专题3.3 幂函数（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.3幂函数TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：幂函数的解析式或函数值】 1【考点2：幂函数的定义域、值域】 3【考点3：幂函数的图象】 6【考点4：幂函数的单调性】 9【考点5：幂函数的奇偶性】 13【考点1：幂函数的解析式或函数值】【知识点：幂函数的概念】形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，eq\f(1,2)，－1时的情形．1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知f(x)为幂函数，且f(8)=14，则f(4)=（A．12 B．1316 C．1【答案】B【分析】根据幂函数及f(8)=14求其解析式，进而求【详解】因为f(x)为幂函数，设f(x)=xα，则所以−2=3α，可得α=−23，则故选：B2．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=xα的图象经过点A．13 B．3 C．9 【答案】B【分析】将9,13代入函数解析式，即可求出【详解】解：由题意知f9=13，所以所以α=−12，所以fx故选：B3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数fx的图象过点2,14【答案】1【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.【详解】设f(x)=x由fx的图象过点2,14，可得∴fx=x故答案为：174．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】y=【分析】设幂函数y=fx=xa，由幂函数的图象经过点【详解】设幂函数y=fx∵幂函数y=f(x)的图象经过点4,2，∴4a=2，∴∴这个幂函数的解析式为y=x故答案为：y=x5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)【答案】−3【分析】根据幂函数的定义可得2m【详解】解：因为函数y=(2m2+m−2)即2m2+m−3=0，解得m=−故答案为：−3【考点2：幂函数的定义域、值域】【知识点：幂函数的定义域、值域】函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数fx的图象过点2,2，则fxA．R B．0,+C．0,+∞ D．【答案】C【分析】设fx【详解】设fx=xα，因为所以2α=2，解得α=故fx的定义域为0+故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为R的是（

）A．y=x−1 B．y=x−12【答案】C【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0【详解】对选项A，则有：x≠0对选项B，则有：x>0对选项C，定义域为：R对选项D，则有：x≥0故答案选：C3．（2021·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x12【答案】D【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.【详解】由y=x13=3由y=x12=x由y=x53=3由y=x23=3故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是R的幂函数是（

）A．y=x13 B．y=13x【答案】A【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；对于A：函数y=x13=3对于C：函数y=x23=3x2故选：A5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=−3xx≥ax2(x<a)A．(−1,0) B．(−1,0] C．[−1,0) D．[−1,0]【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y=−3x在[a,+∞当a>0时，y=x2的取值集合为[0,+∞)，当a≤0时，函数y=x2在(−∞因函数f(x)的值域为R，则有−3a≥所以实数a的取值范围为[−1,0].故选：D6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知幂函数fx=3−2m⋅x【答案】1【分析】由幂函数的定义列出方程，求出m=1或m=2，通过检验定义域可知m=1满足要求.【详解】由题意得到3−2m=1，解得：m=1或m=2当m=1时，fx=x当m=2时，fx=x，定义域为故m=1．故答案为：17．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数y=x（2）函数y=x（3）函数y=x（4）函数y=x【答案】

R

0,+∞

−∞,0∪0,+∞

0,+∞

【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域【详解】（1）幂函数y=x45图像如图所示，定义域为R（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为（3）幂函数y=x32图像如图所示，定义域为0,+（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为故答案为：（1）R;0,+∞（2）−∞,0∪（3）0,+∞;0,+（4）0,+∞;0,+【考点3：幂函数的图象】【知识点：五种幂函数的图象】幂函数图象的规律(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数y=xα的命题中正确的有（A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)B．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xC．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xD．若α<0，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)【答案】B【分析】根据幂函数的性质，结合α取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.【详解】对于A，当α<0时，幂函数图象不通过点(0,0)，A错误；对于B，幂指数α=1,3,−1时，幂函数分别为y=x,y=x图象都经过第一、三象限，故B正确；对于C，当α=−1时，幂函数y=x−1在对于D，若α<0，则函数图象不通过点(0,0)，通过(1,1)点，D错误，故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）函数y=xA． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断【详解】由题意知，函数y=x54=4x5，则满足x故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=A．12，3，−1 B．−1，3，12 C．12，−1，3 D．−1【答案】D【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.【详解】由题图知：α1<0，0<α所以α1，α2，α3依次可以是−1故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）幂函数y=xa，y=xbA．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b>c>d>a，故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点A1,0，B0,1，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，【答案】0【分析】根据BM=MN=NA，可的点M与N的坐标，进而可得参数值，计算可得解.【详解】BM=MN=NA，点A1,0，B所以M13,将两点坐标分别代入y=xa，得a=log13∴a−1故答案为：0.【考点4：幂函数的单调性】【知识点：幂函数的单调性】函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1A．m=2 B．m=−1C．m=−1或m=2 D．m≠【答案】A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数y=m2−m−1所以m2−m−1=1−5m−3<0故选：A.2．（2022·全国·模拟预测（文））设fx=xαα∈−1,12,1,2,3，则“函数fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数fx的图象经过点−1,1，则f因为α∈−1,12,1,2,3，所以所以fx在−而fx在−∞,0上递减，函数f如：fx所以“函数fx的图象经过点−1,1”是“函数fx在故选：A.3．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高二期末）已知幂函数fx的图像过点18,4，则fA．是奇函数，在0,+∞上是减函数 B．是偶函数，在0,+C．是奇函数，在−∞,0上是增函数 D．是偶函数，在【答案】B【分析】根据幂函数的定义求解出函数的解析式，再根据解析式分析函数的奇偶性和单调性可得出答案.【详解】依题意可得，fx故fx是偶函数，且在0,+故选：B.（多选）4．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）下列命题中正确的是(

)A．幂函数y=x−1B．函数y=xx−1在区间C．如果函数y=x+1x在a,b上是增函数，那么它在D．若定义在R上的函数y=fx的图象关于直线x=a对称，且fx在直线x=a的右侧单减，则函数fx【答案】ABD【分析】根据幂函数的性质可判断A；分离常数化简B中函数，根据反比例型函数性质可判断B；根据对勾函数的奇偶性可判断C；根据轴对称性与函数单调性的关系可判断D．【详解】对于选项A，y=x−1对于选项B，y=xx−1=1+1x−1，其图象关于1,1对于选项C，y=x+1x是奇函数，故它若在a,b上是增函数，则在关于原点对称的区间对于选项D，若定义在R上的函数y=fx的图象关于直线x=a对称，且fx在直线x=a的右侧单减，则函数fx故选：ABD．5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当x∈0,+∞时，幂函数y=m【答案】2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】∵函数为幂函数，则m2−m−1=1，解得m=−1或又因为函数在(0,+∞可得m2−2m−3<0，可得故答案为：26．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数fx=xα的图象经过点3,3，则α=【答案】

12；【分析】将点3,3代入fx=xα，即可求出α=12【详解】由题意可得，3α=3所以幂函数fx可知函数fx=x由f−a>fa+1解得：−1≤a<−1故答案为：12；−1,−7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)−2−3，−2.5(2)−8−7(3)1234，1【答案】(1)−2(2)−(3)1【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.（1）因为幂函数y=x−3在−∞,0上单调递减，且（2）因为幂函数y=x78在0,+∞上为增函数，且−8−78=−（3）1234=1814，15【考点5：幂函数的奇偶性】【知识点：幂函数的奇偶性】函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1奇偶性奇偶奇非奇非偶奇幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．1．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数y=xpq（p，q∈Z且p，qA．p，q均为奇数，且pq>0 B．q为偶数，pC．q为奇数，p为偶数，且pq>0 D．q为奇数，p【答案】D【分析】根据函数的单调性可判断出pq<0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，【详解】观察图象，由图象在第一象限内是单调递减的可知p由图象关于y轴对称可知函数为偶函数，从而p为偶数，又因为p，q互质，所以q为奇数.故选：D.（多选）2．（2021·贵州毕节·高一期中）下列函数中为奇函数的是（

）A．y=x B．y=x C．y=x 【答案】AD【分析】利用函数奇偶性的定义判断.【详解】A.f−x=−x=−fxB.f−x=−xC.y=x的定义域为[0,+D.f−x=−x故选：AD（多选）3．（2022·全国·高一课时练习）幂函数fx=m2−5m+7A．m=3B．函数fx在−C．函数fxD．函数fx【答案】ABD【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到fx【详解】解：因为幂函数fx=m所以m2−5m+7=1m2−6>0所以f−x=−x所以fx在−故选：ABD（多选）4．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数fx的图象经过点9,3，则（

A．函数fx为增函数 B．函数fC．当x≥4时，fx≥2 D．当x【答案】ACD【分析】设幂函数f(x)的解析式，代入点(9,3)，求得函数f(x)的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数f(x)的定义域可判断B项，结合函数f(x)的解析式，利用平方差证明不等式fx【详解】解：设幂函数fx=xα，则f9所以fx的定义域为0,+∞，fx因为fx的定义域不关于原点对称，所以函数f当x≥4时，fx当x2>x1>0又fx≥0，所以故选：ACD.5．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数y=m2+m−1xm+1【答案】1【分析】根据幂函数的定义得到方程，即可求出m，再代入验证即可；【详解】解：因为y=m2+m−1xm+1为幂函数，所以m当m=1时y=x2为偶函数，函数图象关于当m=−2时y=x即m=1；故答案为：16．（2022·全国·高一单元测试）已知a∈{−4,−1,−12,13,1【答案】−4【分析】根据幂函数的单调性知a<0，即可确定a的可能值，讨论a并判断对应f(x)奇偶性，即可得结果.【详解】由题知：a<0，所以a的值可能为−4，−1，−1当a=−4时，f(x)=x当a=−1时，f(x)=x当a=−12时，f(x)=x−1综上，a=−4．故答案为：−47．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=m2−m−1x4m9+m5−1是幂函数，对任意x1，①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是__（填序号）．【答案】①【分析】根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断fa【详解】解：由于函数fx=m2−m−1x4由于对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠当m=2时，fx当m=−1时，fx故fx=x由于a，b∈R，且a+b>0所以a>−b，由于函数为单调递增函数和奇函数，故fa所以fa所以fa故答案为：①8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y【答案】−【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到m=1，代入不等式得到a+11【详解】幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗m∈N∗，故m=0，1，当m=0时，y=x−3不关于当m=1时，y=x−4关于当m=2时，y=x−3不关于故m=1，a+1−13<3−2a−1故a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23故答案为：−9．（2021·全国·高三专题练习）若a+1−23【答案】−∞,−1【分析】首先设幂函数fx=x−23，得到函数fx【详解】设幂函数fx=x因为f−x所以函数fx由幂函数的单调性可知：fx=x又因为