《画法几何与机械制图》课件第3章

第3章投影变换3.1换面法的基本概念

3.2点的投影变换

3.3直线的投影变换

3.4平面的投影变换

3.5换面法的应用举例

3.1换面法的基本概念

图3-1所示为一三角形铅垂面，在V面和H面投影体系(以后简称为V/H体系)中的两个投影都不显示实形。为使新投影显示实形，取一平行于三角形平面且垂直于H面的新投影面V1，组成新投影体系V1/H，V1与H面的交线成为新投影轴，三角形在V1面上的投影就显示三角形的实形。再以新投影轴为轴，使新投影面V1旋转至与H面重合，就得到了V1/H体系中的投影图。图3-1V/H体系变为V1/H体系由此可知，新投影面的选择必须符合下面两个基本条件：

(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置；

(2)新投影面必须垂直于原投影面中的一个投影面。

前一条件是解题需要，后一条件是唯有这样才能应用两投影面体系中的投影规律。

3.2点的投影变换

点是一切几何形体的基本元素，因此必须首先掌握点的投影变换规律。

3.2.1点的一次变换

现在研究以新投影面V1更换正立投影面V时，点的投影变换规律。

如图3-2(a)所示，点A在V/H体系中，正面投影为a′，水平投影为a。现令H面保持不动，用V1面代替V面(V1⊥H)，形成新投影体系V1/H，V1面与H面的交线称为新投影轴，以X1表示。由于H面为不变投影面，因此A点的水平投影a的位置不变，称为不变投影。图3-2点的一次变换(更换V面)根据正投影原理，过点A向V1面作垂线，得到了A点在新投影体系中的投影a1′，a1′ 称为新投影，则a和a1′代替了原两面投影体系中的投影a和a′，然后将新投影面绕新投影轴X1按箭头方向旋转至与H面为同一平面，这样就得到了点A在新投影体系中的投影图(图3-2(b))。由点的投影规律可知，aa1′必定垂直于X1轴。这和aa′⊥X轴的性质是一样的。

由于新、旧投影体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离不变，即a′aX＝Aa＝a1′aX1。根据以上分析，得出点的投影变换规律:

(1)点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴;

(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被更换掉的旧投影到旧投影轴的距离。

图3-2(b)表示按上述规律，由V/H体系的投影求V1/H体系的投影的作图。

具体作图步骤如下：

(1)按有利于解题的要求在适当位置画出新投影轴X1，则确定了新投影面在投影图上的位置。

(2)过a作aa1′⊥X1，并与X1交于aX1。

(3)在aa1′上截取a1′aX1＝a′aX 。

则a1′ 即为所求的新投影。

图3-3表示更换H面，由点A在V/H体系中的投影(a′，a)，求其在新体系V/H1中的投影(a′，a1)的作图过程。图3-3点的一次变换(更换H面)3.2.2点的二次变换

在用换面法解决实际问题时，更换一次投影面有时不足以解决问题，而必须更换两次或多次，称为二次变换或多次变换。由于新投影面的选择必须符合前述的两个基本条件，因此二次变换或多次变换需遵循下列原则：

(1)一次只能更换一个投影面，新投影面必须与不变投影面垂直，使之构成一个新的投影面体系。

(2)换面要交替进行，即如果第一次以V1代替V，则第二次必须以H2代替H。

(3)每一次变换后构成的新投影体系,是在前一次的两面体系的基础上进行的，因此在由V1/H→V1/H2的变换过程中，V1/H2是新投影体系，其交线X2是新投影轴，而V1/H便成了旧投影体系，X1轴便成了旧投影轴。点在H2面上的投影是新投影，在V1面上的投影便成了不变投影，而在H面上的投影则是被更换掉的旧投影。

点在一次变换时所得出的作图规律也适用于二次变换或多次变换。图3-4为由V/H体系经过V1/H体系而变换成V1/H2体系的立体图和投影图，当然变换次序也可以是V/H→V/H1→V2/H1。图3-4点的二次变换 3.3直线的投影变换

直线是由两点所决定的，因此当直线进行变换时，只要把直线上的任意两点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。

3.3.1直线的一次变换

1．将一般位置直线变为投影面的平行线

在图3-5(a)中，线段AB在V/H体系中为一般位置，若求AB的实长及其对H面的倾角α，则可用一个平行于AB且垂直于H面的V1面来代替V面，此时AB在V1/H体系中成为V1面的平行线，它在V1面上的投影a1′b1′反映AB的实长，a1′b1′与X1轴的夹角即为AB对H面的倾角α。图3-5一般位置直线变换为投影面平行线(求实长和倾角α)图3-5(b)表示投影图作法，具体步骤如下：

(1)作X1轴∥ab，X1与ab的距离可任取。

(2)根据点的投影变换规律，作出A、B两点的新投影a1′、b1′。

(3)连a1′、b1′即得a1′b1′，它反映AB的实长，与X1轴的夹角反映AB对H面的倾角α。

若求AB的实长及其对V面的倾角β，则应更换H面，将AB变为H1面的平行线。图3-6表示其投影图作法。

由上述可知，若求线段实长，则变换V面或H面均可；若求线段对某一投影面的倾角，则必须使该投影面为不变投影面，而更换另一个投影面。图3-6一般位置直线变换为投影面平行线(求实长和倾角β)

2．将投影面平行线变换为投影面垂直线

将投影面平行线变换为投影面垂直线，其目的是使线段的投影具有积聚性，以便于求解某些度量问题。

在图3-7(a)中，AB在V/H体系中为一正平线，用一垂直于AB的H1面(它必然垂直于V面)来替换H面，则AB在V/H1体系中就成为新投影面H1的垂直线，它在H1面上的投影a1b1积聚为一点。图3-7(b)表示其投影图作法，具体步骤如下：

(1)作新轴X1，使X1⊥a′b′。

(2)根据点的投影变换规律，求出AB在H1面上的投影a1b1，则a1b1积聚为一点。图3-7将投影面平行线变为投影面垂直线3.3.2直线的二次变换

垂直于一般位置直线的平面一定是一般位置平面，因此，欲把一般位置直线变换为投影面的垂直线，仅一次变换是不行的，必须连续地变换两次投影面，称为直线的二次变换。如图3-8(a)所示，第一次把一般位置直线变为投影面的平行线，第二次再把投影面的平行线变换为投影面的垂直线。图3-8将一般位置直线变为投影面(H2)的垂直线图3-8(b)表示其投影图的作法，具体步骤如下：

(1)先作X1轴∥ab，求得AB在V1面上的新投影a1′b1′。

(2)再作X2轴⊥a1′b1′，得出AB在H2面上的投影a2(b2)，这时a2与b2积聚为一点。

图3-9表示先更换H面、再更换V面将直线变成V2面的垂直线的作图过程。图3-9将一般位置直线变为投影面(V2)的垂直线

3.4平面的投影变换

平面的投影变换就是把确定平面的几何元素的投影加以变换，从而得到平面在新体系中的投影。

3.4.1平面的一次变换

1．将一般位置平面变换为投影面的垂直面

将一般位置平面变换为投影面的垂直面，目的是使平面的投影具有积聚性，以便于求解某些度量(如求平面与投影面的夹角及与平面有关的距离)和定位等问题。图3-10(a)表示一般位置平面△ABC，要把它变换为投影面的垂直面，只要把△ABC内的任一直线变换为投影面的垂直线即可。由直线的变换知道，一般位置直线变为投影面的垂直线时，必须连续交替更换两次投影面，而将平行线变为垂直线时，则只需更换一次投影面。因此，为作图简便，在△ABC上任取一投影面平行线AK作为辅助线，把它变为新投影面的垂直线，则△ABC就变成了新投影面的垂直面。图3-10(b)表示把△ABC变为新体系的正垂面的作图方法，具体步骤如下：

(1)在△ABC内任取一水平线CK(ck，c′k′)。

(2)作新投影轴X1⊥ck。

(3)求出△ABC在V1/H体系中V1面上的投影a1′b1′c1′，它们积聚成一直线，该直线与X1轴的夹角即为△ABC对H面的倾角α。图3-10将一般位置平面变为投影面垂直面(求夹角α)如要求△ABC对V面的夹角β，可在△ABC内取一正平线为辅助线，并用H1代替H，则△ABC的H1面投影与X1轴的夹角即为平面对V面的夹角β，如图3-11所示。图3-11将一般位置平面变为投影面垂直面(求夹角β)由上述可知，求平面与某投影面的夹角时，必须保持该投影面不变，并在平面上取该投影面的平行线作为辅助线，而更换另一个投影面，才能求得。

2．将投影面垂直面变为投影面的平行面

其目的是为了求平面的实形和解决同一平面内的有关图解问题。

由于投影面垂直面已经垂直于一个投影面，因此只要建立一个与已知平面平行的新投影面，即可在新体系中得到该平面的实形。

图3-12表示把铅垂面△ABC变为新投影面平行面的作图方法：

(1)根据平行面的投影特点，作新投影轴X1∥△ABC有积聚性的投影(即水平投影abc)。

(2)根据投影变换规律，求出△ABC的新投影△a1′b1′c1′，△a1′b1′c1′ 反映△ABC的实形。图3-12将投影面垂直面变为投影面平行面3.4.2平面的二次变换

平面的二次变换主要用于把一般位置平面变换为投影面的平行面。因为平行于一般位置平面的平面仍为一般位置平面，所以必须连续交替更换两次投影面才行，即第一次将一般位置平面变换为投影面的垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面的平行面。如图3-13所示，先使△ABC⊥V1面，再使△ABC∥H2面。具体作图步骤如下：

(1)在△ABC内任取一水平线CK，作新投影面V1⊥CK，即作X1轴⊥ck，然后作出△ABC在V1面上的投影a1′b1′c1′，它积聚为一直线。

(2)作新投影面H2平行于△ABC，即作X2轴∥a1′b1′c1′，然后求出△ABC在H2面上的投影△a2b2c2，△a2b2c2反映三角形平面的实形。图3-13将一般位置平面变为投影面平行面 3.5换面法的应用举例

3.5.1求解距离问题

【例3-1】

如图3-14(a)所示，已知平面△ABC及面外一点M的两面投影，求M点到平面△ABC的距离及其投影。

【解】

当平面变换成投影面垂直面时，问题得解。如图3-14(b)所示，当平面变成V1面的垂直面时，反映点至平面的垂线MK为一V1面的平行线，它在V1面上的投影m1′k1′ 显示实长。一般位置平面变换成垂直面时，只需一次变换即可。设新投影面V1垂直于H面，以代替V面。图3-14用换面法求点到平面的距离作图步骤(见图3-14(c))：

(1)在△ABC上取水平线AD(ad，a′d′ )。

(2)作新投影轴X1⊥ad，在V1/H体系中求出新投影a1′b1′c1′和m1′。

(3)过m1′作a1′b1′c1′的垂线，垂足为k1′，则m1′k1′显示点到△ABC的真实距离。

(4)过点m作mk∥X1，并据k1′求得k，最后据k求得k′，连接m′k′，完成作图。

【例3-2】

如图3-15(a)所示，已知直线AB及线外一点M的两面投影，求作点M到直线AB的距离及其投影。

【解】

将直线变换成投影面的垂直线时，在该投影面上就能直接反映出点到直线的距离，如图3-15(b)所示。为此，必须将一般位置直线AB经两次变换变为投影面的垂直线，M点也随之变换两次，即可求出距离的实长。(b)空间情况分析(c)作图过程及结果图3-15用换面法求点到直线的距离作图步骤(见图3-15(c))：

(1)选取新投影面V1代替V面，作X1∥ab，求得AB和点M的新投影a1′b1′、m1′。

(2)再取新投影面H2代替H，作X2⊥a1′b1′，求得AB和M在H2面上的新投影a2b2，k2、a2、b2重合为一点。

(3)连接m2

和a2(b2)，即为点M到直线AB的距离实长(垂足K的投影与a2b2重合)。

(4)过点m1′作直线m1′k1′∥X2得垂足k1′，再根据K点从属于直线AB，由k1′求出k，由k求出k′，连mk、m′k′，即完成全图。

【例3-3】

求两交叉直线AB、CD的公垂线实长及投影(图3-16)。

【解】

两交叉直线之间的最短距离就是它们的公垂线，因此，如果把两交叉直线之一变换成投影面的垂直线，例如将CD变为垂直于H2面(图3-16(b))，则公垂线MN必为H2面的平行线，故m2n2＝MN。据上述分析，实质上是把一般位置直线变换成投影面的垂直线的作图问题。作图步骤(见图3-16(c))：

(1)作投影轴X1∥cd，在V1面中求出a1′b1′和c1′d1′。

(2)作投影轴X2⊥c1′d1′，在H2面中求出a2b2和c2d2。

(3)过c2d2向a2b2作垂线得m2n2，m2n2即显示公垂线实长。

(4)由m2求得m1′，过m1′作n1′m1′∥X2得交点n1′，再由n1′、m1′依次求得n、m和n′、m′，连接n、m和n′、m′即为公垂线MN的投影，完成作图。图3-16用换面法求两交叉直线的公垂线及投影3.5.2求解角度问题

【例3-4】

如图3-17(a)所示，已知两一般位置平面△ABC和△ABD的两面投影，试用换面法求两平面之夹角

。

【解】

任何不平行两平面必相交，其相交之夹角称为二面角。当两个平面同时垂直于某一投影面时，它们在该平面上的投影均积聚为直线，此两直线间的夹角就反映出两平面间的真实夹角。要使两平面同时变换为新投影面的垂直面，必须把它们的交线变换为新投影面的垂直线。从图3-17(a)、(b)中知道，AB是两平面的交线，为一般位置直线，故需要两次变换投影面，才可求出两平面的夹角φ。图3-17用换面法求两平面之夹角作图步骤(见图3-17(c))：

(1)选取投影面V1∥AB，求出a1′b1′，a1′b1′显示AB的实长。同时求得c1′、d1′，连a1′c1′、b1′c1′和a1′d1′、b1′d1′。△a1′b1′c1′和△a1′b1′d1′为两平面在V1面上的新投影。

(2)选取投影面H2⊥AB(X2⊥a1′b1′),求得a2b2c2和a2b2d2，分别为两平面有积聚性的投影，故a2b2c2和a2b2d2两直线之夹角就是两平面△ABC和△ABD的二面角

。

【例3-5】

如图3-18(a)所示，已知四边形ABCD和直线EF的两面投影，用换面法求直线EF与平面ABCD夹角θ的真实大小。

【解】

作一新投影面和直线EF平行，且与平面ABCD垂直，则在该新投影面上的投影反映θ角。由于平面ABCD处于一般位置，因此，首先将它经过二次变换变为投影面平行面，然后，在其上作新投影面V3与之垂直，并与直线EF平行。故本题共需要变换三次投影面才能获解。作图步骤(见图3-18(b))：

(1)经过V/H→V1/H→V1/H2两次变换，将一般位置平面ABCD变成投影面平行面，直线EF随同一起变换。

(2)经过V1/H2→V3/H2，将一般位置直线EF变成投影面平行线，平面ABCD也随同变换，e3′f3′与a3′b3′c3′d3′之间的夹角θ即为所求。图3-18用换面法求直线与平面之夹角3.5.3求解定位问题

前面已经列举了一些用换面法解决度量问题的例子，此外，换面法还可以用来求解直线与平面、平面与平面的相对位置问题。

【例3-6】

如图3-19所示，求一般位置直线DE与△ABC平面的交点。

【解】

如前所述，直线与平面的交点是直线与平面的共有点，这一共有点可用换面法求出。

作图步骤(见图3-19(b))：

(1)在△ABC上取一条水平线AF，其V面和H面投影分别为a′f ′和af ;

(2)作X1轴垂直于AF的水平投影af，并作出△ABC和直线DE在V1面上的投影，即有积聚性的直线a1′b1′c1′和直线d1′e1′，二者的交点k1′就是平面△ABC和直线DE的交点在V1面上的投影。

(3)将点k1′返投至H面和V面，得投影k和k′。

(4)可见性可由V1面的投影直接判断出来，线段d1′k1′在a1′b1′c1′之上，即DK在平面上方，所以dk段可见，而ke段被平面遮挡而不可见，画成虚线。V面投影的可见性可利用对V面的重影点来判断。图3-19用换面法求直线与平面的交点

【例3-7】

如图3-20(a)所示，求两一般位置平面△ABC和△DEF的交线MN。

【解】

只要把两平面之一变为投影面垂直面，问题得解。

作图步骤(见图3-20(b))：

(1)在△ABC中作一水平线AG(ag，a′g′)。

(2)作V1⊥AG，AG在V1面上的投影积聚成一点，△ABC的V1面投影积聚为一直线a1′b1′c1′，△DEF的V1面投影为△d1′e1′f1′，直线m1′n1′即为两平面交线在V1面上的投影。

(3)根据点和直线的从属关系，由m1′、n1′逆变换求得m、n和m′、n′，mn、m′n′即为两平面交线的投影。

(4)利用重影点可见性判断规则可判断平面的可见部分和不可见部分。图3-20用换面法求两一般位置平面的交线

【例3-8】

如图3-21(a)所示，已知平面图形的实形及一边AB的投影，求作其正面投影和水平投影。

【解】

由平面换面的基本问题可知，将一般位置平面变换为投影面的平行面需经两次变换。因AB为一水平线，故可设一新投