12.3角的平分线的性质（解析版）

12.3角的平分线的性质一、单选题1．如图①，已知，用尺规作它的角平分线．如图②，步骤如下：第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P；第三步；画射线，射线即为所求．下列叙述不正确的是（）A． B．作图的原理是构造三角形全等C．由第二步可知， D．的长【答案】D【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可【详解】A、∵以a为半径画弧，∴，故正确B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误故选：D【点评】本题考查用尺规作图法画已知角的角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键2．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于G．若．P为上一动点，则的最小值为（）A．无法确定 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据题意可知BG是∠ABC的角平分线，利用角平分线定理和垂线段最短即可求出的最小值为【详解】作GH⊥AB由题意可知：BG是∠ABC的角平分线又∵GH⊥AB，∴CG=GH∵∴GH=2由直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短可得：当点GP⊥AB时，有最小值即=GH=2时，最短故选：C【点评】本题考查角平分线定理，用尺规作图法画已知角的角平分线，垂线段最短、熟练使用角平分线定理是关键，利用垂线段最短求线段最小值问题是中考常考知识点3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定 B． C．1 D．2【答案】C【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，

∵GH⊥BA，GC⊥BC，

∴GH=GC=1，

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，

故选：C．【点评】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，平分平分，且，下列结论：①平分，②；③；④．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．【详解】∵BC⊥BD，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，∵∠ABE+∠FBE=180°，∴∠ABE+∠FBE=90°，∵BD平分∠EBF，∴∠DBE=∠FBE，∴∠CBE=∠ABE，∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，∵CB平分∠ACE∴∠ACB=∠ECB，∵ABCD，∴∠ABC=∠ECB，∴∠ACB=∠EBC，∴ACBE，∵∠DBC=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴①②③正确；∵根据已知条件不能推出∠DBF=2∠ABC，∴④错误；故选B．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．5．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（）A．平分 B． C．平分 D．【答案】A【分析】根据角平分线的性质定理可得CD=ED，根据角平分线的定义、三角形三边的关系，从而可对各选项作出判断．【详解】∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB∴CD=ED，∴BC=BD+CD=BD+ED故选项B正确；∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵CD⊥AC，ED⊥AB∴∠C=∠DEA=90゜∴∠ADC=∠ADE即AD平分∠EDC故选项C正确；在△ACD中，AC+CD>AD∴ED+AC>AD故选项D正确；若DE平分∠ADB则有∠BDE=∠ADE∵∠ADE=∠ADC∴∠ADE=∠ADC=∠BDE∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜∴∠BDE=60゜∴∠B=90゜-∠BDE=30゜显然这里∠B是不一定为30゜故选项A错误．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，注意定理的条件：平分角，过角平分线的点且与角的两边分别垂直的线段．6．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（）A． B．1 C．2 D．6【答案】B【分析】根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１．【详解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得．故选：B【点评】本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．7．如图，，平分交于点E，平分交于点G，若，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用等角的余角相等可判断①；利用①的结论可证明∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，从而可判断②；利用平行线的性质可判断③；先求得∠AEC90，再利用利用平行线的性质可判断④【详解】∵AB//CD，∴∠AEC=∠FCE，∠BEG=∠CGE，∵∠CEG=∠CEF+∠FEG=90，∴∠AEC+∠BEG=180-∠CEG=90，∴∠AEC=∠CEF，故EC平分∠AEF，选项①正确；∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠FCE，∴∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，∴EF//AC，故选项②正确；∵EF//AC，∴∠A+∠AEF=180，∠AEF=∠EFG，∴∠EFG+∠A=180°，故选项③正确；∵AB//CD，∴∠AEG+∠EGC=180，∴∠AEC+∠EGC=180-∠CEG=180-90=90，∵∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=90，∴90+∠EGC=90，∴∠EGC=，故选项④正确；综上，四个选项都正确，故选：D【点评】本题考查了平行线的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质定理得AD＝DH，由垂线段最短得到DP≥DH，可得DP的长不可能是3．【详解】过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝4，∴DH＝4，又∵点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，∴DP≥4，∴DP的长不可能是3，故选：D．【点评】本题主要考查角平分线的基本性质，能够证得BD为角平分线是解题关键．二、填空题9．如图，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为_____．【答案】26°28'【分析】根据尺规作图的痕迹可知：BC平分∠DCF，结合AB∥CD，可得∠BCD=∠B=∠FCB，进而即可求解．【详解】由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分∠DCF，∴∠BCD=∠FCB，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∴∠FCB=∠B，∵∠BFC＝127°4'，∴∠BCD=∠B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【点评】本题主要考查尺规作角平分线以及平行线的性质，根据尺规作图的痕迹，得到BC平分∠DCF，是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a＋2b，a＋1），则a＋b=________．【答案】【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2b+2a+1=0，然后再整理可得答案．【详解】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，

因此2b+a=-(a+1)，

即：a+a+2b=-1即a+b=故答案为：．【点评】此题考查坐标与图形性质，作图-基本作图，解题关键在于掌握作图法则．11．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．【答案】．【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可．【详解】如图示，，，，则，根据题意，作的角平分线交于点，过点，作交于点，过点，作交于点，则∵，，则（）故答案是：．【点评】本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键．12．如图，已知中，，点在上，，点为垂足，且，联结，则的大小为___________．【答案】112.5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.【详解】∵∠C＝90°，DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD和Rt∆AED中，∴Rt∆ACD≌Rt∆AED，∴∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠CAD＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.故答案为：112.5°．【点评】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．13．如图所示，已知，求作射线，使平分，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列）①作射线；②以为圆心，任意长为半径画弧交、于、；③分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点．【答案】②③①【分析】根据角平分线的作法求解．【详解】作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧交、于、；（2）分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点，（3）作射线，所以就是所求作的的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【点评】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面积为_____．【答案】22.5【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC＝4.5，然后根据三角形面积公式求解．【详解】∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC＝4.5，∴S△ABE＝AB·DE=×10×4.5＝22.5．故答案为：22.5．【点评】本题考查了角平分线性质，三角形面积公式，利用角平分线性质转化线段CE=ED求解是解题的关键.三、解答题15．如图是一个锐角．（1）用尺规作图法作出的平分线；（2）若点是上一点，过点作于点，于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】（1）如图，射线OC即为所求作．（2）由作图可知，∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，，∴△POD≌△POE（AAS），∴OD=OE．【点评】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．（1）①的度数是_______度；②∵，∴________．（2）求的度数．（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】（1）122°，∠CBN；（2）61°；（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由见解析【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=122°，再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=122°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1．【详解】（1）①∵AM∥BN，∠A=58°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=122°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-58°=122°，∴∠ABP+∠PBN=122°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=122°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1．【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．如图，将绕点按逆时针方向旋转的度数得到．（1）尺规作图：确定的顶点的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接，，设的延长线交于点，连接．求证：平分．【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．【详解】(1)点E位置如图所示；(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知≌，DE=BC，∴，，∴，∴，∴平分．【点评】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．18．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果，，那么的面积与的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB与BC边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】（1）根据步骤（1）得弧线交，于点，，根据步骤（2）得两弧交点F，根据步骤（3）得射线BG，根据作图的步骤与图形结合得BG平分∠ABC；如图所示，即为所求．（2）过点G作GH⊥BC于H，GM⊥射线AB于M，∵BG平分∠ABC，∴GM=GH，S△ABG=，S△BCG=，S△ABG:S△BCG=，故答案为：．【点评】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角形的高相等，面积比等于底的比是解题关键．19．（1）如图1，中，的角平分线与的外角的平分线交于．当为时，则为的度数．（2）在（1）的条件下，若的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得…，，则______°；（3）如图2，四边形ABCD中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若，则_________°；（4）如图3，中，的角平分线与的外角的平分线交于，若E为BA延长线上一动点，连EC，与的角平分线交于Q，①求证的值为定值；②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论（填编号），并写出其值．【答案】（1）∠A1；（2）；（3）∠F；（4）①,=180°．【分析】（1）由的角平分线与的外角的平分线交于，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由外角性质∠4=∠2+∠A1，2∠4=∠A+2∠2，可证∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,可得∠A2==∠A，∠A3=∠A，…,找出规律∠An=∠A，当n=6时代入求值即可∠A6=；（3）延长BA,CD交于G，由，可求∠G=50°，利用规律∠F=∠G=；（4）①=180°，由∠A1=∠BAC，∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，可得∠5=∠6，,7=∠8，可求∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∠Q=90°+∠EAC，再求=180°，可得的值为定值，②=180°-∠BAC，由∠BAC可变，的值不为定值．【详解】（1）∵的角平分线与的外角的平分线交于，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠4=∠2+∠A1，∠ACD=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，∴2∠4=∠A+2∠2，整理得∠4=∠A+∠2，∴∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,∴∠A2=∠A1=∠A，∴∠A3=∠A2=∠A=∠A，…,∴∠An=∠A，∴当n=6时∠A6=∠A=，故答案为：；（3）延长BA，CD交于G，∵，∴∠GAD+∠GDA=360°-()=360°-230°=130°，∴∠G=180°-(∠GAD+∠GDA)=180°-130°=50°，∴∠F=∠G=；（4）①=180°，∵∠A1=∠BAC，∵∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，∴∠5=∠6，,7=∠8，∵∠EAC+∠5+∠6+∠7+∠8=180°，∴∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∴∠6+∠8=90°-∠EAC，∴∠Q=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-∠EAC）=90°+∠EAC，∴=90°+∠EAC+∠BAC=90°+（∠EAC+∠BAC）=90°+90°=180°，∴的值为定值，②==90°+∠EAC-∠BAC=90°+（∠EAC-∠BAC），∵∠EAC=180°-∠BAC，∴=90°+（180°-∠BAC-∠BAC）=180°-∠BAC，∵∠BAC可变，∴的值不为定值．故答案为①,=180°．【点评】本题考查角平分线定义，三角形内角和，三角形外角性质，平角定义，掌握角平分线定义，三角形内角和，三角形外角性质，平角定义是解题关键．20．如图，△ABC中，∠C90°，请按要求解决问题．（1）求作∠A的平分线交BC边于点D．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）（2）若AC=6，AB=10，求△ABD的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）15．【分析】(1)作的平分线交于，根据角平分线的性质得到点即可；(2)过点D作DE⊥AB于点E，