山东专用2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第五讲直线平面垂直的判定与性质学案含解析

PAGE1-第五讲直线、平面垂直的判定与性质ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一直线与平面垂直(1)直线与平面垂直①定义：若直线l与平面α内的__随意__一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条__相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，__b⊂α__，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α．③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__平行__.即：a⊥α，b⊥α⇒__a∥b__．(2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角．若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为__0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为eq\f(π,2)．②线面角θ的范围：θ∈[0，eq\f(π,2)]．学问点二平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线动身的__两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱__垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，假如它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面相互垂直．②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒__α⊥β__．③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒__a⊥β__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论中错误的是(ABC)A．直线l与平面α内的多数条直线都垂直，则l⊥αB．垂直于同一个平面的两平面平行C．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是(ABC)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β[解析]对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三考题再现3．(2024·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC[解析]∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(多选题)(2024·山东潍坊月结学情考试)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(AD)A．PB⊥AE B．平面ABC⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．∠PDA＝45°[解析]对于A，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故A正确．对于B，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不行能垂直，故B不正确．对于C，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故C不正确．对于D，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故D正确．综上A、D正确．5．(2024·中原名校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中肯定能推出m⊥β的是(C)A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β[解析]对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立．故选C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1(1)(2024·山东济宁期末)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是(C)A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β(2)(2024·陕西汉中质检一)已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m，②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中全部正确的命题是(A)A．①③ B．①④C．②③ D．①②③④(3)(多选题)(2024·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是(ABD)A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1n⊥β,m∥n))⇒m⊥β,m∥α))⇒α⊥β.故选C．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2l⊥α,α∥β))⇒l⊥β,m⊂β))⇒l⊥m，①对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,l⊥α))⇒m⊥α,m⊂β))⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A．(3)由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n相交，或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误，故选A、B、D．名师点拨☞解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出推断，或借助笔、纸、桌面进行演示，留意能平移或旋转的线，让其动动再推断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(2024·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条是(C)A．m⊥n，n⊂α B．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥β D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n[解析]对于答案A：m⊥n，n⊂α，得出m与α是相交的或是垂直的，故A错；答案B：m∥β，α⊥β，得出m与α是相交的、平行的都可，故B错；答案C：n⊥α，n⊥β，得出α∥β，再m⊥β得出m⊥α，故C正确．考点二直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1线、面垂直的判定例2(2024·新课标全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解析](1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3)．连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2．由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足为H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°．所以OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5)．所以点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5)．角度2线、面垂直的性质例3(2024·湖北武汉调研测试)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠DAB＝eq\f(π,3)，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝eq\f(\r(10),2)．(1)证明：PB⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．[解析](1)证明：如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD．∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴AD＝AB＝1，∵∠DAB＝eq\f(π,3)，∴△ABD是等边三角形．∴BH＝eq\f(\r(3),2)，BH⊥AD．∵PA＝PD，H为AD的中点，∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，∴AD⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB，∴AD⊥PB，又AD∥BC，∴PB⊥BC．(2)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC．∴AD∥平面PBC．∴点A与点H到平面PBC的距离相等．由(1)知AD⊥平面PHB．∴BC⊥平面PHB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PHB．过点H作HM⊥PB于M．由平面PHB∩平面PBC＝PB，知HM的长即点H到平面PBC的距离．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面PAD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，又BH⊂平面ABCD，∴PH⊥BH．PH＝eq\r(PA2－AH2)＝eq\f(3,2)，BH＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\r(PH2＋BH2)＝eq\r(3)，∴HM＝eq\f(PH·BH,PB)＝eq\f(\f(3,2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(3,4)．名师点拨☞(1)解决直线、平面垂直问题的常用方法：①利用线面垂直的定义；②利用线面垂直的判定定理；③利用线面垂直的性质；④利用面面垂直的判定定理；⑤利用面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1①证明：BE⊥平面EB1C1②若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C(2)(角度2)(2024·新疆乌鲁木齐诊断)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\r(2)，AB＝AA1＝2，E是棱CC1的中点．①求证：A1B⊥AE；②求点A1到平面ABE的距离．[解析](1)由已知得B1C1⊥平面ABB1ABE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6．作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18．(2)①证明：如图，取A1B的中点F，连接AF，EF．∵三棱柱ABC－A1B1C1∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB又∵E是CC1的中点，且A1C1＝BC∴A1E＝BE，∴A1B⊥EF．又∵AB＝AA1，∴A1B⊥AF．又AF∩EF＝F，∴A1B⊥平面AEF．又AE⊂平面AEF，∴A1B⊥AE．②V三棱锥A1－ABE＝V三棱锥B－A1AE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(2,3)，设A1到平面ABE的距离为h，则eq\f(1,3)S△ABE·h＝eq\f(2,3)，由已知得AE＝BE＝eq\r(3)，∴S△ABE＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，∴h＝eq\r(2)．即A1到平面ABE的距离为eq\r(2)．考点三空间两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4(2024·河北省衡水中学模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1．(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝eq\r(3)，因为PC＝2，BC＝1，PB＝eq\r(3)，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示：由(1)知BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD，又PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝eq\f(\r(3),2)；因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)．名师点拨☞(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(2024·湖北省武汉部分重点中学联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分别为线段PC，AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．[解析](1)∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD，∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB．(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r(3)，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，∵PM＝eq\f(1,2)PC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f(1,2)VC－PNB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(1,2)．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升立体几何中的折叠问题例5(2024·全国统一诊断卷)在五边形ABCDF中，E是边DF上的点，AF∥BE∥CD，BC∥DF，BC⊥CD，AB＝BC＝eq\r(2)，AF＝EF＝1，BE＝CD＝2，如图1，将四边形AFEB沿BE折起，使平面AFEB⊥平面BCDE，将△BCD沿BD折起，使点C与点A重合，重合的点记为M，如图2．(1)连接EM，证明：平面BDM⊥平面DEM；(2)求点E到平面BDM的距离．[解析](1)证明：因为EM＝eq\r(MF2＋EF2)＝eq\r(2)，MB＝eq\r(2)，BE＝2，所以EM2＋MB2＝BE2，所以MB⊥EM．又因为BC⊥CD，即MB⊥MD，EM∩MD＝M，EM⊂平面DEM，MD⊂平面DEM，所以MB⊥平面DEM．因为MB⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面DEM．(2)易知∠BED＝90°，所以S△BED＝eq\f(1,2)BE·ED＝eq\r(2)．又MF∥BE，BE⊂平面BED，MF⊄平面BED，所以MF∥平面BED．因为平面BEFM⊥平面BED，平面BEFM∩平面BED＝BE，EF⊥BE，所以EF⊥平面BED，所以EF是三棱锥M－BED的高．所以VM－BED＝eq\f(1,3)S△BED·EF＝eq\f(\r(2),3)．又易知△BMD是直角三角形，S△BMD＝eq\f(1,2)BM·MD＝eq\r(2)．设点E到平面BDM的距离为h，则VE－BDM＝eq\f(1,3)×eq\r(2)h，因为VM－BED＝VE－BDM，所以eq\f(\r(2),3)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)h，得h＝1，即点E到平面BDM的距离为1．名师点拨☞证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生改变．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于改变的关系则要在立体图形中解决．〔变式训练4〕(2024·湖北八市联考)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且