专题60 二项式定理原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题60二项式定理（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 3【考点1】展开式中的通项问题 3【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题 4【考点3】二项式系数的最值问题 5【分层检测】 6【基础篇】 6【能力篇】 8考试要求：能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性二项式系数Ceq\o\al(k,n)当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).真题自测真题自测一、单选题1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．二、填空题3．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为．4．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为．5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为．6．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为．7．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为（用数字作答）．8．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则，．考点突破考点突破【考点1】展开式中的通项问题一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（

）A． B． C． D．22．（2022·广东·模拟预测）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（

）A． B．3360 C．210 D．16二、多选题3．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，则下列说法中正确的有（

）A．的展开式中的常数项为84B．的展开式中不含的项C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项4．（2022·江苏泰州·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·上海·模拟预测）在的展开式中，x的系数为．6．（21-22高三下·山东德州·阶段练习）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为．反思提升：(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题一、单选题1．（2021·江西·模拟预测）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（

）A．45 B．-45 C．120 D．-1202．（2022·山东德州·二模）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．36 B．30 C．15 D．10二、多选题3．（2022·福建龙岩·一模）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（

）A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项4．（2022·广东深圳·二模）已知，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·辽宁沈阳·一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为.6．（2022·湖南长沙·一模）已知，则．反思提升：1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【考点3】二项式系数的最值问题一、单选题1．（2022·山西临汾·二模）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．2．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（

）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项二、多选题3．（2022·广东茂名·二模）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项4．（2024高三下·河南·专题练习）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（

）A．展开式中奇数项的二项式系数之和为64B．展开式中存在常数项C．展开式中含项的系数为560D．展开式中系数最大的项为三、填空题5．（21-22高三下·全国·开学考试）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为，则展开式中最大的二项式系数值为．6．（2024高三上·全国·竞赛）在的展开式中，若的系数为，则；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是．反思提升：二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·北京怀柔·模拟预测）在的展开式中，常数项是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏·二模）已知，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（2024·辽宁·一模）的展开式中的系数为（

）A．55 B． C．30 D．4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知能被9整除，则整数的值可以是（

）A． B．-7 C．9 D．13二、多选题5．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（

）A．所有奇数项的二项式系数的和为128B．二项式系数最大的项为第5项C．有理项共有两项D．所有项的系数的和为6．（2023·山东青岛·一模）在的展开式中,下列说法正确的是(

)A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为7．（23-24高二上·山东青岛·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B．C．第2020行的第1010个数最大D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为三、填空题8．（2023·河北·模拟预测）已知多项式，则.9．（22-23高二下·湖南·期末）在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为.10．（2023·江苏南通·一模）展开式中含项的系数为．【能力篇】一、单选题1．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（

）A．24 B．25 C．48 D．492．（23-24高三下·山东济南·开学考试）被除的余数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知二项展开式，下列说法正确的有（

）A．的展开式中的常数项是B．的展开式中的各项系数之和为C．的