2024-2025学年高中数学第一章计数原理课时作业31.3组合含解析北师大版选修2-3

课时作业3组合时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，则n等于(A)A．8B．5或6C．3或4D．4解析：Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n(n－1)，由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.2．甲、乙、丙3位同学从4门课程中选修课程，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(C)A．36种B．48种C．96种D．192种解析：由乘法原理可知，甲选修2门，乙、丙各选修3门，不同的选修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96种．3．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(B)A．6个B．12个C．18个D．30个解析：依据题意，知Ceq\o\al(4,6)－3＝Ceq\o\al(2,6)－3＝12个．4．从6位同学中选出4位参与一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参与，则不同的选法种数为(A)A．9B．14C．12D．15解析：依据题意，参与座谈会人员的选法可分两类：第一类：张、王两人都不参与，有Ceq\o\al(4,4)＝1(种)选法；其次类：张、王两人只有1人参与，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝8(种)选法，故共有1＋8＝9(种)选法．5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(B)A．10B．11C．12D．15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(2,4)＝6个；其次类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(1,4)＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(0,4)＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．6．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中随意2人既不同行也不同列，则不同的选法有(D)A．60种B．100种C．300种D．600种解析：先把3人所在的三行和三列选出来，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)种选法，在这三行三列里确定人选的方法数有6种，依据乘法原理可得满意题意的选法有6Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)＝600种．7．从不同号码的五双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为(A)A．120B．240C．360D．72解析：先取出一双有Ceq\o\al(1,5)种取法，再从剩下的四双鞋子中取出两双，而后从每双中各取一只，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)种不同的取法，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝120种不同的取法．8．将7名学生安排到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少支配两名学生，那么互不相同的支配方法共有(B)A．252种B．112种C．70种D．56种解析：完成这件事需分两类：第一类：从7名学生中任选3人，分到两个宿舍中的随意一个，另4人再分到另一宿舍，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,2)种方法．其次类：从7名学生中任选2人，分到两个宿舍中的随意一个，另5人再分到另一宿舍，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,2)种方法．依据加法原理，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,2)＝112种方法．二、填空题9．7名志愿者中支配6人在周六，周日两天参与社区公益活动，若每天支配不同的3人，则不同的支配方案共有140种．(用数字作答)解析：由题意知，Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(3,4)＝140(种)．10．从4名男生和3名女生中选出4人担当奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种．(用数字作答)解析：由题意知：Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34(种)．11．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名老师，2名学生)开展试验活动，但学生甲必需与老师A在一起，这样的分组方法有30种．(用数字作答)解析：分别给A，B，C三位老师各支配2名学生(学生甲必需与老师A在一组)，一共有Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝30(种)不同的分组方法．三、解答题12．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中随意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)种方法；再从10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)种方法，所以共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＝90种抽法．(3)法一(干脆法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种状况，与(2)小题类似共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10)＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中随意抽出3件有Ceq\o\al(3,12)种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Ceq\o\al(3,10)种方法，所以共有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,10)＝100种抽法．13．一个小组有10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有1名女生的选法有多少种？解：依据代表中女生的人数分类：第一类：3名代表中有1名女生，则选法种数为：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＝60(种)；其次类：3名代表中有2名女生，则选法种数为：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＝36(种)；第三类：3名代表中都是女生，则选法种数为：Ceq\o\al(3,4)＝4(种)．由分类计数原理，符合要求的代表的选法种数为：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,4)＝60＋36＋4＝100(种)．——实力提升类——14．某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台阶，也可一步上2个台阶，若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的方法共有18种．解析：方法一：由于10÷8的余数为2，可以确定一步1个台阶6次，一步2个台阶2次，选定一步2个台阶或一步1个台阶，则有Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(2,8)＝28种方法．方法二：从结果入手，问题就是6个1和2个2，不同的组合方案就构成了不同的走法，需分两类完成：第一类：2个2不相邻，先排6个1构成7个空位，在两个空位分别插入2，有Ceq\o\al(2,7)种方法．其次类：2个2相邻，先排6个1构成7个空位，在一个空位插入2个2，有Ceq\o\al(1,7)种方法．依据加法原理，共有Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,7)＝28种方法．15．在某高校的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个举荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必需有男生参与考试．学校通过选拔定下3男2女五个举荐对象，求不同的举荐方案共有多少种．解：第一类：三名男生被举荐考试的语种各不相同，则男生的举荐方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)种，女生的举荐方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)种，依据分步乘法计数原理，此时不同的举荐方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1