专题5.7 三角函数的应用（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题5.7三角函数的应用TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：几何中的三角函数模型】 1【考点2：三角函数在实际生活中的应用】 4【考点3：三角函数在物理学中的应用】 7【考点4：数学文化及新定义】 9【考点1：几何中的三角函数模型】【知识点：几何中的三角函数模型】1．（广东省清远市2023届高三上学期期末数学试题）如图，已知OAB是半径为2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，则该风景区面积的最大值为（

）A．52km2 B．114km22．（2021秋·北京·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,33．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l等于表高h与天顶距θ正切值的乘积，即l=ℎtanθ．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为θ1和θ2，则A．−1 B．−17 C．14．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A，B两点间的距离，现在旁边取两点C，D测得CD=300米，∠ADB=3π4，∠BDC=∠DCA=π12，∠ACB=2π3（假设A，B5．（2022春·广西桂林·高一校考期中）要把半径为10的半圆形木料截成矩形，应该怎么截取，才能使矩形面积达到最大？6．（2022·上海宝山·统考一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC7．（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元．(1)试求y与θ的函数关系式y＝f（θ），并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．【考点2：三角函数在实际生活中的应用】【知识点：三角函数在实际生活中的应用】1．（2022秋·广东广州·高三校联考期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A1,−3出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为x,y，其纵坐标满足y=ft=RsinA．y=sinπ4C．y=2sinπ42．（2023·高一课时练习）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每π min转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：m）（在水面下，d则为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：min）之间的关系d=Asin(1)求A、ω、φ、K的值；(2)求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？3．（2023·高一单元测试）某港口其水深度y（单位：m）与时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=ftt/h3691215182124y/m12.015.018.114.912.015.018.015.0经长期观察，y=ft的曲线可近似地看作函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象，其中A＞0，ω>0(1)试根据以上数据，求出函数y=ft(2)一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m或3m以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？4．（2021春·山东·高一阶段练习）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结大会上庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，创造了人间奇迹．某贫困地在脱贫期间为方便无线网络的全覆盖，在该地区某条河的一侧修建大型信号塔AB，河的另一侧是以点O为圆心，803米为半径的扇形扶贫农作物种植区域OCD，假设扇形OCD与点B处于同一水平面上，记OB交弧CD于点E，若在点C，O，E处看点A的仰角分别为45°，30°和60°(1)求信号塔高度；(2)如果在CE间修一条直路，求直路CE长度．5．（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC,BC于M,N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：(1)若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB=θ,0<θ<π2，试将平板面的长AB表示为θ(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?【考点3：三角函数在物理学中的应用】【知识点：三角函数在物理学中的应用】1．（2023·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式ℎ=2sin(t+πA．小球的最高点和最低点相距2cm B．小球在t=0时的高度ℎ=1C．每秒钟小球往复运动的次数为2π D．从t=1到t=32．（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．3．（2021春·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为634．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）台风中心从A地以40km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东5．（2023·全国·高一专题练习）某种波的传播是由曲线y=Asinωx+φA>0来实现的，我们把函数解析式y=Asinωx+φ(1)若y=Asin12(2)将两个“1类波”f1x=sinx+π6【考点4：数学文化及新定义】【知识点：数学文化及新定义】1．（2022秋·江西·高三校联考开学考试）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高GT=ℎ（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得∠OTI=α．由此可以算得地球的半径r=（

）A．ℎsinα1−sinα B．ℎcos2．（2022·全国·高三专题练习）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）约为33.65°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）约为80.51∘.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD的长）为7米，则表高（即AC的长）约为（

）（已知tan33.65°≈2A．4.36米 B．4.83米 C．5.27米 D．5.41米3．（2023·全国·高三专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若(sinα−cosα)2=2sinA．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-504．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆AE与BF，AC与BD分别为标杆AE与BF在地面的影长，再按影长AC与BD的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记∠CEA=α,∠BDF=ββ<π2−α，则按照“寸影千里”的原则，A，A．1000asin(α+β)sinαsinC．1000acos(α+β)sinβcos5．（2022秋·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）定义：μ=cos2θ1-θ0+cos2θ2-A．38 B．12 C．346．（2022春·北京丰台·高一统考期中）已知fx,gx都是定义在R上的函数，若存在实数m,n，使得ℎx=mfx+ngx，则称若fx①y=22cosx−π6③y=2cos2x2−所有是fx,gx7