专题2.2 基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题2.2基本不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1【考点2：由基本不等式证明不等式】 1【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【知识点：基本不等式】一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二．几个重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当（4）a2+b22≥a+b22三.利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则：（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).（简记：积定和最小）（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).（简记：和定积最大）1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．124．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）A．8 B．82 C．9 D．5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．2546．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=mA．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（）A．6 B．42 C．3+22 8．（2022春•朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为．10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+13．（2022春•岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则114．（2022•烟台三模）当x＞0时，3xx2+415．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a−b17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【方法技巧1】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．【方法技巧2】通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．【考点2：由基本不等式证明不等式】1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤22．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥23．（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1xA．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．73．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式mx+1A．2≤m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足4x+1y=1，且不等式x5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式ax+y≤12x+6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式4x+18．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．（1）求2x+y的最小值；（2）若x(y+2)−42＞m9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．（1）求1x（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【知识点：利用基本不等式解决实际问题】(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为（用P1、P1表示）．2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形