偏微(18)变分问题的近似计算

四、变分问题的近似计算4.1Ritz方法Ritz形式的变分问题（4.1）

求（4.1）的近似解求解（4.1）有困难K是无穷维的函数空间P197(2.6)四、变分问题的近似计算其维数为N,（4.3）

是实常数函数空间。

为试探我们称一个有限维的子空间设K的上一组基函数为设（4.1）

四、变分问题的近似计算代替K，得到问题（4.1）的近似问题是（4.4）上讨论极小问题，在（4.1）

四、变分问题的近似计算（4.5）式中

是已知的基函数，是已知的实数，

（4.4）四、变分问题的近似计算的极小问题就化为求以为

自变量的二次函数的极值问题,这就是1.3小节所描述的变分问题,（4.4）四、变分问题的近似计算现在系数矩阵是

是一个对称矩阵。

验证它的正定性,（4.4）对任意的非零向量四、变分问题的近似计算是非零的函数,D的性质得是对称正定矩阵。是一个对称矩阵。

P196四、变分问题的近似计算是近似变分问题（4.4）的解,（4.6）方程组（4.6）有惟一的解

（4.4）（4.4）式的解就是4.2Galerkin变分问题考虑Galerkin变分问题取K的有限维子空间代替K得近似变分问题代替K得近似变分问题（4.8）任意的元素为变分问题（4.8）的解为的表示式代入（4.8）式，确定对任意的

成立，都成立，（4.9）即对任意的N维向量

所以有4.3古典变分方法的数值例子例4.1两点边值问题P195(2.3)(2.4)取K的有限维子空间为多项式的函数空间。考虑边界条件的基函数是的情形，中的函数可写为设

由Galerkin方法（或Ritz方法）得到的代数方程组是中的函数可写为设

P208(4.9)、(4.6)最后得近似解P208(4.9)P208(4.9)、(4.6)P208(4.9)P208(4.9)、(4.6)精确解为下面列出它和在几个点的值做比较。00.250.50.75100.02810.03750.0281000.02030.03750.0359000.02050.03750.0361000.250.50.75100.02810.03750.0281000.02030.03750.0359000.02050.03750.03610更好的近似解,是否趋于零的问题。五、权余量方法及其它方法讨论了变分原理及Galerkin-Ritz近似计算方法的原则。考虑的微分方程边值问题是（5.1）

在（5.1）式的方程两边分别与函数作内积，（5.2）

在（5.1）式的方程两边分别与函数作内积，（5.2）满足方程，应提的条件，在积分式（5.2）中，条件可降低到及其直至2m阶导数都平方可积,（5.1）

记这样的函数集合为所以对应(5.2)式,应该要求属于只要求属于用Green公式（一维情形是分部积分）可以（5.2）（5.1）

的2m阶导数转移一半到得到变分问题和Galerkin方法不尽相同,权余量方法可以看成是基于（5.2）式的一类方法,提出它的近似问题是（5.4）（5.2）有限维子空间而且权余量方法中,选择子空间的维数相同。的一组基为的一组基为所以（5.5）（5.6）（5.2）将（5.5）和（5.6）式代入（5.2）式，由任意性得（5.7）剩余的N个带权积分为零权函数是进一步可列出的N个方程的方程组（5.5）（5.6）（5.2）将权余量方法看成在V中找N个线性无关的函数使（5.7）式成立。

最小二乘法的原理是使剩余的平方在平均的意义下最小。（5.7）如（5.5）式所示，则这样得到N个代数方程（5.5）最小二乘法就是取权为方法，的权余量所以最小二乘法相当于在问题（5.4）中取（5.5）配置法预先规