两个计数原理的综合应用课件高二上学期数学人教B版选择性

人教B版

数学

选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理习题课——两个计数原理的综合应用课标定位素养阐释1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系.2.能综合运用两个计数原理解决一些实际问题.3.提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一分类加法计数原理针对的是“分类”问题分步乘法计数原理针对的是“分步”问题区别二各种方法相互独立各个步骤互相依存区别三任何一种方法都可以完成这件事只有各个步骤都完成才算完成这件事2.某单位职工开展无偿献血活动,在体检合格的员工中,O型血的有18人,A型血的有10人,B型血的有8人,AB型血的有3人.若完成下面两件事:①从中任选1人去献血;②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选法的种数分别是(

)A.4320,39 B.39,39C.39,4320 D.4320,4320解析:①根据分类加法计数原理,共有18+10+8+3=39种不同选法.②根据分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4

320种不同的选法.答案:C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)如果完成一件事有两类办法,第一类办法中有m种不同的方法,第二类办法中有n种不同的方法,那么完成这件事有mn种方法.(×)(2)在分步乘法计数原理中,只有所有步骤都完成,才能完成这件事.(√)合作探究释疑解惑探究一组数问题【例1】

用0,1,2,3,4这五个数字,(1)可以排成多少个三位数字的号码?(数字允许重复)(2)可以排成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?解:(1)三位数字的号码,首位可以是0,数字可以重复,故每个位置都有5种排法,依据分步乘法计数原理,可以排成5×5×5=125个三位数字的号码.(2)排成一个三位数,可以分为三步:第一步,确定百位上的数字,百位上的数字不能为0,共有4种方法;第二步,确定十位上的数字,共有5种方法;第三步,确定个位上的数字,共有5种方法.依据分步乘法计数原理,可以排成4×5×5=100个三位数.(3)能被2整除的数为偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类:一类是末位数字是0,分两步,第一步,首位有4种排法,第二步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理,有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,分三步,第一步,末位有2种排法,即2或4,第二步,排首位,因为0不能在首位,所以有3种排法,第三步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理,有2×3×3=18种排法.依据分类加法计数原理,有12+18=30种排法.故可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.延伸探究用本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位奇数?解:分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定千位,有3种方法;第三步定百位,有3种方法;第四步定十位,有2种方法.依据分步乘法计数原理,共有2×3×3×2=36个无重复数字的四位奇数.反思感悟对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成.如果正面分类较多,那么可采用间接法求解;(2)要注意数字“0”不能排在多位数的最高位.【变式训练1】

从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,排成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为

,奇数的个数为

.

解析:若是偶数,则分三步完成:第一步,从0和2中任选一个数字放在个位,有2种选法;第二步,从1,3,5中选1个数字放在百位,有3种选法;第三步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法.依据分步乘法计数原理,偶数共有2×3×2=12个.若是奇数,则此三位数可以分成两种情况,即奇偶奇,偶奇奇.若是奇偶奇的情况,则可以分三步完成:第一步,从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从0,2中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在百位,有2种选法.依据分步乘法计数原理,不同的选法有3×2×2=12种.若是偶奇奇的情况,则可以分三步完成:第一步,从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,百位上的数字不能为0,故只能为2,只有1种选法.依据分步乘法计数原理,不同的选法共有3×2×1=6种.故奇数共有12+6=18个.答案:12

18探究二选(抽)取与分配问题【例2】

现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法?(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法?解:(1)从中选派1名去参加外出学习,共有三类不同的选法:第一类,选出的是医生,有3种选法;第二类,选出的是护士,有5种选法;第三类,选出的是麻醉师,有2种选法.根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法.(2)组成1个医疗小组,分三步:第一步,选1名医生,有3种选法;第二步,选1名护士,有5种选法;第三步,选1名麻醉师,有2种选法.根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法.反思感悟解决选(抽)取与分配问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法或者图表法等.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.先去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,再减去所有不符合条件的抽取方法数即可.【变式训练2】

有一项活动,需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同选法?(2)若需教师、男学生、女学生各1人参加,有多少种不同选法?(3)若需1名教师、1名学生参加,有多少种不同选法?解:(1)只需1人参加共有三类选人的方法:第一类,从3名教师中选1人,有3种方法;第二类,从8名男学生中选1人,有8种方法;第三类,从5名女学生中选1人,有5种方法.依据分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法.(2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法;第二步选男学生,有8种方法;第三步选女学生,有5种方法.依据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法.(3)可分两类.第一类:先选1名教师,再选1名男学生,共有3×8=24种选法;第二类:先选1名教师,再选1名女学生,共有3×5=15种选法.依据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法.探究三涂色与种植问题【例3】

(1)如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂法种数为(

)A.280 B.180

C.96

D.60(2)如图,将3种作物全部种植在这5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有

种.

解析:(1)按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,由于可重复使用区域A中已用过的颜色,因此D区域也有3种颜色可选.依据分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种涂法.(2)分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设种植a,再安排第二块田,有2种方法b或c,不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或c.若第三块田种植c,则第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法.若第三块田种植a,则第四块田有b或c

2种方法,①若第四块田种植c,则第五块田有2种方法;②若第四块田种植b,则第五块田只能种植c,共1种方法.依据基本计数原理,共有3×2×(2×2+2+1)=42种方法.答案:(1)B

(2)42反思感悟解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析;(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.【变式训练3】

如图,用红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别给5个区域涂色,要求相邻的两个区域的颜色不相同,有多少种不同的涂色方法?解:如图,将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种,但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同,则E区域有2种涂色方法;若B区域与D区域涂的颜色不相同,则E区域只有1种涂色方法.(1)当B区域与D区域同色时,依据分步乘法计数原理,有4×3×2×2=48种涂色方法;(2)当B区域与D区域不同色时,依据分步乘法计数原理,有4×3×2×1×1=24种涂色方法.依据分类加法计数原理,共有48+24=72种不同的涂色方法.【易错辨析】

因计数时出现遗漏而致误【典例】

有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,一共可以组成多少种不同的信号?错解:每次升1面旗可组成1种不同的信号;每次升2面旗可组成2种不同的信号;每次升3面旗可组成3种不同的信号.根据分类加法计数原理,一共可以组成1+2+3=6种不同的信号.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号.正解:每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成3+9+27=39种不同的信号.防范措施解决此类问题要仔细审题,正确理解题意.一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性.随堂练习1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy的不同值的个数为(

)A.2 B.4

C.8

D.15解析:第一步,从集合{1,2,3,4}中选一个数,共有4种选法;第二步,从集合{5,6,7,8}中选一个数,共有4种选法.依据分步乘法计数原理,共有4×4=16种选法.其中3×8=4×6,所以xy的不同值的个数为15.答案:D2.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作A,B两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有(

)A.6种

B.5种

C.4种

D.3种解析:若选甲、乙,则有2种方法;若选甲、丙,则有1种方法;若选乙、丙,则有1种方法.根据分类加法计数原理,不同的选派方法有2+1+1=4种.答案:C3.（多选题）下列说法中正确的是(

)A.4封信投入到3个不同的信箱共有43种不同的投法B.从2,3,5,7四个