2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时分层作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时分层作业(十六)空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：60分钟)一、选择题1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4D[依据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．明显②正确．③中由eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，知eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))共面．又eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc．∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与条件冲突，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D．]2．已知i，j，k是空间直角坐标系O­xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定D[eq\o(AB,\s\up7(→))＝－i＋j－k，只能确定eq\o(AB,\s\up7(→))的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．]3．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO,\s\up7(→))1，eq\o(AO,\s\up7(→))2，eq\o(AO,\s\up7(→))3}为基底，eq\o(AC′,\s\up7(→))＝xeq\o(AO,\s\up7(→))1＋yeq\o(AO2,\s\up7(→))＋zeq\o(AO,\s\up7(→))3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2A[eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up7(→))＝eq\o(AO1,\s\up7(→))＋eq\o(AO3,\s\up7(→))＋eq\o(AO2,\s\up7(→))，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1．]4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A．eq\o(OA,\s\up7(→)) B．eq\o(OB,\s\up7(→))C．eq\o(OC,\s\up7(→)) D．eq\o(OA,\s\up7(→))或eq\o(OB,\s\up7(→))C[因为a－b＝2eq\o(OC,\s\up7(→))，所以a，b与eq\o(OC,\s\up7(→))共面，不能构成空间的一个基底．]5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq\f(1,4)A1B1，则eq\o(BE,\s\up7(→))等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)，－1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0，－1))C[由题图知B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1))，所以eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1))．]二、填空题6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]7．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up7(→))＝________．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c[eq\o(B1M,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c．]8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则eq\o(MN,\s\up7(→))的坐标为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))[∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，P(0,0,1)，C(－1,1,0)，则Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))．∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))．]三、解答题9．如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up7(→))＝c．(1)用a，b，c表示向量eq\o(OB′,\s\up7(→))，eq\o(AC′,\s\up7(→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(OB′,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BB′,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→))＝a＋b＋c．eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝b＋c－a．(2)eq\o(GH,\s\up7(→))＝eq\o(GO,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\o(OG,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OO′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(c－b)．10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up7(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．[解](1)如图，eq\o(D1B,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1．1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则eq\o(OG,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))C．eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up7(→))＋\o(OB,\s\up7(→))＋\o(OC,\s\up7(→))))D．eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))B[如图，eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))．]2．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，向量a在基底{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))}下的坐标为()A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)B[∵a＝2eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－3eq\o(AA1,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))－3eq\o(DD1,\s\up7(→))＝－eq\o(DA,\s\up7(→))＋2eq\o(DC,\s\up7(→))－3DD1，∴向量a在基底{eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B．]3．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up7(→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝________．3a－eq\f(5,2)b＋3c[eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c．]4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c(1,1,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))[由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又∵p＝2a＋b－c∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝1,z＝－1))，解得x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝－1；∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))．]5．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))的坐标．[解]过点A作AG垂直平面BCD于点G，所以G为△BCD的中心，过点G作GF∥CD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点．以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G­xyz，因为△BCD的边长为1，所以BE＝eq\f(