15.2.3整数指数幂（解析版）

15.2.3整数指数幂一、单选题1．下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用合并同类项及幂的有关运算法则逐一检查，排除不合题意选项，选出符合题意选项．【详解】对于A、运用合并同类项法则得不是，故运算错误；对于B、运用积的乘法法则和幂的乘方法则得不是，故运算错误；对于C、运用同底数幂相乘法则得不是，故运算错误；对于D、运用负指数定义和幂的乘方法则得，故运算正确．综上所述，只有D选项运算正确，符合题意．故选：D【点评】此题考查与幂相关的运算法则．不要把同底数幂相乘和合并同类项相混淆，熟悉幂的运算法则和负指数的意义是关键．2．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000000001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可．【详解】1纳米=0.000000001米=10-9米，30纳米=30×10-9米=3×10-8米．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．3．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算…31=3…新运算=1=2=3…=1=2=3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据题中的新定义法则判断即可．【详解】根据题意得：①log416=log442=2，故①正确；②，故②错误③，故③正确．∴正确的式子是①③，故选：B．【点评】此题考查了有理数的乘方运算和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．据悉，华为Mate40Pro和华为Mate40Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中；【详解】0.000000005=，故选：A．【点评】本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007毫米2，0.0000007这个数用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据科学记数法表示即可；科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．【详解】0.0000007=7×10-7．故选：A．【点评】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．黄种人头发直径约为85微米，已知1纳米=10-3微米，数据“85微米”用科学记数法可以表示为（）A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米【答案】C【分析】把微米转化为纳米，再写成科学记数法即可．【详解】85微米==85×103纳米=8.5×104纳米．故选：C．【点评】本题考查了单位转换和科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项的运算法则逐一判断即可．【详解】，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；故选B．【点评】本题考查了整式的运算，幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项，关键是掌握各部分的运算法则．8．下列各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据整数指数幂的运算法则计算，然后判断即可．【详解】A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．【点评】本题考查了整数指数幂的运算，解题关键是按照整数指数幂的运算法则进行计算，会进行负指数的运算．二、填空题9．计算：__________（要求结果用正整数指数幂表示）．【答案】【分析】先利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数幂表示即可．【详解】故答案为：【点评】本题考查负整数指数幂和同底数幂的乘法法则，解答本题的关键是利用运算法则解答问题．10．如果，，那么__________．【答案】4【分析】根据同底幂的除法法则计算．【详解】原式=，故答案为4．【点评】本题考查同底幂的运算，熟练掌握同底幂的除法法则并能逆用是解题关键．11．已知：且代数式的值为9，那么的值是____________．【答案】【分析】根据题意可以求得m的值和y-x的值，从而可以解答本题．【详解】∵且代数式的值为9，∴，，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查完全平方式的应用和负整数指数幂，解答本题的关键是明确意义，求出m的值．12．人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为_____．【答案】2.8×10-8米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将28纳米用科学记数法表示为2.8×10-8米，故答案为：2.8×10-8米．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．三、解答题13．计算：（1）（2）【答案】（1）2；（2）3【分析】（1）根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则计算即可；（2）原式变形后，根据同分母分式的加减法则计算即可得到结果．【详解】（1）原式；（2）原式，，．【点评】本题主要考查分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则是解题关键．14．先化简，再解答下列问题：（1）当a＝20210时，求原式的值；（2）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值．【答案】（1）3；（2）0或1．【分析】将分式分子分母利用提公因式，平方差以及完全平方公式，先乘除，后加减，最后得出化简的结果；（1）因为a＝20210=1，代入化简后的式子求解出答案即可；（2）要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除，能得出答案，再结合分式有意义就可得出最终答案．【详解】原式======（1）因为a＝20210=1，代入原式==3（2）因为要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除所以a-3的值可以是-6，-3，-2，-1故a=-3，0，1或2．当a=-3或2的时候，原分式没有意义故a的值取0或1．【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及0次方，熟练平方差以及完全平方公式是解决本题的关键．15．某超市有线上和线下两种销售方式，与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的销售总额、线上销售额、线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份2020年4月份（2）求2020年4月份线下销售额与当月销售总额的比值．【答案】（1）；，；（2）．【分析】（1）2019年4月份的销售总额为元乘以(1+10%)即可得到2020年4月份销售总额，用2019年4月线上销售额为元乘以（1+43%）即可得到2020年4月份线上销售额，用2019年的销售总额减去线上销售额再乘以即可2020年4月份线下销售额；（2）根据2020年销售总额与线上线下销售额的关系得到，再列式比较即可得到答案.【详解】（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，该超市2020年4月份线下销售额为元．∵2019年4月线上销售额为元，2020年4月份，线上销售额增长，∴2020年4月份线上销售额（1+43%）x=1.43x，∵2019年4月份的销售总额为元，该超市2020年4月份销售总额增长，∴2020年4月份的销售总额(1+10%)=1.1a，时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份2020年4月份（2）依题意，得：，解得：，．答：2020年4月份线下销售额与当月销售总额的比值为0.8．【点评】本题考查整式与实际问题的应用，一元一次方程与实际问题，列代数式，整式的除法计算，正确理解题意是解题的关键．16．先化简，再求值：，其中．【答案】；1【分析】先算分式的加法运算，再算除法运算，进行化简，最后代入求值，即可．【详解】原式＝＝＝＝，当时，代入原式，【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．17．先化简，再求值：÷（），其中x=20200+2﹣2．【答案】，．【分析】先利用提公因式法和公式法把的分子分母进行因式分解，再根据分式的加减法计算括号内的因式，最后把除法变乘法约最简，在根据零指数幂和负整数指数幂计算出的值，代入最简分式即可得到答案．【详解】，当，原式．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则和因式分解，以及零指数幂和负整数指数幂的运算是解题关键．18．（1）你发现了吗？由上述计算，我们发现（）2（）﹣2；（2）仿照（1），请你通过计算，判断（）3与（）﹣3之间的关系．（3）我们可以发现：（ab≠0）（4）计算：．【答案】（1）＝；（2）；（3）＝；（4）16【分析】（1）根据计算可以得到答案；

(2)分别计算出的值即可得到结果；

（3）分别计算出的值即可得到结果；

(4)根据（3）的结果计算即可．【详解】（1）∵

∴，

故答案为＝；

（2）∵

∴

（3）由（1）、（2）知，

故答案为＝；

（4）原式＝

＝

＝

＝16×1

＝16．【点评】本题考查负整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题关键．19．（1）计算：（2）解方程组：（3）如下图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．①请在图中作出关于y轴对称的并直接写出，，的坐标；②作点A关于x轴的对称点D，直接写出四边形ABDC的面积．【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；，，；②见解析；四边形ABDC的面积是15．【分析】（1）首先计算开方、零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可；（3）①分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，顺次连接即可得；②利用割补法求解可得．【详解】（1）（2）由②，得③①×4，得④③×3，得⑤⑤-④，得将代入①，得所以原方程组的解是（3）①如图所示：即为所求；，，②如图所示，点D即为所求四边形ABDC的面积