOi一—属塑性变形；3、Oig——为弹性变形。

3、变形发展的四个阶段：

（1）弹性阶段：（O——B）材料完全处于弹性阶段，最高应力在B点，称弹性极限（。。。其

中0A段表示应力与应变成正比。A点是其段最高值，称为比例极限（Op）,在0——A段标

出Iga二二E。因为。e与。p数据相近。可近似为弹性范围内材料服从虎克定理。

（2）屈服阶段：（B——D）材料暂时失去了抵抗外力的能力。此段最低应力值叫屈服极限（。

s）,钢材的最大工作应力不得达到。S

（3）强化阶段：（D——E）材料抵抗外力的能力又开始增加。此段最大应力叫强度极限。b

（4）颈缩阶段：（EF）材料某截面突然变细，出现“颈缩”现象。荷载急剧下降。

总结四个阶段：

I、弹性阶段：虎克定理。二E。成立，测出tga==E

II、屈服阶段：材料抵抗变形能力暂时消失。

III、强化阶段：材料抵抗变形的能力增加。

IV、颈缩阶段：材料抵抗弯形的能力完全消失。

4、塑性指标：

（1）延伸率：X100%

如果6>5%,属塑性材料。

5%,属脆性材料。

（2）截面收缩率；°=A-4x100%

夕愈大说明材料塑性越好。

5、冷作硬化：将屈服极限提高到了G点，此工艺可提高钢材的抗拉强度，但并不提高钢材抗压强

度，故对受压筋不需冷拉。

三、铸铁的拉伸试验。

1、近似视为。=E£在0A段成立；

2、只有。b

四、低碳钢压缩时力学性质：

1、强度极限无法测定。

2、6、E、斗、一与拉伸相同。

五、铸铁压缩试验。

1、没有屈服极限，只有强度极限。

2、在低应力区（0——A）,近似符合5=足£

3、强度极限高出拉伸4—5倍。

六、塑性材料力脆性材料的比较（自学内容）

七、许用应力与安全系数：

rclcof塑性材料b°=&，K=1.4-1.7

I=O**

［脆性材料b°=%K=2.5-3

6-4轴向拉（压）杆强度计算

一、强度条件：

bmax=；W同

A

二、强度三类问题：

1、强度校核：同

A

2.选择截面尺寸：A>A

如果：槽钢、角钢查附表确定面积，

3、确定最大外载：

说明：最大外载有两种确定形式：1、N=P

2、P必须据题意，通过间接途径求得，如:

7f圆轴扭转时内力

一、扭转

1、力的特点、外力偶矩计算、扭矩和扭矩图

a.力的特点：力偶的作用平面垂直于杆轴线

b.外力偶矩计算一/八

M=9549N/n（N-M）Mk=7024N/n（N•M）

c.扭矩、扭矩图

右手螺旋法：拇指背离为正，反之为负

2、扭转变形分析:

看图：

CI0-at

（1）图周线间距不变；

（2）各纵向平行线都倾斜了同一微小的角度，矩形成了平行四边形。

说明：（1）横截面没有正压力，

（2）两截面发生错动u是剪力变，则必有存在，并£垂直于半径

x=y大小相等，方向相反，互相垂直

证明：y・A=y'-A,形成一对力，据力偶平衡：上下面必有一对力与其平衡

3、应力公式推导：三个方面：a、变形几何关系；b、物理关系；c、平衡关系

a、变形几何关系

看图d•=Pd

——剪切角d——扭转角

=•d/dx

说明：垂直于半径

b、物理关系：

实验所得：=G・G=E/（1+£'/£）

G----剪切弹性模量----横向线应变

由前式：・（d/dx）・G二

说明：与成正比，并是一次函数，垂直于半径

c、静力平衡关系：

微面积d上的剪力：-d，此剪力产生的微扭矩d二・d'•

整个截面：Mn二（九

=\p•G,p•(d(pIdQd八=Gd(p/dx\pdA

=G(d(pldx)-1p

即：M„=I•/——代入上式得

上式写成：=Mn/b实圆：

4

L=D/32Wn=Ip/R=^D716

4444

L=(D-d)/32Wn=(D-d)/16D

Tp-------------横截面任一点剪应力

（最大）max=Mn-R/IP=M„/Wn

4^强度条件：

max=（M„/Wn）[]

5、薄壁圆环：

Mk=Mn

Mn=2加“得汇=M”/2次2f

强度条件：max=Mmax/2^r2r[]

6、圆扭转的变形计算

由前式：d=（Mn/GL）dx两边积分

d一一相距为dx两横截面的相对转角

4=f（M“/G/0）4=MMGL

7-2轴扭转时的强度计算

一、扭转时横截面上的

1、实心同轴及空心轴

Mn------扭矩（N•m）（KN・m）

W一一扭转截面系数（nP）

二、强度条件：rmax=MJWp[]

三、强度“三类问题”；

1、强度校核：rmaK=Mn/Wpl]

2、选择截面尺寸：Wp>Mn/[r]

a、实心轴W/尸冠P/16,

b、空心轴：W二冠)3(1-)/16

D>V(16M^/^(l-a4)[r])

3、许用荷载：[M][]Wo再确定外载

讲例题

7-3>圆轴扭转时的刚度计算

一、同轴扭转时的变形：

<p=MnL!GIp

式中：Mn某截面扭矩(N・m)(KN•m)

1-----同轴长(m)

G——剪切弹性模量PaMPaGPa

L一一极惯性矩。(n?)

GL——截面抗扭刚度

二、刚度条件：

单位长度扭转角：(pH=Mnvl!GIpl=Mn/GIp=Mn180°/GIp7r(弧度/米)

即：0=(p/l=Mn\^IGIp7r<[(pll]=[0]

[]——许用单位长度扭转角，一一查规范

讲例题！

8—1、静矩

一、静矩、形心

图形A对Z轴的静矩：S产JWA=AK

图形A对y轴的静矩：Sy=/切4=AZf

据合力矩定理

形心：yc=Sz/A=^ydA/A=Z4凹/工&

Zc=Sy/A=1巩/A=ZA,4/Z&

S2,Sy的用途：1求形心。2校核弯曲构件的剪应力强度

333

Sz,Sy的性质：1可正，可负，可为零。2单位：m,mm,cm

3对不同的坐标有不同的静矩

组合截面图形的静矩计算：

讲例题

二、组合图形形心的确定

求形心：

解；A1=300x30=9x103mm2

3

A2=50x270=13.5xlOW

Ai,A2形心到Z轴的距离yci=15yC2=165

300

Sz=Z4M=Aiyci+A2yC2

=30x300x15+50x270(270/2+30)=2.36x106mm3

6333

yc=Sz/A=2.36xlO//»n/(9xl0+13.5x10)=105mm

故：Zc=0yc=105

注；坐标轴的选择不影响形心的位置

8—2、惯性矩、惯性积、惯性半径

一、惯性矩

定义：y2dA-------dA面积对z轴的惯性矩

z2dA——dA面积对y轴的惯性矩

Jy2dA一一截面对z轴的惯性矩：

Jz2dA——截面对y轴的惯性矩：I

二、计算

（1）矩形：a截面对形心轴的Lly

解：dA=bdy

L=L）'4=CD%引y3/3]"%=帅3/12

D/\=hdz

2233

}y=\zdA=^zhdA=h[z/3]^2=hb/12

B截面对z,y轴的Iz，ly

解：dA=bdy

2233

Iz=[[ydA=£jMv=b[y/3]=bh/3

2233

ly=^zdA=^zhdz=h[z/3]=hb/3

（2）圆形截面：Iz，ly

解：Iz=Iy=二二-2-/（1/2）2-y2d=7id4/64

dAtdyyl（d/2）2-y2

性质：1、惯性矩恒为正

2、同一截面图形对不同坐标轴有不同的惯性矩

4

圆形；Iz=Iy=^//64

环形：17=卜=成4（1-。4）/64（a=d/D）

对其形心的惯性矩，其它图形查附录

（3）组合图形1尸工/力；Iy=Z，w

三、极惯性矩。

定义：I=[A

其中:=y2+z2

=依小八四

=[/4+J/4=L+Iy

圆截面：\=7rD4/32

环截面：I=^D4（l-J4/D4）/32

四、惯性半径

在压杆稳定计算中，将惯性矩表示成：17二(iz)2・A或I尸

1、矩形截面的：Iz=11JA=Vbh3/12bh=h/()

3

iy="、./A=yIbh/\2bh=b!()

2^圆形截面：i==D/4

五、惯性积

定义；——整个截面上微面积dA与它到y,z轴距离的乘积的总和称为截面对y,z轴

L.y=\y^A

1、惯性积可为正、负、零

2、如果图形有一对称轴，则L,y=O

六、平行移轴定理：

平行移轴定理的引出：一般情况下简单图形对任意轴的惯性矩用积分法是比较容易的，但对组

合组形用积分法就比较困难，所以介绍平行移轴定理就可以利用

简单图形的已知结果求复杂对任意轴的惯性矩。

推导：已知：Izc,Iyc求：Iz,ly

・；z=Zc+b,y=yc+a

・・・Iz=J/M=[⑴+行4=[（炉+29+/此

二口；dA

其中：

8-3、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念

1、主惯性轴：如y、z轴旋转到某个时Iy°Zo=O,则zo,yo称为主惯性轴，简称主轴(总可以找

到这样一个轴)

2、主惯性矩：截面对zo、yo(主轴)的惯性矩叫主惯性矩，简称主惯性矩。

3、形心主轴：如果截面。点选在形心上，通过形心的主轴称为形心主轴

4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。

9-1弯曲变形的概念

一、弯曲与平面弯曲

1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。

2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称

轴。b、荷载：荷载与梁轴垂直并作用在梁的纵向对称面内

3、平面弯曲：梁变形后，梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲

二、梁的支座，支反力

a、可动较支座

b、固定较支座

c、固定端支座

三、梁的三种形式

a、简支梁

b、外伸梁

c、悬臂梁

9一2梁的弯曲内力——、M

一、梁的内力

求：Qin，Mm

由=°x>,=0；—QIU+RA=OQH)=RA

Z>?=0

=0V〃以=0；—RA+M=O,Mm=RA・C

0m

Qm——剪力Mm——弯曲

梁平面弯曲时截面产生两种内力：剪力Q和弯矩M

二、Q,M正负号的规定

剪力：顺时针为正，逆时针为负

弯矩：下受拉为正，上受拉为负

三、任意截面Q,M的计算

讲P55例5—1结论：要正确区别运算符号和性质符号

例52结论：取外力较少部分作研究对象

例5—3结论：在支座和集中力处左右截面上剪力不相同，而弯矩相同；在集中力偶处左右

截面上的剪力相同，而弯矩不同

四、讨论：

1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q,M是指性质符号而言

2、Qx=•y或Qx=,y,Mx=•M或Mx=•M

3、可用“简便方法”计算截面内力

六、求剪力和弯矩的基本规律

（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致

（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析

（2）梁内任一截面上的剪力Q的大小：等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数

和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与

y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力

使该截面产生负剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生正剪力。

9一3、用M,Q,q间微分关系绘内力图

—.M,Q,q的微分关系

图

梁上作用任意荷载q(x)：(1)取出梁中一微段dx(dxJ_认为荷载是均匀的)；(2)设截面内

力：Q(x),M(x)o利用»二°。贝京

Q(x)+q(x)dx—[Q(x)+6Q<X)]=0

dQ(x>=q(X)dx

即dQ<x>/dx=q(x)

剪力对x的一阶导数等于荷载

ZM二。

M(x)一[M(x)+dMg]+Q(x)dx+q(x)dxdx/2=0

即；<JM(X)/dx=Q(x)

弯矩对x的一次导等于剪力

(1)q(x)=0(无线荷载)

dQ(x)/dx=q(x)=0说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水

平线。

dM<x)/dx=Q(x)而剪力是常数，说明原弯矩方程是x的一次函数，所以弯矩图是一

条斜直线

(2)q(x)二常数(有线载)

dQ(x)/dx=q(x)=常数说明剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。

即dM<x)/dx=Q(x)而剪力又是x的一次函数，说明原弯矩方程是x的二次函数。所以弯矩

图是二次抛物线。

M极植

在Q(x)=0处。由于dM(x》/dx=Q(x)=0处有极植

例题

三角荷载简化及内力图

%「q=qox/l(相似比)

||在dx段上的荷载(集中力)

X\1'=qdx=qoxd/l

'tnttt^x

2

y_,合力p：p=£Ap=£(qQxll)dx-(qo/1)=qol/12=qol/2(三角形面积)

>----d---->

合力p的位置：以A点为矩心

据合力矩定理：

P•d=h")

d=(1/p)•£x{qdx)=(1/p)£x(qQxdx11)=21/3

解：(1)求支座力

由工加片①和解得

RA=Q1/6RB=ql/3

(2)列Q,M方程式

Q(x)=qol/6+qo(x)x

=qol/6+qox2/21(0<x<l)

M(x)=qolx/6-qox3/61=qolx/6-qox3/61(0x1)

令Q(x)=0,得x=l/1:取正植)

Mmax=qoH/(9)

画剪力图和弯矩图的一般规律：

1在集中力作用处，剪力图发生突变，突变力的大小等于该集中力的大小。弯矩图在此处形成夹

角，没有突变

2在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小，剪力图在此处没有变

化。

3在梁端点的较支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点较支座上没有集中力偶的作

用，则较支座处的弯矩等于零

4最大弯矩的位置：梁上如有均布荷载作用，一般在Q=0的截面处有最大弯矩。当有集中荷

我作用时，最大弯矩往往发生在某一个集中荷载作用的截面处。悬臂梁的固定端及外伸梁的支座处往

往发生最大负弯矩。在集中力偶作用处，也往往会有最大弯矩。

5最大剪力及其位置：一般发生在梁的支座处或集中力作用处的截面的一侧。

6如果在结构对称的梁上作用着对称荷载，则该梁具有对称的弯矩图和反对称的剪力图

9一4、叠加法绘制弯矩图

一、条件：小变形，讲书中例题

9—5、弯曲应力

一纯弯曲横截面上的正应力

M同

纯弯曲：BC段一一只有弯曲而无剪力

占・

1.变形特八、、•

a中性层：没伸长，没缩短

b中性轴：中性层与横截面交线

1.正应力公式推导：（从三个反面考虑：几何条件，物理条件，静

力平衡条

（1）几何条件一一应变规律

n'伸长，oiO2曲率半径，两截面夹角d

n，曲率半径为十y

=（+y）d-d=yd

m'n,的应变：/dx二yd/（d）=y/

Fy/⑴式

说明：与y成正比

dx

（2）物理关系应力与应变的关系

假设一层层纤维无挤压作用，则各条件纤维处于单向拉伸或单向压缩

材料在弹性范围内，。=石・£成立

则

a=Es=Ey/（2）式

说明：沿截面高度按直线变化

（3）静力平衡关系:

(b)

将(2)代入(a)