14.2.2完全平方公式（解析版）

14.2.2完全平方公式一、单选题1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用正方形的面积公式确定阴影正方形的面积，再利用整体与部分的关系得到阴影正方形的另一个面积表达式，即可得出正确选项．【详解】由图可知，阴影正方形的面积为;由于阴影正方形可以看成是整个图形减去三个长宽分别为a和b的长方形与两个边长为b的正方形；因此阴影正方形面积还可表示为：∴;故选A．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出阴影正方形的面积是解题的关键．2．若是一个完全平方式，则k的值为（）A．18 B．8 C．或22 D．或12【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【详解】∵是一个完全平方式，∴k-2=±20，解得：k=-18或k=22，故选：C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式进行进行判断即可；【详解】A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握计算方法是解题的关键．4．若是一个完全平方式，则m的值是（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式得到x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，然后把等式右边展开，从而得到m的值．【详解】∵多项式x2-mx+1是一个完全平方式，∴x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，即x2-mx+1＝x2+2x+1或x2-mx+1＝x2﹣2x+1，∴m＝-2或m＝2．故选：C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【分析】设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算证明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据完全平方式的非负性说明即可．【详解】∵三块面积相等的小长方形，∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，则EF＝2a，故BE＝FC＝b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；此时③AE＝2BE，正确；可得：b+b+b+b+b＝80﹣2（x+20），解得：b＝10﹣x，则AB＝（10﹣x）＝15﹣x，故选项①错误；长方形ABCD的面积为：S＝（15﹣x）（20+x）＝﹣x2+300，∵﹣x2≤0，∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．故选：D．【点评】本题考查与几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．6．若，，则的值为（）A．40 B．36 C．32 D．30【答案】C【分析】根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．【详解】∵a+b=6，ab=4，∴a2+ab+b2=（a+b）2-ab=36-4=32故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．7．如果多项式恰好是一个完全平方式，则的值为（）A．5 B．25 C．10 D．100【答案】B【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和5，再根据完全平方公式的结构特点求出5的平方即可．【详解】∵10x＝2×5×x，∴这两个数是x、5，∴m＝52＝25．故选：B．【点评】本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．8．如图，两个正方形的边长分别为、，如果、满足，，则阴影部分的面积为（）A． B．9 C．18 D．27【答案】A【分析】由两个正方形面积之和减去△BEF和△BCD的面积之和即可得到答案．【详解】由图可得：，∴，将，代入得：，故选：A．【点评】本题考查乘法公式在几何图形面积计算中的应用，准确表示各部分面积并结合乘法公式进行合理变形是解题关键．二、填空题9．已知，则=_____________【答案】14【分析】首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．【详解】∵∴又∵∴∴即故答案为：14．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．10．若，，则__．【答案】7【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．【详解】，，，，．故答案为：7．【点评】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．11．计算________________．【答案】【分析】由完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．【详解】．故答案为：．【点评】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．12．__________．【答案】【分析】根据完全平方公式推出：得出a、b的值，然后代入计算即可．【详解】由完全平方公式知：，，，，，，，∴，故答案为：【点评】本题考查了完全平方公式的运用，考查学生对数据的处理能力．三、解答题13．对于任意正实数，，，，，只有时，等号成立．结论：在(，均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）初步探究：若，只有当时，有最小值；（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证，并指出等号成立时的条件；（3）拓展延伸：如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标．

【答案】（1）1，2；（2）见解析；（3）四边形面积的最小值为96，点坐标为（6,8）．【分析】（1）根据，，求得n值，代入计算得最值；（2）根据大正方形的面积=4矩形的面积+小正方形的面积，代数式表示后，使用给出的阅读知识解答；（3）设，，用含有x，y的代数式表示四边形的面积，后使用证明的不等式性质求解即可．【详解】（1）∵，∴，当时，取得最小值，∴，解得n=1或n=-1（不符合题意，舍去）∴当n=1时，的最小值为2，故答案为：1；2；（2）根据题意，得，，

∴-4ab=，∵≥0，∴-4ab≥0，∴，∴成立．等号当且仅当小正方形面积为0，此时，即时成立．设，，，，，，四边形面积的最小值为96，此时，解得或，，舍去，∴点坐标为．【点评】本题考查了阅读学习能力，准确理解新知识的意义，学会图形面积法验证，并灵活运用是解题的关键．14．阅读材料：若x满足(9－x)(x－4)=4，求(9－x)2+(x－4)2的值．解：设9－x=a，x-4=b，则(9－x)(x－4)=ab=4，a+b=(9－x)+(x－4)=5，∴(9－x)2+(x－4)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=52－2×4=17请仿照上面的方法求解下列问题：（1）若x满足(7－x)（x－3）=2，求(7－x)2+（x－3）2的值（2）(n－2020)2+（n－2021）2=3，求(n－2020)（n－2021）【答案】（1）12；（2）1．【分析】（1）仿照材料解答方式解答即可；（1）根据题意得到a2+b2=(a-b)2+2ab=3，a-b=1，然后利用完全平方公式变形解答即可．【详解】（1）设7－x=a，x-3=b，则(7－x)(x－3)=ab=2，a+b=(7－x)+(x－3)=4，∴(7－x)2+(x－3)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=42－2×2=12；（2）设n－2020=a，n－2021=b，则(n－2020)（n－2021）=ab，a-b=1，(n－2020)2+（n－2021）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=3，即ab=∴(n－2020)（n－2021）=ab===1．【点评】本题主要考查了完全平方公式的意义，灵活对完全平方公式进行变形成为解答本题的关键．15．对于任意有理数、、、，我们规定符号，，，例如：，，．（1）求，，的值为；（2）求，，的值，其中．【答案】（1）；（2）－1．【分析】（1）根据已知条件中新定义运算的定义计算即可；（2）先运用新定义运算的定义进行计算，再根据得出，代入计算结果后即可得出结论．【详解】（1），，；故答案为：；（2），，，，，，，．【点评】本题考查了整式的混合运算，弄清题意，掌握新定义运算的规则及整式乘法的运算法则是解题的关键．16．先化简，再求值：，其中．【答案】，-1【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，最后把a的值代入即可求解．【详解】原式==；当时，原式==4×（）+5=．【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．17．已知实数a，b满足，求的值．【答案】【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】∵a+b=2，ab=，∴=====4--1=．【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．18．计算（1）（2）【答案】（1）8；（2）【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的概念进行化简，然后再计算；（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】（1）===（2）===【点评】本题考查实数的混合运算以及整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．19．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．B．C．D．（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；②如果图（3）中的a，满足，．求：的值．【答案】（1）A；（2）①；②．【分析】（1）用两种不同的方法求图（2）的面积，可以说明多项式的乘法运算可判断A，然后B、C、D再与A比较即可；（2）①用边长为大正方形面积为，是由一个边长为的正方形，二个长为，宽为小长方形和一个边长为正方形拼成的，面积为，两面积一样列等式即可；②由，，可根据，求得，开方即可．【详解】（1）根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算，大长方形的长为，宽为，大长方形面积为，大长方形是由一个边长为的正方形，四个长为，宽为小长方形和三个边长为正方形拼成的，故面积为由此刻验证多项式乘以多项式的乘法法则，故A正确；B．=>故B不正确；C．=，故C不正确；D．不是图中大长方形面积，故不正确．故选择：A；（2）①大正方形的边长为，其面积为，是由一个边长为的正方形，二个长为，宽为小长方形和一个边长为正方形拼成的，面积为，两面积一样，；②∵，，∴，∴，∴，∵，∴．【点评】本题考查多项式乘法法则的推导，应用与迁移，掌握方法是利用两种方法求同一图形面积是解题关键．20．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为．（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．【答案】（1）﹣2；（2）8；（3）﹣2