2024-2025学年安徽省宿州市泗县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省宿州市泗县九年级（上）期中数学试卷一、单选题（每小题4分，共40分）.1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（4分）下列命题中，假命题是A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形3．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为A． B． C．4 D．84．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为A． B． C． D．5．（4分）若，则的值是A． B． C． D．6．（4分）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是A． B． C． D．7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是A． B． C． D．8．（4分）如图，，．，，在同一条直线上，，则的长为A． B． C． D．9．（4分）如图，中，，，，点从点开始出发向点以的速度移动，点从点出发向点以的速度移动，若、分别同时从，出发，秒后四边形是面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．710．（4分）定义：对于确定顺序的三个数，，，计算，将这三个计算结果的最大值称为，，的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为①3，1，的“极数”是36；②若，，0的“极数”为0，则和中至少有1个数是负数；③存在2个数，使得，，2的极数为；④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为千米．12．（5分）已知，，，求．13．（5分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为．（结果保留根号）14．（5分）中，点是斜边的中点．（1）如图1，若与，于，，，则；（2）如图2，若点是的中点，且，则．三、解答题（每小题8分，共16分）15．（8分）解方程：．16．（8分）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．（1）请在方格图中画出位似中心；（2）请在方格图中将△补画完整．四、（每小题8分，共16分）17．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求的值．18．（8分）如图，菱形中，于，于．（1）求证：；（2）若，求的度数．五、（每小题10分，共20分）19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．（1）第个图有个小圆；（用含的代数式表示）（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．20．（10分）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．（1）求证：．（2）当，求的值．六、（本题12分）21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．七、（本题12分）22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：（1）本次抽测了名九年级学生，；（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？（3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．八、（本题14分）23．（14分）【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形时，①求证：△；②当时中点时，度．【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长；【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当△是直角三角形时，请直接写出的长．

参考答案一、单选题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是A． B． C． D．解：．方程是一元二次方程，选项符合题意；．方程含有两个未知数，方程不是一元二次方程，选项不符合题意；．方程不是整式方向，方程不是一元二次方程，选项不符合题意；．方程不是整式方向，方程不是一元二次方程，选项不符合题意．故选：．2．（4分）下列命题中，假命题是A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；、四边相等的四边形是菱形，是真命题；、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；故选：．3．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为A． B． C．4 D．8解：移项得，，，，．故选：．4．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为A． B． C． D．解：元．故选：．5．（4分）若，则的值是A． B． C． D．解：，设，则，，故选：．6．（4分）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是A． B． C． D．解：应添加的条件是，理由为：证明：、、、分别为、、、的中点，且，，，，，，则四边形为菱形，故选：．7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是A． B． C． D．解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．故选：．8．（4分）如图，，．，，在同一条直线上，，则的长为A． B． C． D．解：如图，过点作于点，，，是等腰直角三角形，，，，，，故选：．9．（4分）如图，中，，，，点从点开始出发向点以的速度移动，点从点出发向点以的速度移动，若、分别同时从，出发，秒后四边形是面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．7解：中，，是直角三角形，由勾股定理，得．设秒后四边形是面积的，则秒后，，．根据题意，知，，即，解得或（舍去）．故选：．10．（4分）定义：对于确定顺序的三个数，，，计算，将这三个计算结果的最大值称为，，的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为①3，1，的“极数”是36；②若，，0的“极数”为0，则和中至少有1个数是负数；③存在2个数，使得，，2的极数为；④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．A．1 B．2 C．3 D．4解：①，，，，1，的“极数”是36，故①正确；②，，0的“极数“为0，，，，则和中至少有1个数是负数，故②正确；③在，，2中，，，，，，2的“极数“为，当时，，此时，不成立．当时，，此时，当时，，，2的“极数”为；故③不正确；④在，，1中，，，，“极数“为6．在，1，中，，，，“极数“为4．在，，1中，，，，“极数“为4．在，1，中，，，，“极数“为4．调整，，1这三个数的位置，一共有6种情况，而前面四种，已经出现三种情况的“极数“相同，故得不到6种不同的“极数“，故④说法错误．故正确个数为2个，故选：．二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为6千米．解：，又，实际距离为．故答案为：6．12．（5分）已知，，，求2．解：，，，和是方程的两个解，由根与系数的关系得：，故答案为：2．13．（5分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为．（结果保留根号）解：点是靠近点的黄金分割点，，，点是靠近点的黄金分割点，，，，支撑点，之间的距离为，故答案为：．14．（5分）中，点是斜边的中点．（1）如图1，若与，于，，，则10；（2）如图2，若点是的中点，且，则．解：（1），，，四边形为矩形，，在中，由勾股定理得，，点是斜边的中点，，故答案为：10；（2）如图，过点作，，垂足分别为点、，过点作，，垂足分别为点、，则四边形为矩形，，，点为的斜边的中点，，，点为的中点，，，点为的中点，即，，，同理可得，，故答案为：62.5．三、解答题（每小题8分，共16分）15．（8分）解方程：．解：,，故或，解得：，．16．（8分）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．（1）请在方格图中画出位似中心；（2）请在方格图中将△补画完整．解：（1）如图，点即为所求；（2）如图，△即为所求．四、（每小题8分，共16分）17．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求的值．【解答】（1）证明：．不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：的两个根分别为，，且，，，，，即，，解得：或．18．（8分）如图，菱形中，于，于．（1）求证：；（2）若，求的度数．【解答】（1）证明：在和，四边形是菱形，，，又，；（2）解：由，，，．五、（每小题10分，共20分）19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．（1）第个图有个小圆；（用含的代数式表示）（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知第1个图形有小圆个；第2个图形有小圆个；第3个图形有小圆个；第4个图形有小圆个；第个图形有小圆个，故答案为：．（2）设第个图中小圆的个数恰好为160个，根据题意得，（不符题意，舍去）答：第12个图中小圆的个数恰好为160个．20．（10分）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．（1）求证：．（2）当，求的值．【解答】（1）证明：以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，，，，平分，，；（2）解：，而，，．六、（本题12分）21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．解：根据题意可得：，，△△，，，，，，，，答：树高为．七、（本题12分）22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：（1）本次抽测了300名九年级学生，；（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？（3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．解：（1）本次抽测了（名九年级学生，，故答案为：300；108；（2）组人数所占的比例为：，（人，故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3600人；（3）组人数为（人，由题意可知：抽取的优秀学生人数为（人，其中恰好有2名女生