11.2.1三角形的内角（解析版）

11.2.1三角形的内角一、单选题1．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可．【详解】，，∵BD平分∠ABC，，，，，，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．2．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（）A．18° B．22° C．30° D．38°【答案】B【分析】根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；【详解】∵AE是的高，∴，又∵AD是的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案选B．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边上的点，将沿着折叠压平，与重合，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．【详解】∵∠A=50°，

∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，

∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，

∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，

∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．

故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．4．如图，的一边上有一动点E，连结，在射线上任取一点D，连结，分别作的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是()

A． B．C． D．【答案】A【分析】判断选项、选项，需假设选项正确，即，再根据角平分线的性质，即可证明得出，此时选项也正确，故选项、选项都不对．对于选项、选项，令与交点为，根据三角形内角和为即可证明选项正确，选项错误．【详解】当时，，则，∵、平分、，则，故选项、选项不对．令与交点为，在中，，在中，，在中，，在中，，故，则选项正确，选项错误．

故选：．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．5．如图，直线､被所截，若，，，则的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据平行线的性质求出，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵，，∴，∵，∴；故答案选C．【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．6．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（）①的面积是的面积的一半；②；③；④．A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可．【详解】∵BE是AC边的中线，∴AE=CEAC，∵△ABE的面积×AE×AB，△ABC的面积×AC×AB，∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故③正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；即正确的为①③，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1C．直角三角形的两锐角互余 D．如果，那么【答案】C【分析】根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可．【详解】A、同位角不一定相等，原命题是假命题；B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题；C、直角三角形两锐角互余，是真命题；D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．8．如图，在中，，，平分，，则的度数是（）A．50° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角．【详解】在中，∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，∵平分，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵，∴=∠CBD=30°，故选C．【点评】本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题关键．二、填空题9．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．【答案】80°【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．【详解】根据平角的定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C，∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，∴∠1+∠2＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________．【答案】25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．11．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．【答案】30°，90°或40°，80°【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．【详解】在△ABC中，不妨设∠A=60，①若∠A=2∠C，则∠C=30，∴∠B=；②若∠C=2∠A，则∠C=120，∴∠B=(不合题意，舍去)；③若∠B=2∠C，则3∠C=120，∴∠C0，∠B=；综上所述，其它两个内角的度数分别是：30，90或40，80．【点评】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．12．如图，________°．【答案】180【分析】连接AB，可知∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，进而根据三角形内角和求出的值．【详解】连接AB，∵∠C+∠D+∠DFC=∠CAB+∠DBA+∠AFB，∠DFC=∠AFB，∴∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，，，=180°故答案为：180．【点评】本题考查了三角形内角和，解题关键是恰当的连接辅助线，把所求的角转化为同一个三角形的内角．三、解答题13．探究：如图①，，平分，平分，且点、、均在直线上，直线分别与、交于点、．（1）若，，则______．（2）若，求的度数．拓展：如图②，和的平分线、交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）【答案】探究：（1）120°；（2）125°；拓展：【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；（拓展）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝(180°-∠CHF)，再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．【详解】（1）∵∠AFH＝80°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝40°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝40°；∵∠CHF＝40°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝20°，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；故填：120°；（2）∵平分，平分，∴，．∵，∴．∵，∴．拓展：∵平分，平分，∴，，∴．．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【详解】（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键．15．如图，在中，于点，交于点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）证明见详解；（2）．【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】（1）证明：，，，，，，；（2）解：，，，，，．【点评】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．16．如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠B=66°，∠C=54°．（1）求∠BAD的度数；（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．【答案】（1）30°；（2）60°【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD的度数；（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=30°；（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．17．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴AD∥BC（）．（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．【详解】（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理是解题关键．18．如图，在中，平分，．若，，求的度数．【答案】20°【分析】由题意，先求出，然后得到，即可求出答案．【详解】如图：平分于点．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．19．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【详解】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），②∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．20．阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理