山东省平邑县曾子学校2025届高考冲刺数学模拟试题含解析

山东省平邑县曾子学校2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．3．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（）A． B． C． D．4．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A． B．C． D．5．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A．9 B．10 C．18 D．206．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．7．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，8．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-19．若（），，则（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．110．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A．56383 B．57171 C．59189 D．6124211．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙12．已知集合，则集合（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.14．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．16．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有.（1）求证：数列是等差数列（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.18．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.（1）若，求线段的中点的坐标；（2）设点，若，求直线的斜率.19．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）20．（12分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数．（1）写出与的直角坐标方程；（2）在什么范围内取值时，与有交点．21．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.22．（10分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.2、A【解析】

设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得①，由，解得，方程①为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.3、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，，由图象可知选B.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.4、B【解析】

选B.考点：圆心坐标5、B【解析】

由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，由f（x）＝f（2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，g（x），作出函数f（x）与g（x）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.6、D【解析】

先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由，，可得或，又所以.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.7、D【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.8、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.9、A【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【详解】由于（），，所以，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.10、C【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列，记数列则令，解得.故该数列各项之和为.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。11、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．12、D【解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.【详解】因，所以，故，又，，则，故集合.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.14、【解析】

由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.15、丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.16、【解析】

由题意首先研究函数的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】当时，函数在区间上单调递增，很明显，且存在唯一的实数满足，当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，考查函数在区间上的性质，由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数有6个零点，即方程有6个根，也就是有6个根，即与有6个不同交点，注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，绘制函数的图像如图所示，观察可得：，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）用数学归纳法证明即可；（2）根据条件可得，然后将用，，表示出来，根据是一个整数，可得结果．【详解】解：（1）令，，则即∴，∴成等差数列，下面用数学归纳法证明数列是等差数列，假设成等差数列，其中，公差为，令，，∴，∴，即，∴成等差数列，∴数列是等差数列；（2），，若存在正整数，使得是整数，则，设，，∴是一个整数，∴，从而又当时，有，综上，的最小值为．【点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和，再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标；（2）利用直线参数方程的几何意义得到，再利用计算即可，但要注意判别式还要大于0.【详解】（1）由已知，曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，当时，将（为参数）代入得，设直线l上A、B两点所对应的参数为，中点M所对应的参数为，则，所以的坐标为；（2）将代入得，则，因为即，所以，故，由得，所以.【点睛】本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.19、（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长【解析】

（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；（3）由图表直接判断结果.【详解】（1）100名学生中共有男生48名，其中共有20人参加公益劳动时间在，设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为，那么；（2）的所有可能取值为0，1，2，3.∴；；；.∴随机变量的分布列为：（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.20、（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消参可得直角坐标方程.（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，与有交点，可得，解不等式即可求解.【详解】（1）（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得：与有交点，即【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.21、（1）（2）【解析】

（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设