2024-2025学年上海市崇明区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年上海市崇明区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的一组是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，2．（4分）已知在中，，，，那么下列各式中正确的是A． B． C． D．3．（4分）如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．4．（4分）在△中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是A． B． C． D．5．（4分）下列四个三角形中，与图中的相似的是A． B． C． D．6．（4分）下列说法中，正确的是A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果是非零向量，且，那么二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）计算：．9．（4分）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是的两地在地图上的图距是．10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么．11．（4分）已知，，则．12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么度．13．（4分）在△中，若中线和中线相交于，，那么的长为．14．（4分）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量．15．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为．16．（4分）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是．17．（4分）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“，”后的行动结果为：在原地逆时针旋转后，再向面对方向沿直线行走．若机器人的位置在原点，面对方向为轴的负半轴，则它完成一次指令，后，所在位置的坐标为．18．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点落在处；点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点恰好落在线段上，记作点，联结．如果，那么．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：20．（10分）如图，在△中，，，，（1）求的长；（2）求的值．21．（10分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．（1）如果，，，求的长；（2）如果，，，求的长．22．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．（1）设，，试用向量、表示向量；（2）求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．23．（12分）已知：如图，在△中，点在边上，，与、分别相交于点、，．（1）求证：△△；（2）求证：．24．（12分）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点（1）求证：是等腰三角形；（2）若，．①求的长；②点是延长线上一点，若与相似，请直接写出的长．25．（14分）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．（1）当时，连接，求的余切值；（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）连接，若为等腰三角形，求的长．

参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的一组是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，解：．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意；．因为，所以，，，成比例线段，所以选项符合题意；．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意；．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意．故选：．2．（4分）已知在中，，，，那么下列各式中正确的是A． B． C． D．解：，，，，，，，．故选：．3．（4分）如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是A． B． C． D．解：直线，，，，，，故选：．4．（4分）在△中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是A． B． C． D．解：画出图形如下：、由，不能得出△△，故不能判定；、由，不能得出△△，故不能判定；、由，不能得出△△，故不能判定；、，，，△△，，故选：．5．（4分）下列四个三角形中，与图中的相似的是A． B． C． D．解：由题意得：，，即，且，图中直角边为，，之比也为，则与图中的相似的是，故选：．6．（4分）下列说法中，正确的是A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果是非零向量，且，那么解：，故选项不正确，不符合题意；如果是单位向量，那么，故选项不正确，不符合题意；如果，并不能得出，可能两个向量的方向不相同，故选项不正确，不符合题意；如果是非零向量，且，那么，故选项正确，符合题意．故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么．解：由，可得：，所以，故答案为：8．（4分）计算：．解：．故答案为：．9．（4分）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是的两地在地图上的图距是6．解：设两地在地图上的图距是，根据题意得：，故答案为：6．10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么．解：由于为线段的黄金分割点，且，则．；故答案为：11．（4分）已知，，则．解：根据题意可得，，，即．故答案为：．12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么80度．解：，，故答案为80；13．（4分）在△中，若中线和中线相交于，，那么的长为6．解：在△中，中线和中线相交于，点是△的重心，，解得．故答案为：6．14．（4分）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量．解：，，，．故答案为：．15．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为8．解：设另一个三角形面积为，两个相似三角形对应角平分线的比为，这两个相似三角形的相似比是，小三角形的面积为4，，解得，故答案为：8．16．（4分）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是．【解答】解；过点作边上的高，交于，交于，由可得，，将，，代入上式可得．故答案为：．17．（4分）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“，”后的行动结果为：在原地逆时针旋转后，再向面对方向沿直线行走．若机器人的位置在原点，面对方向为轴的负半轴，则它完成一次指令，后，所在位置的坐标为，．解：如图所示，点为完成指令后位置，作轴于点，，，，，，．故答案为：，．18．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点落在处；点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点恰好落在线段上，记作点，联结．如果，那么．解：四边形是矩形，，，，，由翻折得，，，，，点恰好落在线段上，，，，，，，，，，整理得，解得或（不符合题意，舍去），，，，，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：解：原式（5分）（1分）20．（10分）如图，在△中，，，，（1）求的长；（2）求的值．解：（1），，，，；（2），，，．21．（10分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．（1）如果，，，求的长；（2）如果，，，求的长．解：（1），，，，，，．（2）过点作，交于点，交于点，则，，，，，，，，．22．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．（1）设，，试用向量、表示向量；（2）求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．解：（1）四边形是平行四边形，，，，是的中点，，，；（2）如图，，即为所求；23．（12分）已知：如图，在△中，点在边上，，与、分别相交于点、，．（1）求证：△△；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，△△；（2）△△，，，，，，，△△，，，，．24．（12分）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点（1）求证：是等腰三角形；（2）若，．①求的长；②点是延长线上一点，若与相似，请直接写出的长．解：（1）平分，，，，垂足为，，，，，是等腰三角形；（2）①，，垂足为，，，，，设，，，，，，解得；②如图1，作于，，，，，，，当时，有，；如图2，当时，有，即，即．25．（14分）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．（1）当时，连接，求的余切值；（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）连接，若为等腰三角形，求的长．解：（