专题56 用样本估计总体原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题56用样本估计总体（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】百分位数的估计 5【考点2】总体集中趋势的估计 7【考点3】总体离散程度的估计 9【分层检测】 11【基础篇】 11【能力篇】 15考试要求：1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.知识梳理知识梳理1.总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.2.样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2．（2022·全国·高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（

）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差二、多选题3．（2023·全国·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（

）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差三、解答题4．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．5．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.考点突破考点突破【考点1】百分位数的估计一、单选题1．（2025·黑龙江大庆·一模）法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：男生82858687889090929496女生82848587878788889092则下列说法错误的是（

）A．男生样本数据的分位数是86B．男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数C．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变D．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（

）A．86 B．87 C．88 D．90二、多选题3．（2023·江苏连云港·模拟预测）某学校共有2000名男生，为了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（

）

A．样本的众数为67.5 B．样本的分位数为72.5C．样本的平均值为66 D．该校男生中体重低于的学生大约为150人4．（2024·广东佛山·模拟预测）某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（

）A．本次测试及格分数线的估计值为60分 B．本次测试优秀分数线的估计值为75分C．本次测试分数中位数的估计值为70分 D．本次测试分数的平均数小于中位数三、填空题5．（2024·上海·模拟预测）某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为．6．（2024·云南曲靖·二模）抽样统计得到某班8名女生的身高分别为，则这8名女生身高的第75百分位数是.反思提升：计算一组数据的第p百分位数的步骤【考点2】总体集中趋势的估计一、单选题1．（2024·广东惠州·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）

A． B．C． D．2．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（

）

A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时二、多选题3．（2025·广东·一模）现有十个点的坐标为，它们分别与关于点对称.已知的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（

）A．平均数为 B．中位数为C．方差为 D．极差为4．（23-24高一下·全国·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数中位数众数B．图（2）的平均数<众数<中位数C．图（2）的众数中位数<平均数D．图（3）的平均数中位数众数三、填空题5．（2022·北京·模拟预测）某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下图所示）．关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为．其中所有正确结论的序号是．6．（2014高三·全国·专题练习）为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为.（用“<”连接）反思提升：(1)众数、中位数、平均数的应用要点中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.(2)频率分布直方图的数字特征①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.【考点3】总体离散程度的估计一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6个数据的新方差为（

）A． B． C．6 D．102．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一组样本数据的方差为10，且，则样本数据的方差为（

）A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25二、多选题3．（2024·山东泰安·模拟预测）下列结论正确的是（

）A．回归直线至少经过其样本数据中的一个点B．已知命题，，则命题的否定为，C．若为取有限个值的离散型随机变量，则D．若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为17和544．（2024·福建福州·模拟预测）下列说法中，正确的是（

）A．数据的第50百分位数为32B．已知随机变量服从正态分布，；则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4三、填空题5．（2023·吉林·一模）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为分钟，方差为．6．（2022·北京·模拟预测）某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下图所示）．关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为．其中所有正确结论的序号是．反思提升：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分.根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（

）A．B组打分的方差小于A组打分的方差B．B组打分的中位数为75C．A组的意见相对一致D．A组打分的众数为502．（2024·四川·一模）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（

）A．图中的值为B．这天中有天的日销售量不低于kgC．这天销售量的中位数的估计值为kgD．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为kg3．（2024·广东珠海·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值的部分临界值如下表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系4．（2024·四川资阳·二模）某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量（单位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（

）A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋二、多选题5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．样本数据的下四分位数是17B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11C．若随机变量，则D．若随机变量，若，则6．（2024·湖北·模拟预测）某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（

）A．极差是4 B．众数小于平均数C．方差是1.8 D．数据的80%分位数为47．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）某地农研所为研究新的大豆品种，在面积相等的80块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量（单位：kg），将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图：

则下列结论正确的是（

）A．这80块豆田的亩产量的中位数低于180kgB．这80块豆田的亩产量的极差不高于60kgC．在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为D．这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于三、填空题8．（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分．9．（2024·上海·模拟预测）已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为.10．（2024·江西·模拟预测）某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，则这组数据的分位数为．四、解答题11．（2024·四川绵阳·模拟预测）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）；(2)为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案：方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡；方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡.你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由.12．（2024·四川成都·模拟预测）某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数；(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．男女合计网购迷20非网购迷47合计下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中【能力篇】一、单选题1．