江苏省2016届高三数学寒假导学案 苏教版

年寒假高三数学导学案

参考答案

第一讲函数的性质及应用

【知识链接】

31

,(-)、(--,+8)、、(FS)o

42

、()«

【知识建构】

4-->0

、解：①当”>1时，/(x)在(l,+o。)上是单调递增函数，同时必须满足(2,解

(4--|-)xl+2<a

得44。v8。

4—<0

②当0<。<1时，/。疮(1十8：上是单调递减函数，同时必须满足12,解

(4-^)xl+2><z

a>8

<

、a<4,无解

综合①②，得4<a<8

a>l

变：解：由题意•4-->0,解得4<。<8。

2

(4--)x7+2<a8-6

12

、解：()由/(一%+5)=/(%—3)可知对称轴为％=1,

所以一2=1,。=—2。，

2a

因为依2+力比=%，即0^+3-l)x=O有重根二.A=(。-1)2=0

所以

1

所以/(x)=——X92+X

3m=f(n)=-；/+〃,

()①若1工加<〃，由函数的单调性可知：《

「12

3n=/(〃?)=―/根~+〃?

1

两式子相减得到3(m-n)=—(m+n)(m一九)一(加一〃)机+〃=8,7-87%+48=0,加，〃无解;

2

12

3m=——〃/+m

2

②若加<〃<1又单调性知《

12

3。〃=——n~+n

2

此时机=-4,〃=0满足条件；

③若加<1<〃由于此时函数的最大值必为x=l时取到为L；

2

所以3〃=，所以,这与〉矛盾

26

综合上述存在这样的m=-4,〃=0

L12

..3m=——m+m

119

方法二：3〃4一,.•・〃<一所以6v〃<l由单调性知《乙

26,一

3〃=——n+〃

L2

此时机=-4,〃=0满足条件；

、解：()设投资为％万元，A产品的利润为了(元)万元，5产品的利润为g(x)万元.由题意设

/(x)-k1x,g(x)-k24x.由图可知/⑴=1，二%]=二.又g⑷=1.6,&=二.

从而小)=3叱°)'g(x)]6(xZ()).

()设A产品投入X万元，则3产品投入10—x万元，设企业利润为y万元.

x4I-----

y=/(x)+g(io_九)(0<x<10)

令J10-x=t,

10Z

则y=J-+!?=-1(r-2)2+y(0<Z<V10).

14

当t=2时，ymax=《=2.8,此时x=10—4=6.

答：当A产品投入万元，则3产品投入万元时，该企业获得最大利润，利润为万元

、【解析】如图所示，因为函数〃(x)=/(x)-g(x)在区间［-5,5］内的零点的个数为方程

〃(%)="X)-g(x)=O根的个数，即函数“X)和g(x)图像交点个数，所以画出图像可知有个

、解：(I)由题意，/(X)=X2|X-2|.

当x<2时，f(x)=x2(2-x)=x,解得X=0或X=1；

当xN2时，f(x)=x2(x-2)=x,解得x=l+&.

综上，所求解集为｛0,1,1+码.

(II)设此最小值为

①当时，在区间［1,2］上，f(x)=x3-ax2.

因为

f'(x)=3x2-2ax=3x(x->0,xe(l,2),

则f(x)在区间［1,2］上是增函数,所以m=f⑴=l-a.

②当1<“42时,在区间［1,2］上，f(x)=x2(x-a)>0,由/(a)=0知

m=f(a)=0.

③当a>2时,在区间［1,2］上，fM=ax2-x3.

f'(x)=lax-3x2=3x(；〃-x).

若。23,在区间(1,2)内r(x)>0,从而f(x)为区间［1,2］上的增函数,

由此得

m=/(I)=a—1.

若2<a<3,JfliJl<-«<2.

3

当时，r(x)>0,从而f(x)为区间上的增函数；

当■|a<x<2时，f'(x)<0,从而/(x)为区间上的减函数.

因此，当2<a<3时，相=/(1)=。-1或%=/(2)=4(。-2).

7

当时，4(«-2)<«-1,故，*=f(2)=4(a-2)；

7

当§<〃<3时，a-\<4(6/-2),故加=/(1)=。一1.

综上所述，所求函数的最小值

1一〃，当Q<1时；

0,当1<442时；

加=<4(〃—2),当2<“42时;

3

a—1,当时.

3

【学习诊断】

1.[1,2).X2+x.a=-lo变：：.k=±l

、14一2或，之2或，=0

分析：<=>产―2必+12(sin九)max又(sinx)max=1=/一2m+1"1在a£[-U]上恒成

Q(—1)<Q

立，即2柩一/<0在上恒成立」

U(D<0

l<a<一

4

【巩固练习】

1

2x2-10x,参考答案

4

第二讲导数及其应用

【知识链接】

1

、、一-1<m<—、(2,+oo)、

22

【知识建构】

x2+x5+sinx3•

=X-z2+T3+s_inx

例、解0,/y2

X

_33上__

/.y'=(x2y+(x)'+(x-2sinx\——x2+3x2-2x_3sinx+x~2cosx

2

()y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x24-11x4-6

y'=3x2+12x+11

・・・xx1.

()・y=-sin—(-cos—)=~smx

y-(gsinx)r=；(sin灯=；cosx

()1+\[x+1—\[x2

)(1-Vx)(l+Vx)

22

・•・"(——Y=---------7

1-x(1-x)2

例、

()・・・'，・•・在点(,)处的切线的斜率2=y'1=2=4

，曲线在点(，)处的切线方程为()，即.

()设曲线y=§尤3+§与过点(，)的切线相切于点A(%,§XO3+_)

则切线的斜率左=

124o

二•切线方程为y—(，九。,H—)=x0(x—x0)

?234

即尸城-x--x0+-

2,4

,1点(,)在切线上，***4=2XQ2—XQ+—

即x03—3X02+4=0x03+x()_―4/-+4=0

・・・(/+1)(/—2)2=0

解得飞=-1或2

故所求的切线方程为4x—>-4=0或x—y+2=0.

变式训练：答案或-工

4

例、(I)解：'(x)=(l-x)e^

令'（），解得

当变化时，’（），（）的变化情况如下表

（F,l）（1,+CO）

，（）

0极大值

所以（）在（—8,1）内是增函数，在（1,+8）内是减函数。

函数（）在处取得极大值（）且（）！

e

（II）证明：由题意可知（）（），得0（）

令（）（）（），即F（x）=祀-‘+（X—2）//

于是小（x）=（x-1）砂"2一产

当〉时，＞，从而e2x-2—l＞0,又e-*＞0,所以F'（）〉,从而函数（）在［8）是增函数。

又（）e“—e“=0,所以x＞l时，有（）＞（）,即（）＞（）.

IID证明：（）

若（玉一1）（々-1）=0,由（I）及f（X］）=f（X?）,则％=尤2=1.与%r/矛盾。

（）若（3-1）。2T）＞0,由（I）及f（xj=f区）,得X］=%2.与玉/工2矛盾。

根据（）（）得（％-1）（々一1）＜0,不妨设%|＜1,々＞1.

由（II）可知，f&2）＞862）,贝！］g62）f（2-X2）,所以f（X2）＞f（2-X2）,从而f（X［）＞f（2-X2）.

因为々＞1,所以2-々＜1,又由（I）可知函数（）在区间（8,）内事增函数，所以再＞2-々，

即％+x2＞.

例、（）/（x）=3/+2or-Q2=3［x-］［x+a）,又〃〉0,

XV或X＞］时，/（x）＞0；当一■时，/（%）＜0;

/（X）在（一00,-〃）和内是增函数，在内是减函数。

()由题意知丁+"2+-2x+!即乂/一12一2)]=0恰有-一根(含重根)

.•.02一240,即一行4。4正,又awO,.•.ae[—痣,o)u(o,五]

当a>0时，g(x)才存在最小值，,ae仅,0].:g(x)=a[x-2)+1--,

](J2

=l—,ae(0,/z(a)的值域为—oo,l----.

aI2_

变题训练：()当a〉0时，/(外在(9,一。)和仁,+应)内是增函数，g(x)在内是

。〉0

增函数，由题意得\a>-=>a>\,

3

当a<0时，“X)在卜0,-]]和(一a,”,)内是增函数，g(x)在(-哈力内是增函数，由题

(7<0

意得<a+2K—=ci<—3

3

a+2v一

Ia

综上可知，实数〃的取值范围为(-。，-可[1,十句；

【学习诊断】

1>/2

、(-1,8)、(-00,2In2-2]§、

、解：(【)-凹=一■^na=3,；

62

(II)极大值/(-2)=21,在x=1处取得极小值/(I)=-6o

【巩固练习】

、解:()f/(x)=(x-k+V)ex,令/'(x)=Onx=左一1；所以/(%)在(一8,1)上递减,在

(左一1,+8)上递增;

()当"1W0,即心1时，函数/(x)在区间［0,1］上递增，所以/G)而0=/(0)=-3

当04-1W1即1<《与2时，由()知，函数/(同在区间［0,左一1］上递减，仅一1,1］上

递增，所以/(4而=//-1)=-尸；

当"1>1,即4>2时，函数/(尤)在区间［0,1］上递减，所以f(x)min=/(I)=(1一幻e。

人=—

、a=4,11

第三讲函数、导数'不等式交汇题型

参考答案

【知识链接】

.()()

【解析】

设&X|,/(占)),B(X2,f(x2)),C(X|,g(X|)),。(无2,g(*2))-

对()，从y=2'的图象可看出，加=砥8>0恒成立，故正确.

对()，直线的斜率可为负，即〃<0,故不正确.

对(),由得/(X)—/(尤2)=g(xJ-g(X2),即/(%)—g(X1)=/(X2)-g(X2)-

令h(x)=/(%)-g(x)=2X-x2-ax,则h\x)=2Jcln2-2x-a.

由"(x)=0得：2'ln2=2x+a,作出y=2'ln2,y=2x+a的图象知，方程21n2=2x+a不

一定有解，所以力(x)不一定有极值点，即对于任意的，不一定存在不相等的实数%,当，使得

//(%,)=/?(x2),即不一定存在不相等的实数%”％2,使得加=〃.故不正确.

对()，由一得/(X1)-/(X2)=g(X2)—g(M)，即/(X|)+g(X］)=/(X2)+g(X2)-

令/?(x)=f(x)+g(x)-2'+x2+ax,贝ijh\x)-2'In2+2x+a.

由h\x)=0得：2”n2=-2x-a,作出y=2'In2,y=—2x-a的图象知，方程2'In2=-2x-a

必一定有解，所以〃(x)一定有极值点，即对于任意的，一定存在不相等的实数%,々，使得

//(x.)=h(x2),即一定存在不相等的实数再,％2，使得〃?=-〃.故正确.

所以()()

【知识建构】

例.()【解】因为/(x)=ax+Z?sinx,所以尸(x)=o+Z?cosx

rg)=a+go=o，/(y)=|--«+-y^=y-^

解得。=11=一2

()【证明】由/'(无)=1-2cos尤=1,得cosx=。

,)7

当天=一万时cosx=0,此时y=——+2,y2=--+2

TT7T

M=%，所以(一生，—代+2)是直线/与曲线s的一个切点；

37r37r37r

当》=卫时，cosx=0,此时y='+2,%=乃+2

37r3兀

M=%，所以(二，二+2)是直线/与曲线s的一个切点；

所以直线/与曲线s相切且至少有两个切点，故条件满足；

对VxwR,g(x)-/(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx>0

所以g(x)N/(x),故条件满足。

例.解()y(x)=%-lnx,=~

XX

，当0<x<l时，/(x)<0,此时/(X)单调递减

当0<x<e时，/(X)>0,此时/(x)单调递增

.••/(幻的极小值为/⑴=1.

o/(X)在极小值为，即/(x)在(0,e］上的最小值为，.•./(x)>OJ(x)min=l

人、，、1Inx1、1-lnx与

令〃(x)=g(x)+7=—+-,/z(x)=—「，①

2x2x

当0cxve时，”(x)>0,h(x)在(0,e)上单调递增，

e222

•••在()的条件下，/(x)>g(x)+g.

(1)假设存在实数a,使/(X)=ac—lnx,在［o,e］上有最小值，

"/、1ax-\

jM=a——=-----,

xx

①当aWO时，/(x)在(0,e］上单调递减，f(x)min=f(e)=ae-l=3,

4

。二一(舍去)，所以此时八%)无最小值.

e

②当0<。<，时，/(X)在(0,工)上单调递减，在上单调递增，

ea\a

2

/(x)min=/(-)=l+lna=3,a=e满足条件・

a

③当L"时，/(x)在(0,e］上单调递减，/(x)min=/(e)=ae—l=3,

4

a=-(舍去)，所以此时/(x)无最小值.

e

综上，存在实数a=e2,使得当xe(O,e］时/(x)有最小值

例【解析】()r(x)=a?—3x+a+lf(x)在x=l取得极值/(1)=0即

a-3+a+l=0;.a=l

(II)ax"—3x+a+I—x—a+1即(x~+2)a—x~-2x>0令g(x)=(x~+2)tz-x~—2x

即对任意ae(0,+oo)都成立则g(0)>0即(f+2)•0-d-2x20—2WxW0

例解析：()因「(尤)=73)+8(刈=/+(%—1)/+(无+5)-1,

p'(x)=3x2+2(左一l)x+(2+5),因p(x)在区间(0,3)上不单咖，所以p'(x)=0在(0,3)上有

实数解，且无重根，由〃'(x)=0得乂2x+l)=—(3——2X+5),

,(3f—2X+5)3「小八9lOH一，_/,小、，八9

.•/=----——=--\(2x+l)+——--，令At=2x+l有tw(l,7),记做)才+；

则/《)在(1,3］上单调递减，在［3,7)上单调递增，所以有〃⑺«6,10),于是

Q

(2x+l)+^-j-e［6,10),得5,-2］,而当我=—2时有p'(x)=0在(0,3)上有两个相等

的实根x=l,故舍去，所以女€(—5,—2)；

()当x<0时有q'(x)=/z(x)=3x2-2(k2-k+T)x+5；

当x＞0时有q'(x)=g'(x)=2%2x+Z,因为当Z=0时不合题意，因此上WO,

下面讨论左的情形，记=伏,+8),(5,+x)(i)当玉＞0时，q'(x)在(0,+»)上单调递增,

所以要使4'(％2)=/(看)成立，只能々＜0且AqB,因此有人》5,(ii)当王＜0时，q\x)

在(0,+8)上单调递减，所以要使q'(w)=/(xj成立，只能々＞0且A=因此攵W5,综

合(i)(ii)k=5；

当左=5时，则V玉＜0,q'(xJe3=A,即切＞0,使得/(&)=/(%)成立，因为q'(x)在

(0,+。。)上单调递增，所以々的值是唯一的；

同理，Vx,＜0,即存在唯一的非零实数々(々力玉)，要使/(%2)=/(芯)成立，所以k=5满

足题意.

/z(x)=x2-8x+61nx+/n,

2

例解析：，，/、c。62X-8X+62(X-1)(X-3)Z小

:.h'(x)=2x-8+—=-=———-----(x>0),

XXX

当(0,1)时，"(x)＞0,〃(x)是增函数;

当xw(l,3)时，〃'(x)<0,〃(x)是减函数;

当XG(3,+8)时，〃'(x)>0,〃(x)是增函数;

当x=l,或x=3时，h\x)=O.

•••人(x)极大值==1)==一7,/i(x)极小值==3)==+61n3-15.

当x充分接近时，饵幻＜0,当无充分大时，A(x)＞0.

.••要使/z(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

心)极大值=加一7＞0,

即7(加<15—61n3.

以无)极小值=w+61n3-15＜0,

所以存在实数m，使得函数y=/(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,

m的取值范围为(7,15—61n3).

3

例解.(1)/'(I)3+2tz=>a而/''(无)6x+2a=6x—3,

当xe(g,+8)时，/"(x)>0成立，

故f(x)=x3+ax2+b在(g,+oo)上为下凸函数；

⑵.任取X],/e(g,+oo),则)[/区)+f(x2)]-2/(*；空)

=xj―万%-+8+/3一二马~+A—2(■X+元2)33卢+—)2+b

222

3

—+%2—1)(王一X2厂920

即([/□)+/5)]

【学习诊断】

.选.(2,+oo).

【巩固练习】

•(^X),-l)U(|,-K»).()

.()依题意,^f\x)=x2+2ax+b

由/，(-1)=1-2。+。=0得匕=24—1

(II)由()得/(x)=+6rx2+(2。一])》(

故f(x)—x~+2ax+2a—1—(x+l)(x+2a—1)

令/'(x)=0，则x=-l或x=l-2a

①当a＞l时，1一2。＜一1

当x变化时，/'(x)与/(x)的变化情况如下表:

(-oo,1—2Q)(一2a,-l)(-1+00)

X

f\x)

一

fM

单调递增单调递减单调递增

由此得，函数/(x)的单调增区间为(一00,1—2。)和(一1,+8),单调减区间为(1一2。，一1)

②由。=1时，1-2。=一1,此时，/'(x)20恒成立，且仅在x=—1处/'(x)=0,故函数/(x)

的单调区间为

③当。＜1时，1-2。＞一1,同理可得函数/(x)的单调增区间为(一8,—1)和(1一2。,+8),单调

减区间为(一1,1一2。)

综上：当a＞1时，函数/(x)的单调增区间为(—8,1-2a)和(一1,+8),单调减区间为(1一2区-1)；

当。=1时，函数/(x)的单调增区间为:

当”<1时，函数/(x)的单调增区间为(3,—1)和(1—2a,+oo),单调减区间为(—1,1—2a)

(III)解法一：当。=一1时，得f(x)=—三一%2一3%

由/'(x)=d-2%_3=0,得玉=_1,々=3

由(H)得/(乃的单调增区间为(一8,-1)和(3,+00),单调减区间为(T,3)

所以函数/(x)在玉=一1±=3处取得极值。

故M(-1,*).N(3,-9)

3

Q

所以直线MN的方程为y=-jx-

y=_x_x"_3x

WX3-3X2-X+3=O

令F(x)=x3-3x2-x+3

易得E(0)=3>0,F(2)=-3<0,而尸(x)的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，

故尸(x)在(0,2)内存在零点%,这表明线段MN与曲线/(%)有异于M,N的公共点

解法二：当。=-1时，得f(x)--x3-x2-3x,由/［力=x2-2x-3=0，得％=-1,%2=3

由(H)得/(幻的单调增区间为(7,-1)和(3,+8),单调减区间为(一1,3),所以函数/(x)在

西=-1,/=3处取得极值，

故M(—1,|),N(3,—9)

Q

所以直线MN的方程为y=-十—1

得/_3%2_》+3=0

=——X-

解得％=-1,x2=l.x3=3

==

X,1-1Xj1rg

2x3=3

・〈八

Iy=G5，%=_1不151%=-9

、JIJ

所以线段MN与曲线/（x）有异于M,N的公共点（1,-，）

.解：（1）函数/（x）的定义域为（0,+8）,因为尸（的=：_〃_宁=二"、彳:+匕I

所以当。=。时，/'（©=二，令r（用=2?>0得％>i,所以此时函数/（X）在（1,+oo）±

是增函数，在（0,1）是减函数；

1-r24-2X4--1-（X-]}2

当。=士时，f\x）=--------y——=--2—<0,所以此时函数/（X）在（0,+8）是减函数;

当0<。<，时，令/'3=一渥+：+°-1>0,解得1<XJ—1,此时函数f（x）在（1」—1）

2xa\a）

是增函数，在（0,1）和（L—1,+00）上是减函数；

a

当，<a<i,4f\x）=+x+a>0,解得L—l<x<l,此时函数/（处在1,1]

2xaya）

是增函数，在（O,，一1）和（1,物）上是减函数；

a

当由于工一1<0,,令/'（》）=_"『+'：+'Ll〉0,解得O<X<1,此时函数/（X）在

ax

（0,1）是增函数，在（L+o。）上是减函数.

（II）（/）当时，f（x）在（，）上是减函数，在（，）上是增函数，所以对任意为e（0,2）,

4

有f（X1）Nf（l）=-；,又已知存在七«1,2],使/（%）ig（X2），所以一

9

即存在xe[l,2],使g（x）=f-2法+4«—g,BP2^>x2+1,即2》2x+2g,

171717

所以2力21,解得人之至，即实数Z?取值范围是[可,+8）.

（"）不妨设1<占4/42,由函数/（x）在（1,2]上是增函数，函数y=，在（1,2]是减函

X

数,

\f(xi)—f(x,)|<A,------等价于/(七)-/(与)42(-------).所以/(工2)+彳一4/(王)+2—

%]X2X1x29x,

设/j(x)=/'(x)+Z=lnx-1x+<-+2是减函数，

x44xx

R111

所以“(x)NO在(1,2]上恒成立，即巳+几之x—上f=—±(X-2)2+1,解得；IN

4444

第四讲数列一

参考答案

【知识链接】

.；2"1——；.&=10；.；.

2

【知识建构】

例.【解析】()设｛aj的公比为g,则仇=l+a=2,b2=2+aq=2+q,

22

b3=3+aq=3+q,由仇,b2,打成等比数列得(2+q)?=2(3+/),

即q2-4q+2=0,解得/=2+拒，q2=2-42

所以｛七｝的通项公式为=(2+收)"T或an=(2-何t.

()设｛%｝的公比为q,则由(2+aq)2=(1+4)(3+四2),得-4aq+3a-l=0(*)

由4〉0得△=4。2+4。＞0,故方程（*）有两个不同的实根.

由｛4｝唯一，知方程（*）必有一根为，代入（*）得。=；.

2

例.【解析】（I）由已知，an=aq"-',因此岳="，S,=a（\+q+q）,S&=a（l+q+d+/）.

当加、S?、S&成等差数列时，SI+54=2S,,可得aq=aq+aqz.

化简得/-q-l=0.解得4=丹6.

（H）若q=1,则｛g｝的每项a„=a,此时am+k、j、aM显然成等差数列.

若尸1,由题意S“、S“、S,成等差数列可得S„,+Sj=2,,即

〃（4一1）a（勺1）dl-q

-------1--------=---------.

q—1q~1~€[1

mkmn+k

整理得q+q'=2g".因此，am+k+al+k=aq-\q+q'）=2aq-'=24M.

所以，4+*、%+*、q+*也成等差数列•

例.【解析】（）设公差为d,则-a；—《，从而-3d（%+13）="（。4+%），因

7x6一

为dwO,所以。4+%=。，即26+54=0,又由S?=7得7%+—^~d=7,解得

所以他J•的通项公式为Q*=2八一7,前冏项和用=/一6冏。

q=-5,d=2,

()绮皿⑵~7)(24-5)，设2m_3=t,

方法-：a'"+2?吁3

则强如(-4)”2)=/+§_6,所以，为的约数

。,“+2tt

因为土是奇数,所以方可取的值为±1,

当1=1,沼=2时，£+；-6=3,2*5—7=3,是数列｛%｝•中的项；

当f=-1,m=l时，£+一一6=75,数列｛%｝中的最小项是一5,不符合.

所以满足条件的正整数m=2.

方法二：因为马心曲=(%+2-4)(%+2-2)=a,/?一6+为数列｛4｝中的项,

,,+2«m+2-%+2

Q

故——为整数，又由()知：a,“+2为奇数，所以%+2=2加—3=±1,即机=1,2

am+2

经检验，符合题意的正整数只有加=2.

例.【解析】()依题意可设第一行公差为d,各列公比为g(q>0),

a

fl24=i^=(«!1+3</)9=1

21即得q=d=7；

«=a\A2=(a+d)q=-2

｛32il

iik

。％«=%|+(4—1时=彳+仅-1)不=不；

八,〃/1〃、«(«+1)

()A,=a11+<z12+a13++a1),=-(-+-)=--一

【学习诊断】

.();()

•,

2

]

-4=(c「c"c；；)17^：

•()a„=2n-12；()5„=4(1-3").

【巩固练习】

.8

.()h„=5-2"-3；()略.

ZX1/X2〃

.()a=—；()-----.

〃n3"72+1

.()数列{&}的前项为:、、、、；

第五讲数列二

【知识链接】

2,n-1

2n-\,n>2,neN

-1)x4-«

【知识建构】

例.【解析】（）因三点M,4,3,共线，即。“=2+2（〃一1）,故数列｛%｝的通项公式为4=2〃.

（）由题意，％=8-4"3=22"3,又4fa,=〃（2；2〃）=〃（〃+］）

a}b]\a2b?+...+。也

.从a{b{+a2b2+…+anbH=n(n+1)(2〃-3).

当〃22时，anhn-n(n+1)(2/?-3)-(/?-l)/?(2n-5)=〃(6〃—8).

当〃=1时，a/T=—2也适合上式.

anhn=〃(6〃-8).因。〃=2n从而hn=3H-4(〃eN*).

b-b

・•・任意两点Pn,P“_i的斜率k=j—T-=3(〃22,〃eN*)为常数.

n-(n-1)

故点列6（1,4）,g（2,打）女）在同一条直线上.

例.【解析】（）法一：由已知凤+|=",，可得%+2=""+|,两式相减可得

4+2-4川=「（Em-S"）=ran+l,

%+2=(7+1)4+1，

即

又名=ra\~ra,

所以时,

数列仅"｝为：，，••

当时，由已知所以生力0（〃eN*）,

_吐=r+l(〃eN")

于是由“〃+2=(〃+1)。〃+1，可得。〃+1

电，/，，q,+成等比数列,

.,.当门22时-%=r(r+l)”2a

a,n-1

综上,数列的通项公式为=«

r(r+1)n-2a,n>2

C

法二:由a,+i=rS”可得S“M—S”=与"即3=「+1,从而S“=a(r+1)"T,再进一步可

S”

S[,n=\

根据a“=<*得到凡.

[s,fT，n>2,neNf

（）对于任意的meN”,且“22,。,“+|,%,区“+2成等差数列，证明如下:

a,n=1,

4=

当时，由（）知，0,H>2

m

对于任意的eN*,且加之幺am+i,am,am+2成等差数列,

当r00,广。一1时,

S&+2=SR+%++%+2,Sk+l+aM.

若存在keN",使得S«+i，5,Sk+2成等差数列,

则Sk+i+S&+2=2Sk,

••2sA+2%+i+4+2=2sA,即4+2=一24+],

由（）知，生，。3，'%〃，的公比"+1=-2,于是

对于任意的mwN*,且加22,%+]=-2a,“，从而a,“+2=4atn,

••am+l+am+2~2am»即%+1，4">"M+2成等差数列，

综上，对于任意的meN*,且加上2,4用成等差数列。

22

例.【解析】()bn=an+n,an=b„-n~,a,,^=bn^-(o-l)

将上两式代入an=2a“t+川-4〃+2,整理化简得

%=2勿(〃22).

由4=2。+1得％=4。，82=4+4=4a+4.

•/aw-1,人2。0.

即也/从第项起是以为公比的等比数列.

()法一：S'=a+(4"K-k-3…+(2"2)2”

S_(2a+2)2"-3a-4_2+3a+4

当“22时,n

S„_,一(2a+2)2"“一3a—4-(a+1)2“—3a—4

是等比数列；.&(〃22)是常数3a+4=0即。=一3

S“T3

法二：由｛，｝是等比数列可得其前三项成等比数列，即S；=S/S3,从而得到关于。的方程，求

出a后注意验证｛S,J是等比数列.

()由()知当时，=(4a+4)2"-2=(。+1)2"

2Q+1,n=l

”[(4+1)2"-〃2,n>2

/.n>2,an+}-an=(a+1)2〃一(2〃+1)

•・•〃23时，有2">2/1+1

〃23时，。〃+]>an.

显然最小项是前三项中的一项.

当ae(O,,)时，最小项为8a一1；当。=，时，最小项为4a或8a—1；

44

当时，最小项为4a：当。=>!■时，最小项为4a或24+1；

422

当ae(g,+8)时，最小项为2a+l.

【学习诊断】

.()an=a}-y-'(neN")；

()存在,4=-2.

・()。“=2一〃；()S〃=/,

.()4=1」：()略.

n

【巩固练习】

.n+(〃+1)+(〃+2)++(3n-2)=(2〃—I)2.

・()

e-el~n

()

e-1

.Oa〃n++li=-2a〃„+3-;()略；

----,〃=2Z+LkeN

.()略；()q,=<2、

n~

—,n=2k,kwN

2

()略.

第六讲三角函数的图象和性质参考答案

【知识链接】

.6\MN\=\sina-cosa\=y/2sin(a-7),求出最大值即可.

.fM=(1+A/3tancosx=cosx+V3sinx=2sin(x+—)(其中+工MEZ)

62

结合定义域可得最小正周期为2%.

.函数y=3cos,0|中心对称

.•.2.9+9=左乃+工，°=/：万一史(攵€2)由此易得|0|„1而=三

3266

-f(x)…叵Isin(2^yx-^)--(其中ta^n=—且

2222

由w」

1

),由---=—,得69=2,及〃>0,得P=6

2692222

TT\

/(x)=sin(4x--)--

.—r/、.7CTCTC.7CT7C1正sinB-九。S71T

.解：/(x)sin—xcos----cos—xsin-----cos—x

464642424

M5-令

解法一：在>=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于尤=1的对称点Q-x,g(x)).

由题设条件，点(2-再g(x))在y=/(x)的图象上，从而

^(-^)=/(2-x)=V3sin［^(2-x)-y］V3sin［y-x-y］73cos(-^x+y)

37T7T27r4

当0"久时，y<^X+y<y,因此y=g(x)在区间［0,学上的最大值为

^max=V3COSy=—

4?

解法二：因区间［0,1关于x=l的对称区间为勺,2］,且y=g(x)与y=/(x)的图象关于

42

x=1对称，故y=g(x)在［0,-］上的最大值为y=/(x)在2］上的最大值

由(I)知/(x)uGsingx-?)

当2«xK2时，一至V生—工〈工

36436

因此y=g(x)在［0,3上的最大值为gm”=Gsin£=g.

命题意图：在知识的交汇处出题，一方面考察了三角函数的周期、最值，另一方面综合了函数的

对称性的运用.

【知识建构】

_72

,2

2万

.【答案】()(7，1)()r<0

【解析】