新高考数学一轮复习 讲与练第15讲 解三角形及其应用（原卷版）

第15讲解三角形及其应用学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常见变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).4.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).5.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).6.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.考点和典型例题1、利用正、余弦定理解三角形【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，则角C的大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0的值.【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求BE的长.【典例1-7】（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若SKIPIF1<0，且________，求线段SKIPIF1<0的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.2、判断三角形的形状【典例2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形【典例2-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角三角形B．若SKIPIF1<0为钝角三角形，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角三角形D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则符合条件的SKIPIF1<0只有一个【典例2-3】（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【典例2-4】（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在SKIPIF1<0，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【典例2-5】（2022·全国·高一单元测试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3、和三角形面积有关的问题【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为(

)A．1 B．3 C．2 D．4典例3-2】（2022·江西·模拟预测（文））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3-3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3-4】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））SKIPIF1<0的三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【典例3-5】（2022·湖南·模拟预测）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．4、解三角形的实际应用【典例4-1】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔A处正西方向相距SKIPIF1<0nmile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距SKIPIF1<0nmile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（

）A．30° B．60° C．75° D．45°【典例4-2】（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45SKIPIF1<0；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30SKIPIF1<0，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（

）米？（参考数据：SKIPIF1<0）A．68 B．70 C．72 D．74【典例4-3】（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【典例4-4】（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口SKIPIF1<0、SKIPIF1<0间的距离，开车从SKIPIF1<0点出发，沿正西方向行驶SKIPIF1<0米到达SKIPIF1<0