《画法几何与机械制图》课件第5章

第5章平面与立体表面相交5.1平面立体的截交线

5.2回转体的截交线

如图5-1所示，平面与立体表面相交，就会在立体表面产生交线，为了清楚表达立体的形状，这些交线的投影需要正确画出。这里，将切割立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，由截交线所围成的平面图形称为断面(ABCD)。图5-1平面与立体表面相交 5.1平面立体的截交线

5.1.1概述

1．平面立体截交线的性质

(1)平面立体截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点，即构成截交线的点与线，既属于截平面，也属于立体表面。

(2)平面立体截交线是由直线围成的平面多边形，多边形的边数取决于平面立体自身的性质及截平面与立体的相对位置。多边形的边，就是截平面与立体表面的交线；多边形的顶点，就是截平面与立体上棱线的交点。

(3)求平面立体的截交线，可归结为求截平面与立体表面的交线，而求交线又可转化为求截平面与立体上棱线的交点问题。

2．求平面立体截交线的方法和步骤

(1)空间情况和投影分析。根据截平面与被切割立体的相对位置，分析截交线空间形状，确定平面多边形的边数；根据截平面的位置和立体相对于投影面的位置，分析截交线的已知投影和待求投影。当截平面垂直于某一投影面时，截交线在这个投影面上的投影为已知。

(2)作图方法。求出截平面与立体上棱线的交点(平面多边形的顶点)，依次连接各交点得到截交线(平面多边形)。5.1.2作图举例

【例5-1】

如图5-2(a)所示，已知被平面P切割的六棱柱的主视图，补画它的左视图并完成俯视图。

【解】

应首先补画出完整六棱柱的左视图(图5-2(b))，然后逐步画出截交线的投影。图5-2完成六棱柱被切割后的三视图

(1)空间情况和投影分析。由图5-2(a)可知，因为截平面P是正垂面，所以截交线的正面投影积聚在截平面有积聚性的正面迹线p' 上，即截交线的正面投影为已知；因截平面P切割到五个棱面和一个顶面，故截交线应是六边形，其水平投影和侧面投影为类似形(六边形)。截交线位于棱线上的点可以直接求出；因棱面在俯视图中有积聚性，位于棱面上的点，如E、F点，可先由正面投影求出水平投影，再求出侧面投影。另外，六棱柱有四条棱线被P平面截去，在三视图中要擦除多余棱线的投影。同时，截交线和棱线还要考虑可见性问题。

(2)作图方法。

①补画六棱柱的左视图。如图5-2(b)所示，根据“高平齐”和“宽相等(y1＝y1，y2＝y2)”画出完整六棱柱的左视图(因六棱柱被切割后图线有变化，故先用双点画线画出)。

②求截交线上的点。如图5-2(c)所示，在截交线已知的正面投影中，确定截平面P与棱面及顶面交线端点的正面投影a'、b'、c'、d'、e'、f '；由截交线的正面投影，根据“长对正”求出其水平投影a、b、c、d、e、f；再由截交线的正面投影和水平投影，根据“高平齐”和“宽相等”求出其侧面投影e"、f"、a"、b"、c"、d" (其中a"、b"、c"、d" 可由其正面投影直接求得)。③判断可见性，完成截交线和棱线的投影。如图5-2(d)所示，截交线在俯视图、左视图中均可见，在左视图中，a" 和b" 所在的两条棱线的上段被切割，与这两条棱线投影重合的原本不可见的棱线，在a" 和b" 以上的部分应画成虚线；最前、最后两条棱线在c"、d" 以上的部分被截去，上底面只剩下e" 和f " 之间的一段。

【例5-2】

如图5-3(a)所示，已知四棱锥被正垂面P切割后的主视图，完成俯视图，并画出左视图。(主视图中用双点画线画出了四棱锥被截去棱线的投影，俯视图中用双点画线画出了完整棱线的投影。)

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-3(a)可知，截平面P与四棱锥的四个棱面相交，且完全切割四棱锥，所以截交线为四边形，其四个顶点为四棱锥的四条棱线与截平面P的交点。因为截平面为正垂面，所以截交线的正面投影积聚在截平面P的正面投影p'

上，即正面投影已知，其水平投影和侧面投影为截交线四边形的类似形。

(2)作图方法。

①作出完整四棱锥的左视图(可能变化的棱线用双点画线表示)，如图5-3(b)所示。

②作截交线四边形的投影。如图5-3(c)所示，在主视图中确定p' 与棱线s'1'、s' 2'、s' 3' 和s'4' 的交点a'、b'、c'、d' (截交线上的点)；由截交线上点的正面投影a'、b'、c'、d' 求得相应的水平投影a、b、c、d和侧面投影a"、b"、c"、d"；将同一棱面上的两点相连，得到截交线的水平投影abcd和侧面投影a"b"c"d"。③完成棱线的投影。如图5-3(d)所示，从主视图可看到，棱线被切割后，s'1' 剩下a'1'，s' 3' 剩下c'3'，重合的棱线s'2' 和s'4' 剩下b' 2' 和d'4'，这些棱线的变化需在俯视图中表示出来(被截去的棱线投影不画)。在左视图中，也表示出了各棱线投影的变化，原来重合的中间两条棱线，因a"1" 较短，因此棱线c"3" 在c"a" 之间应画成虚线(c"3" 不可见)。图5-3四棱锥被一个平面切割

【例5-3】

如图5-4(a)所示，试完成四棱锥被截平面P和Q切割后的三视图。

【解】一个平面立体被组合的几个截平面切割时，一般应逐个分析每个截平面切割所产生的截交线，再分析几个截平面之间所产生的交线，最终完成作图。

在组合切割的情况下，单一截平面不是完全切割立体，这样会使截交线的分析难度加大。这时，可以采用“截平面扩展法”，即想像将每一个有限的截平面扩大，使之完全切割立体，这样再去对该截平面切割产生的截交线进行分析，从而将问题简化。

(1)空间情况和投影分析。如图5-4(a)所示，截平面P为水平面，Q为正垂面，它们的交线是正垂线。由于Q平面的影响，平面P并没有完全截断四棱锥，使用“截平面扩展法”将P扩大后，可知它切割四棱锥的截交线是封闭四边形，实际上它并没有切割到最右棱线，但却与四个棱面都相交，因此截交线仍是四条，但没有封闭。又因P平行于四棱锥的底面，因此它与四棱锥四个棱面的截交线与四棱锥对应底面的边平行；截平面Q为正垂面，将Q扩展后，它与四棱锥四个棱面的截交线也是一个封闭的四边形，由于P平面的影响，Q平面实际上只切割到四棱锥的三条棱线，但也切割到四棱锥的四个棱面，因此截交线仍是不封闭的四边形。两截平面P与Q也相交，交线为正垂线，所以截平面P和Q切割四棱锥的交线分别是四条截交线与一条交线(两截平面的交线)构成的封闭五边形。

(2)作图方法。

①求截交线上的点。如图5-4(b)所示，在主视图中确定截交线上八个点的正面投影：截平面P切割产生的截交线上的点是a'、b'、c'、d'、e'，其中b'c'、d'e' 是两对重影点；截平面Q切割产生的截交线上的点是g'、e'、f '、d'、e'，其中e'f '、d'e' 是两对重影点，且d'e' 是平面P、Q交线的正面投影。如图5-4(c)所示，由截交线的正面投影依次求出截交线上各点的水平投影和侧面投影。②判断可见性并连线。如图5-4(d)、(e)所示，截交线的水平投影和侧面投影均可见，而P、Q交线的水平投影不可见，侧面投影可见。依次连接截交线的各点(在连线时应注意观察，同一个截平面切割产生的交线上的点才能相连)，完成截交线的投影。

③完成棱线的投影。如图5-4(f)所示，四棱锥被切割时，棱线也有部分被截去，被截去部分的在投影中应擦去原有图线，剩余的部分可见则用粗实线画出，不可见则用虚线画出。作图结果如图5-4(g)所示。图5-4四棱锥被两个平面切割

【例5-4】

如图5-5(a)所示，已知一个缺口三棱锥的主视图，试完成它的俯视图和左视图。

【解】(1)空间情况和投影分析，分析方法同前例。由图5-5(a)可见，缺口是由两个截平面(水平面P、正垂面Q)切割三棱锥而形成的。因为水平面P平行于底面，它与三个棱面的截交线ⅤⅥ、ⅤⅢ、ⅥⅣ 分别平行于相应的底边AB、BC、AC，是不封闭的三边形；正垂截平面Q与三个棱面的交线分别为ⅠⅡ、ⅡⅢ、ⅠⅣ，也是不封闭的三边形。由于两个截平面都垂直于正面，二者的交线ⅢⅣ为正垂线，因此截平面P和Q切割三棱锥的交线分别是三条截交线与一条交线构成的封闭四边形Ⅲ ⅣⅥⅤ和Ⅲ ⅣⅠⅡ。图5-5缺口三棱锥的三视图

(2)作图方法。

①求截交线上各点投影。如图5-5(b)、(c)所示，因为两个截平面都垂直于正面，所以截交线分别重合在它们有积聚性的正面投影p' 和q' 上。因此，在主视图中可直接确定截交线上各点的投影：棱线上的点有Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ，棱面上的点有Ⅲ、Ⅳ。按照棱锥表面取点的方法，分别求出它们的水平投影和侧面投影。②判断截交线的可见性，连接截交线上各点。如图5-5(d)所示，顺序连接截交线上点的同面投影，在俯视图中，只有Ⅲ Ⅳ不可见，左视图中均可见。

③画出棱线投影，完成作图。如图5-5(e)所示，棱线SA、SB的中间一段被切割，在俯视图和左视图中的相应投影中间一段应断开，棱线SC完整。作图结果如图5-5(f)所示。

5.2回转体的截交线

5.2.1概述

在一些零件上，平面与回转体表面相交所产生的截交线是经常见到的，如图5-6所示。图5-6平面与回转体表面相交图例

1．回转体截交线的性质

(1)回转体截交线是截平面与回转体表面的共有线，截交线上的点是截平面与回转体表面的共有点，即构成截交线的点和线，既属于截平面，也属于回转体表面。

(2)截交线的形状取决于回转体自身的形状和截平面与回转体的相对位置。回转体的截交线可为封闭的平面曲线、直线、曲线与直线、直线与直线组成的封闭平面图形。平面与回转体表面相交，当平面只与回转体的回转面相交时，截交线一般为封闭的平面曲线(圆、椭圆)或直线；当平面既与回转体的回转面相交又与回转体的平面(底面)相交时，截交线可为曲线与直线或直线与直线组成的封闭平面图形。

2．求回转体截交线的方法和步骤

求回转体的截交线，可归结为求截平面与回转体表面的交线，而求交线又可转化为求截平面与回转体表面的交点问题。

(1)空间情况和投影分析。因为回转体截交线的形状较多，所以，在求截交线的投影前，应首先分析截交线的大致形状。当截平面有积聚性时，截交线的投影重合在截平面有积聚性的投影上，即该投影面的截交线为已知；当回转体的回转面有积聚性时，截交线的投影重合在回转面有积聚性的同面投影上。

(2)作图方法。当截交线为非圆曲线时，一般需求出曲线上一系列的点，再连接成曲线。这些点包括能够确定截交线形状和范围的特殊点，以及为使曲线作图精确一些，在特殊点之间适当选取的一般点(也称中间点)。特殊点包括截交线的极限点(最高、最低、最左、最右、最前、最后点)，可见与不可见的分界点，椭圆长、短轴的端点，抛物线、双曲线的顶点和端点等，这些点大都位于回转体的转向轮廓线上。5.2.2柱体的截交线

平面切割圆柱体表面产生的截交线，据截平面与圆柱体轴线的位置不同，有以下三种情况(见表5-1)：

(1)当截平面平行于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面及上、下底面相交，截交线为平行于圆柱体轴线的两条素线，与截平面交上、下底面的两条交线所组成的矩形。

(2)当截平面垂直于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面相交，截交线为垂直于圆柱体轴线的圆。

(3)当截平面倾斜于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面斜交，截交线为倾斜于圆柱体轴线的椭圆。表5-1圆柱体的截交线

【例5-5】

如图5-7(a)所示，已知圆柱体被切割后的主视图和左视图，补画出俯视图。

【解】

因两个截平面P和Q都没有完全切割圆柱体，故可利用“截平面扩展法”，先逐个分析截平面扩大后与圆柱体表面相交的截交线形式，然后再考虑由于两个截平面的相互影响，使得完整的截交线只剩下某一部分的情况，这样有助于截交线形状的分析和判断。

(1)空间情况和投影分析。由已知条件可知，这是一个轴线为侧垂线的圆柱体被两个截平面P(水平面)和Q(侧平面)切割形成的立体，且上下对称，可只分析立体上半部分截交线的水平投影。将水平面P扩大到完全切割圆柱体，因P平行于圆柱体的轴线，故截交线是矩形。由于Q的影响使得P切割产生的矩形截交线长度变小，矩形截交线的两条对边的正面投影a'c'、b'd' 积聚在p' 上；由于截平面P与圆柱面的侧面投影均有积聚性，截交线的侧面投影a"c"、b"d" 应在p" 与圆的交点。将侧平面Q扩大到完全切割圆柱体，因Q垂直于圆柱体的轴线，故截交线是圆。由于P的影响使得Q切割产生的截交线圆只剩下一段圆弧。截交线圆弧CD的正面投影积聚在q' 上，侧面投影为圆弧c"d"。直线CD是P与Q的交线。

(2)作图方法。

①补画出完整圆柱体的俯视图(图5-7(b))。

②由截交线的正面投影和侧面投影，按照“三等”关系求出水平投影(图5-7(c))。

③整理外轮廓线。由主视图可见，圆柱体水平面的转向轮廓线未被切割，在俯视图中应是完整的。图5-7(d)是作图结果。图5-7求作圆柱体被切割后的俯视图

【例5-6】

如图5-8(a)所示，已知被切槽圆柱体的主视图和左视图，求作俯视图。

【解】

本例中的截平面形式和截交线分析与例5-5相似，不同的是，本例是由立体上下对称的水平面P和侧垂面Q共同在圆柱体上开了一个方槽。

(1)空间情况和投影分析。因立体上下对称，故只分析圆柱体上半部分的截交线。水平面P平行于圆柱体轴线，截交线是矩形，矩形与轴线平行的两条对边是AC和BD，它们的正面投影a'c'、b'd' 重合在p' 上，侧面投影a"c"、b"d" 重合在p" 与圆的交点。侧平面Q垂直于圆柱体轴线，截交线是两段圆弧CE和DF(受平面P的影响)，它们的正面投影c'e'、

d'f '重合在q' 上，侧面投影c"e"、d"f " 重合在圆上。平面P与Q的交线为正垂线，其正面投影c'd' 位于平面p' 和q'

的交点，侧面投影重合在p"

上。

(2)作图方法。

①求截交线和截平面P、Q交线的投影。如图5-8(b)所示，在补画出完整的俯视图后，由正面投影和侧面投影求出截交线矩形水平投影ac和bd；求出两段圆弧的水平投影ce和df；c和d的连线是两平面交线CD的水平投影，cd重合在q上。

②整理轮廓线，判断可见性。从主视图可见，圆柱体水平投影面的转向轮廓线在Q平面之左被切割，俯视图中转向轮廓线相对应的一段投影不存在了。Q平面由于P平面的遮挡，在俯视图中，cd之间有积聚性的直线不可见。作图结果如图5-8(c)所示。图5-8求作圆柱体被切槽后的俯视图

【例5-7】

如图5-9(a)所示，已知被切槽圆柱筒的主视图和左视图，求作俯视图。

【解】(1)空间情况和投影分析。本例与例5-6的区别仅在于所切割的立体是圆柱筒，因此截交线分析方法类似，不再重复。只是在分析和求作截交线时，可先考虑截平面切割圆柱体，再考虑切割圆柱孔。

(2)作图方法。

①在画出完整的俯视图后，求作截平面P、Q切割圆柱体的完整截交线(见图5-9(b)、(c))。

②求作截平面P、Q切割圆柱孔的截交线(见图5-9(d))。

③判断可见性，整理转向轮廓线，完成作图(见图5-9(e))。图5-9求作圆柱筒被切槽后的俯视图

【例5-8】

如图5-10(a)所示，根据斜截圆柱体的主视图和俯视图，补画出左视图。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-10(a)可知，该立体是由一个正垂面P斜切圆柱体形成的，因截平面P倾斜于圆柱体的轴线，故截交线为椭圆。截交线的正面投影重合在截平面有积聚性的正面投影p'

上，水平投影重合在圆上，侧面投影为椭圆。作图时，只需先作出特殊点(椭圆长、短轴的端点)，再作出一般点，用曲线光滑连接各点即可。

(2)作图方法。先用细实线或双点画线画出未被切割的完整左视图的轮廓，待求出截交线后，再确定轮廓线的范围与可见性(图5-10(b))。图5-10求作斜截圆柱体的左视图①求特殊点(图5-10(c))。椭圆长、短轴的端点A、B、C、D是四个特殊点，四个点均位于相应的转向轮廓线，也是椭圆截交线的极限点。根据它们的正面投影a'、b'、c'、d'，可求得水平投影a、b、c、d和侧面投影a"、b"、c"、d"。由于b"d" 和a"c" 互相垂直，且b"d"＞a"c"，因此截交线的侧面投影中b"d" 为长轴，a"c" 为短轴。

②求一般点(图5-10(d))。在特殊点之间的适当位置确定一般点E、F的正面投影e'f '(一对重影点)，由e'、f ' 求出水平投影e、f，再求出侧面投影e"

和f "。另一对一般点G、H的投影也可由椭圆的对称性求得。③判断可见性，连接截交线上的点(图5-10(e))。截交线的侧面投影椭圆是可见的，椭圆可用曲线板光滑连接各点而成。

④整理外轮廓线(图5-10(e))。当回转体被平面切割后，使得其转向轮廓线的存在与否发生了变化，在左视图中，对侧面的转向轮廓线只剩下d"、b" 以下的一部分。

本例的作图步骤也是求回转体截交线的一般步骤。当截交线发生的范围较小时，也可省略一般点。

【例5-9】

如图5-11(a)所示，根据立体的主视图和左视图，补画出俯视图(用细实线画出了完整俯视图的轮廓线)。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-11(a)可知，该立体可看成是轴线为侧垂线的圆柱，被一个水平面P和一个正垂面Q切割去左上角而形成的。因为两个截平面都垂直于正面，所以截交线的正面投影就积聚在截平面积聚成的直线p'q' 上，即截交线的正面投影为已知。又因为圆柱的轴线为侧垂线，所以截交线的侧面投影积聚在圆上。该题可归结为：已知截交线的正面投影和侧面投影求水平投影的问题。因为是两个相交的截平面切割圆柱体，每一个截平面都没有完全切割立体，所以，在分析截交线的形状时，仍可用前面讲到的“截平面扩展法”。水平面P平行于圆柱的轴线，截交线是一矩形，它的正面投影和侧面投影积聚为直线，其水平投影反映矩形的实形，可由它的正面投影和侧面投影求出水平投影。正垂面Q倾斜于圆柱的轴线，截交线应为椭圆(一部分)，它的正面投影积聚为直线，侧面投影积聚在圆上，可由它的正面投影和侧面投影求出水平投影。截平面P和Q的交线是正垂线。由于P和Q的相互影响，使得所产生的截交线只是完整截交线的一部分，但作图方法一般与求完整截交线的方法相同。图5-11作出圆柱被切割后的俯视图

(2)作图方法。

①求圆柱被水平面P切割后产生矩形截交线的水平投影。由a'd'、b'c' 和a"b"、d"c" 求得矩形abcd，其中bc为两截平面交线BC的水平投影(图5-11(b))。②求圆柱被正垂面Q切割后产生部分椭圆截交线的水平投影。在主视图和左视图中确定截交线的特殊点e'、f '、g' 和e"、f "、g"，从而求出e、f、g。其中G点是对正面投影的转向轮廓线上的点，E、F为对水平投影的转向轮廓线上的点，它们也是椭圆长、短轴的端点。另外，两个截平面的交线BC是不完整椭圆的两个端点，也属于特殊点。为了作图精确，再适当求些一般点：如图5-11(d)所示，先在主视图上合适的位置取一对重影点的投影1'、2'，然后在左视图上求出1"、2"，据1'、2' 和1"、2" 在俯视图上求出1、2。③整理俯视图上的轮廓线。如图5-11(d)所示，对水平投影的转向轮廓线在e、f以左部分被切割，这从主视图中可清楚地看到，因此，e、f以左部分的转向轮廓线应擦除。作图结果如图5-11(e)所示。

【例5-10】

如图5-12(a)所示，根据圆柱筒被切割后的主视图和左视图，补画出俯视图。

【解】(1)空间情况和投影分析。该例与例5-9的区别仅在于所切割的立体是圆柱筒，因此截交线分析方法类似，不再重复。只是在分析和求作截交线时，可先考虑截平面切割圆柱体，再考虑切割圆柱孔。图5-12作出圆柱筒被切割后的俯视图

(2)作图方法。

①在画出完整的俯视图后，求作截平面P、Q切割圆柱体的完整截交线(见图5-12(b)、(c))。

②求作截平面P、Q切割圆柱孔的截交线(见图5-12(d))。

③整理转向轮廓线，完成作图(见图5-12(e))。

5.2.3圆锥体的截交线

平面与圆锥表面的截交线据截平面与圆锥轴线的位置不同，有五种形式：相交两直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线，见表5-2。表5-2圆锥的截交线

【例5-11】

如图5-13(a)所示，完成圆锥体被正垂面切割后的俯视图，求作左视图。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-13(a)可知，圆锥轴线为铅垂线，截平面P为正垂面，且与圆锥轴线的夹角大于圆锥的半锥顶角，所以截交线为椭圆。截交线的正面投影与截平面的正面投影p' 重合，水平投影和侧面投影均为椭圆(待求)。作图时，只要求出作为特殊点的椭圆长、短轴的端点，及侧面转向轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ(圆锥体侧面的转向轮廓线在1"、2" 两点与椭圆相切)，再适当求些一般点，用曲线光滑连接各点即可。

(2)作图方法。

①求特殊点(图5-13(b)、(c))。作出圆锥体完整的左视图。在p' 上确定椭圆长轴与短轴端点的正面投影a'、b'和c'、d'(c'、d' 在a'b'

的中点)，并由正面投影a'、b'、c'、d' 求出水平投影a、b、c、d和侧面投影a"、b"、c"、d"。在p' 上确定侧面转向轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ的正面投影1'、2'，并由1'、2' 求得侧面投影1"、2" 和水平投影1、2。

②求一般点。求一般点Ⅲ、Ⅳ 的作图过程见图5-13(d)。若连接点不够，则还可适当多求几个一般点。③连接截交线椭圆上的各点，整理左视图上的外轮廓线，完成作图。从主视图可看出，对侧面投影的转向轮廓线只剩下1" 和2" 以下的一段。作图结果如图5-13(e)所示。图5-13完成圆锥体被正垂面切割后的三视图

【例5-12】

如图5-14(a)所示，圆锥体被平行于轴线的正平面P切割，完成截交线的正面投影。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-14(a)可看出，截平面P是平行于圆锥体轴线的正平面，因此截交线是一平行于正面的双曲线。截交线的水平投影重合在截平面有积聚性的直线上，由截交线的水平投影可求出其正面投影。图5-14圆锥被平行于轴线的正平面切割的截交线画法

(2)作图方法(图5-14(b)、(c))。

①求特殊点。双曲线的顶点A和两个端点B、C是特殊点。A点也是圆锥面对侧面的转向轮廓线上的点。B、C也是截平面P与圆锥底面交线上的两个端点。A点位于垂直于轴线的最小的纬圆1上，可在俯视图上作出与直线段相切的纬圆1，切点即a，求出此纬圆积聚为直线的正面投影纬圆1'，该直线与轴线的交点即为a'。B、C两点位于圆锥底圆上，可由b、c直接求得b'、c'。②求一般点。因为截交线的水平投影已知，故可在俯视图上取点。为便于作图，应在适当位置作一辅助纬圆2，该纬圆交直线于左右对称的1"、2"，在主视图上求出纬圆2的正面投影纬圆2' 的直线，然后由1、2求出1'、2'。

③用曲线依次连接各点的正面投影，完成作图。圆锥对正面的转向轮廓线未被切到，因此是完整的。

【例5-13】

如图5-15(a)所示，完成圆锥体被平面P和Q切割后的俯视图和左视图。图5-15完成圆锥体被平面P、Q切割后的俯视图和左视图

【解】(1)空间情况和投影分析。由图5-15(a)可看出，这是由两个截平面切割去圆锥体的一部分而产生的立体。利用“截平面扩展法”分析截交线：截平面P是垂直于圆锥体轴线的侧平面，因此截交线是一垂直于轴线的侧平圆，圆的正面投影重合在p' 上，其水平投影为直线，侧面投影反映圆的实形；截平面Q为正垂面，且Q过圆锥体的锥顶，因此截交线为过锥顶的三角形，三角形的正面投影重合在q'上，水平投影和侧面投影均为三角形的类似形。因P和Q的互相影响，两截交线均不完整；同时，P、Q间还有交线。

(2)作图方法。

①求截交线的水平投影和侧面投影。如图5-15(b)所示，分别作出截交线圆弧的水平投影adceb和侧面投影a"d"c"e"b"，截交线三角形的水平投影sab和侧面投影s"a"b"。

②判断可见性，整理轮廓线，完成作图。如图5-15(c)所示，俯视图中的转向轮廓线只剩下d、e右边的一段，P和Q的交线a"b" 在左视图中不可见。5.2.4圆球的截交线

平面与圆球相交，不论截平面处于何种位置，其截交线的实形总是圆。当截平面平行于投影面时，截交线为投影面平行圆；当截平面为投影面垂直面时，截交线的一个投影为直线，其余投影为椭圆。

【例5-14】

如图5-16(a)所示，求圆球被平面P、Q切割后的俯视图和左视图。

【解】

因为截平面P和Q分别为侧平面和水平面，因此截交线分别为侧平圆和水平圆，根据截交线圆的半径即可作出截交线的投影。作图方法和过程如图5-16(b)所示。图5-16投影面平行面切割圆球的截交线画法

【例5-15】

如图5-17(a)所示，已知半球被切割方槽后的主视图，试作出它的俯视图和左视图。

【解】(1)空间情况和投影分析(图5-17(a))。用“截平面扩展法”分析截平面P和Q完全切割半球的截交线，然后分析两截平面共同切割时的交线和截交线的范围。半球被一个水平面Q和两个左右对称的侧平面P切割出了一个方槽。截平面Q是水平面，它产生的截交线为平行于水平面的圆；截平面P是侧平面，它产生的截交线为平行于侧面的半圆。P与Q的交线为两条正垂线。

(2)作图方法。

①完成平面P产生截交线圆(水平圆)的投影(图5-17(b))。将P延长，确定截交线水平圆的半径，在俯视图中画出水平圆p'，在左视图中画出水平圆的侧面投影p"。

②完成侧平面Q产生截交线的投影(图5-17(c))。由q'

确定截交线侧平圆的半径R，在左视图中画出侧平圆的投影q"，在俯视图中画出侧平圆的水平投影q。

③考虑P、Q的相互影响，确定两组截交线的范围，并判断可见性。作图结果如图5-17(d)所示。图5-17补画半球切割方槽后的俯视图和左视图

【例5-16】

如图5-18(a)所示，完成圆球被正垂面P切割后的俯视图和左视图。

【解】(1)空间情况和投影分析。如图5-18(a)所示，正垂面P与圆球相交，截交线的实形为圆。截交线圆的正面投影重合在截平面有积聚性的投影p' 上；因截交线圆所在正垂面P倾斜于水平面和侧平面，因此截交线圆为正垂圆，其在俯视图和左视图上的投影均为椭圆。

(2)作图方法。

①求作特殊点(图5-18(b)、(c))。求椭圆长、短轴的端点A、B和C、D。在主视图上定出长、短轴端点的正面投影a'、b' 和c'、d' (c'、d' 在a'b' 的中点)，因A、B两点位于球对正面的转向轮廓线上，可直接求出其水平投影a、b和侧面投影a"、b"。C、D两点位于球面上，可用辅助纬圆法求出，本例中采用了水平纬圆。由正面投影c'、d' 求得水平投影c、d后，可据“高平齐、宽相等(y1＝y1)”求得侧面投影c"、d"。求转向轮廓线上的点E、F，G、H。E、F两点是圆球对水平面转向轮廓线上的点，在俯视图上，截交线与外轮廓线相切于这两点。E、F的水平投影e、f和侧面投影e"、f " 可通过“长对正、宽相等(y2＝y2)”直接求得。G、H两点是球对侧面转向轮廓线上的点，在左视图上，截交线与外轮廓线相切于这两点。G、H的侧面投影g"、h"和水平投影g、h可通过“高平齐、宽相等(y3＝y3)”直接求得。

②求一般点。可先在截交线正面投影上适当取两对一般点1'、2' 和3'、4'，求一般点的作图过程如图5-18(d)所示，注意宽相等(y4＝y4、y5＝y5)。图5-18完成圆球被正垂面切割后的俯视图和左视图③判断可见性，完成作图。截交线的水平、侧面投影均可见，用粗实线连接得截交线的投影；在俯视图上，转向轮廓线只剩e、f点以右的部分；左视图上，转向轮廓线只剩g"、h" 以下一段，e、f和g"、h" 分别为俯视图和左视图中截交线的投影(椭圆)与转向轮廓线的切点。图5-18(e)是作图结果。5.2.5组合回转体的截交线

由几个回转体组成的立体称为组合回转体。在机件上，经常会遇到平面与组合回转体表面相交产生截交线的情况。下面讨论组合回转体截交线的作图方法。

【例5-17】

如图5-19(a)所示，一个同轴的圆柱、圆锥、圆环(内环面)和球组合成的回转体被截平面P切割，补全该组合回转体被切割后的主视图。图5-19组合回转体截交线的画法(一)

【解】(1)空间情况和投影分析。由已知条件可知，该立体上下对称，截平面P是正平面，它的侧面投影积聚为直线，截交线的侧面投影重合在该直