湖北省宜昌市2023-2024学年高二数学上学期期中试题

湖北省宜昌2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z=2+i，其中i是虚数单位，则z的虚部为(

)A.2 B.-i C.1 D.2.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(-1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是(A.(-13,23,233.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币反面向上”，事件B=“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是(

)A.A与B为互斥事件 B.P(A)=P(B)=14

C.A与B为相互独立事件 D.A与4.直线l:xm+yn=1过点A(2,3)，则直线l与x、yA.6 B.12 C.18 D.245.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3:3:5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为(

)

A.3:9:25 B.9:21:35 C.3:39:65 D.9:39:656.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，若该组数据的第60百分位数是众数的74倍，则该组数据的方差是(

)A.5 B.367 C.377 7.已知△ABC满足2lnsinB=lnsinA+lnA.平行 B.重合 C.垂直 D.相交且不垂直8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x-x0a=y-y0b=z-z0c，经过点P(A.16 B.15 C.56选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为90，82，87，93，90，92，88，87，90，85，则下列说法正确的是(

)A.极差为11 B.众数为90 C.平均数为88 D.中位数是9010.已知点P(2,3)与直线l:x-y+2=0，下列说法正确的是(

)A.过点P且直线l平行的直线方程为x-y+1=0

B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直

C.点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)

D.直线l关于点P11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是(

)

A.圆锥SO的侧面积为82π

B.三棱锥S-ABC体积的最大值为83

C.∠SAB的取值范围是(π4,π3)12.已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，下列说法正确的是(

)A.四边形ABCD的面积为83

B.该外接圆的直径为2213

C.BO⋅CD=-4

D.过点D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0∼9之间随机整数的907966191925271932812458569683431257393027556488730113237989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.14.平行于直线l:3x+4y-2=0，且与l的距离是1的直线方程为__________.15.已知圆柱体体积是1，设M，N分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积是__________.16.如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB，AE=μAC，且λμ≠0.设△ADE的周长为c1，△ABC的周长为c2，设t=λμ四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5)，N(2m-1,1).(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围;(2)若直线MN的方向向量为a=(1,-2023)，求m的值18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求B;(2)若b=3，BD为角B的平分线，点D在AC.上，且BD=2，求△ABC的面积.19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值，以及该组数据的众数和中位数;(2)若采用分层随机抽样的方法，从成绩在[60,70),[80,90)和[90,100]的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60∘，我们将这种坐标系称为“斜60∘坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60∘坐标系”下向量的斜60∘坐标：i，j，k分别为“斜60∘坐标系”下三条数轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则(1)若a=[1,2,3]，b=[-1,1,2]，求a(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1①若BE=EB1，求向量E②若AM=[3,t,0]，且AM⊥21.如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90∘，AB=1，BC=BB1=2，DC1=DC=5，平面CC1D⊥平面ACC1A1.

22.如图所示，P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点(异于A、B两点)，C、D分别为A、B在过点P的直线l上的射影(A、B在直线l的上方)，记∠ABP=α，∠PBD=β，且i||直线(1)若AB=2，求△ABP面积S的最大值及S取得最大值时α的值(2)若AB=2，用m表示向量AP、PB在向量i方向上的投影向量的模长之和，试问α、β满足什么条件时，m有最大值?(3)若AC=1，BD=3，β=10∘，求AP-BP湖北省宜昌一中2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学参考答案1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了复数的概念，共轭复数的定义，属于基础题.

由题意，先求出

z，进而可得其虚部.【解答】

解：∵z=2-i2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.

利用投影向量的定义即可求解.【解答】解：由题意，得a⋅b=0×-1+1×2+23.【答案】C

【解析】【分析】本题考查事件的判断，考查古典概率的计算，属基础题.

确定全部事件和A，B，AB事件，再逐个判断即可.【解答】

解：抛掷两枚质地均匀的硬币的全部事件：

(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，

事件A=“第一枚硬币反面向上”包括(反，正)，(反，反)，共2个，

事件B=“第二枚硬币正面向上"包括(反，正)，(正，正)，共2个，

事件AB包括(反，正)，共1个，

因为A与B有公共事件(反，正)，

故A与B为不是互斥事件，也不是对立事件

P(A)=24=12,P(B)=24=4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查直线的截距式方程的应用，利用基本不等式求最值，属中档题．

根据已知可得

2n+3m=mn，l与x、y正半轴围成的三角形的面积为

12mn

=【解答】

解：因为直线l：

xm+yn=1过点

A(2,3)，

则

2m+3n=1，即

2n+3m=mn，

则直线l与x、y正半轴的交点坐标分别为(m,0)，(0,n)，且m>0，n>0，

直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积为

12mn

=122n+3m，

因为5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了棱柱与棱台体积求解，属于中档题.

设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【解答】解：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为

V1,则

V1=3mSV2=V3=所以

V故选：D

6.【答案】B

【解析】【分析】本题考查一组数据的百分位数、方差和众数，考查运算求解能力，是基础题．

该组数据的第60百分位数是众数的74倍，求出x=7，从而该组数据的平均数为x【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，

该组数据的第60百分位数是众数的74倍，

∴x=4×74，解得x=7，

∴该组数据的平均数为x-=7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查判断两条直线位置关系，涉及正弦定理，属于基础题.

由对数运算得sin2B=sinAsinC，且sin【解答】

解：因为△ABC满足2lnsinB=lnsinA+lnsinC，

则lnsin2B=ln(sinAsinC)，则sin2B=sinAsinC，且sinA，sinB，sinC>08.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．

根据题意，求出平面α的法向量，直线l的方向向量，再计算直线l与平面α所成角的正弦值即可．【解答】

解：由题意知，平面α的方程为x+y+2(z-1)=0，直线l方程为

x-02=y-01=z-1-1，

所以平面α的法向量为

9.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键.

根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案.【解答】

解：A、这组数据的极差是93-82=11，正确;

B、这组数据的众数是90，正确;

C、这组数据的平均数是90+82+87+93+90+92+88+87+90+8510=88.4，错误;

D、将这组数据从小到大排列：82，85，87，87，88，90，90，90，92，9310.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求直线方程，训练了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的方程的求法，属中档题．【解答】

解：对于A：过点P且直线l平行的直线方程为x-y+m=0，

则2-3+m=0，则m=1，即直线方程为x-y+1=0，故A正确；

对于B：当直线不过原点时，过点P且截距相等的直线为x+y=m，则m=5，即x+y=5，此时与直线l一定垂直，

当直线过原点时，此时直线为y=32x，不与直线l垂直，故B错误；

对于C：设点P关于直线l的对称点坐标为Q(a,b)，

可得a+22-3+b2+2=0，①

斜率

b-3a-2=-1，②．

由①②解得：a=1，b=4.

则点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)，故C正确；

对于D11.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查圆锥的几何性质，空间几何体中的最值问题，属于中档题

解题时根据圆锥侧面积公式可判断A，

根据三棱锥体积公式判断B，

利用特殊值判断C，

通过翻折计算判断D.【解答】

解：易知圆锥母线长为

l=22+22=22

A：圆锥

SO的侧面积

S=12×2π×2×22=42π，故A错误；

B：因为三棱锥

S-ABC高为定值，所以底面三角形ABC面积最大时，体积最大，

即此时B到AC距离最大，BO与AC垂直时最大，

此时

VS-ABC=13×2×12×2×4=83，故B对；

C：当AB=l=22<4(可取)时，三角形SAB为正三角形，则12.【答案】AC

【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系，三角形面积公式及向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．由已知结合向量数量积的性质，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式分别检验各选项即可判断．【解答】

解：对于A，连接AC，

由题意得cos∠ADC+cos∠ABC=32-AC232+40-AC224=0，解得AC2=2567，

所以cos∠ADC=-17，cos∠ABC=17，

所以sin∠ABC=437，

故S△ABC=12×2×6×437=2437，

S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×4×4×437=3237，

故四边形ABCD的面积为83，A正确；

对于B，设外接圆半径为R，则2R=ACsin∠ABC=25613.【答案】0.3

【解析】【分析】本题考查随机模拟方法估计概率，属于基础题．

在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的共6组，根据概率公式，得到结果．【解答】

解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，

利用计算器产生了如题中所给的20组随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：

191、271、932、812、393，237共6组随机数，

∴所求概率为620=0.3.

14.【答案】3x+4y+3=0或3x+4y-【解析】【分析】本题考查直线方程的相关知识，属于基础题.

先设一下所求直线方程，再根据两条平行直线间的距离公式，求出常数项即可.【解答】

解：设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠-2)，

则d=-2-c315.【答案】112【解析】【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积计算，属于中档题.

解题时先理解题目意思，知道两个圆锥的公共部分是2个小圆锥的组合体，设圆柱的底面半径和高为r和h，可得小圆锥的底面半径和高为r2和h2【解答】

解：易知以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，

则这两个圆锥体公共部分是两个小圆锥组合体，

设圆柱的底面半径和高分别为r和h，可得小圆锥的底面半径和高分别为r2和h2，

因为圆柱体体积是1，所以πr2⋅h16.【答案】3

；

[2【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算法则，平面向量基本定理等知识，也考查了二次函数的性质，属于较难题.

连接AG并延长，交BC于F，可得

AF=12(AB+AC)，变形可得

AG=13λ

AD+13μ AE，根据D，G，E三点共线，即可得1【解答】

解：连接

AG并延长，交

BC于点

F，则

F为

BC中点，

∴AF=12(AB+AC)，又G为重心，

∴AG=23AF=23⋅12(AB+AC)=13(1λAD+1μAE)=13λAD+13μAE，

又∵D, G, E三点共线，∴17.【答案】解：(1)直线MN的倾斜角θ为锐角，则k=tanθ>0，

又k=3m+5-1(m+3)-(2m-1)=3m+4-m+4>0【解析】本题考查直线斜率公式、倾斜角与斜率关系，属于基础题.

(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，从而求出m的取值范围；

(2)由直线MN的方向向量可得斜率，故可得m的值.18.【答案】解：(1)由正弦定理可得

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，

所以sin(A+B)=2sinCcosB，

在△ABC中，sin(A+B)=sinC，sinC≠0，

所以sinC=2sinCcosB，cosB=1【解析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.

(1)由已知正弦定理化简可得cosB=12，可求得B;

(2)由S△ABC=S△19.【答案】解：(1)由图可知：(0.005+0.01+0.02+0.025+a+0.01)×10=1，所以a=0.03，

众数为85，

设中位数为x，由图象可知x∈[70,80),

则(x-70)×0.025+0.35=0.5，∴x=76，即中位数为76；

(2)由图可知分数在[60,70)的频率为0.2，分数在[80,90)的频率为0.3，分数在[90,100]的频率为0.1，

所以若按分层抽样从这三组中抽6人，

则分数在[60,70)的人数为2人，分数在[80,90)的人数为3人，分数在[90,100]的人数为1人，

抽取的6人中分数在[60,70)内的有2人，记这2人分别为a，b，

分数在[80,90)内的有3人，记这3人分别为c，d，e，

分数在[90,100]内的有1人，记这1人分别为f，

从6人中随机抽取2人的情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，

其中2人均在[60,70)内的情况为ab，2人均在[80,90)内的情况为cd，ce，de【解析】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，属于中档题．

(1)根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合众数定义和中位数公式，即可求解．

(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从[60,70),[80,90),[90,100]中分别抽取2人，3人，1人，分析即可得到答案.