2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算学案含解析新人教B版必修第二册

4.1.1实数指数幂及其运算学习目标1.理解n次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,驾驭用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,an中的a称为,n称为.

(2)一般地,给定大于1的正整数n和实数a,假如存在实数x,使得,则x称为a的n次方根.

①0的随意正整数次方根均为,记为.

②正数a的偶数次方根有两个,它们互为,其中正的方根称为a的,记为,负的方根记为;负数的偶数次方根在实数范围内.

③随意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为.而且正数的奇数次方根是一个,负数的奇数次方根是一个.

(3)当na有意义的时候,na称为,n称为,a称为一般地,根式具有以下性质:①(na)n②nan(4)一般地,假如n是正整数,那么:当na有意义时,规定a1n=;当na对于一般的正分数mn,也可作类似规定,即amn==.但值得留意的是,这个式子在mn不是既约分数(即m负分数指数幂:若s是正分数,as有意义且a≠0时,规定a-s=.

(5)有理数指数幂的运算法则:asat=,(as)t=,(ab)s=.

点拨(1)在(na)n中,当n为奇数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.但在nan中,(2)分数指数幂amn不行以理解为mn个2.实数指数幂一般地,当a>0且t是时,at是一个确定的实数.因此,当a>0时,t为时,可以认为实数指数幂at都有意义.

课堂探究例1用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x25;(2)要点归纳在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较便利.而在求函数的定义域时,根式形式较简单视察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实驾驭.变式训练1用根式表示x-12y23例2计算下列各式的值:(1)331039;(2)5变式训练2把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0.(1)5a6;(2)13a2;(3)4要点归纳指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a≤0时,amn有时有意义,有时无意义.如(-1)13=3-1=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在m例3化简下列各式:(1)5x-2变式训练3化简:18-12×-760+80.25×42核心素养专练1.化简3aa=2.已知3a=2,3b=15,则32a-b=3.3(-6)3+4(4.求值:(1)(2-1)0+169-12(2)0.027-13--16-2+25605.化简:3a72a-参考答案自主预习1.(1)底数指数(2)xn=a①0n0=②相反数n次算数根na-na③na正数(3)根式根指数被开方数(4)nana(5)as+tastasbs2.无理数随意实数课堂探究例1(1)5x2变式训练13例2(1)3(2)25变式训练2(1)a65(2)a-23(3)例3(1)24y16(2)m变式训练3110+22核心素养专练1.a2.203.-64.(1)2(2)325.a第1课时学习目标通过复习初中学问,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂amn(a>0,a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,a≠1;x∈R)含义的相识,了解指数幂的拓展过程,驾驭自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:aman=,(am)n=,(ab)m=,a-n=.

假如x2=a,那么x叫做a的平方根;分状况探讨:当a>0,a=0,a<0时,a的平方根的状况.假如x3=a,那么x叫做a的立方根.如:(±2)2=4,就叫4的平方根,9=;33=27,3就叫27的,38=课堂探究任务一类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义思索并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的次方根.

②依此类推,若存在实数根,使得xn=a,则x称为a的n次方根.当na有意义的时候,na称为根式,n称为根指数,a方程xn=a根的状况如何分类呢?当n为奇数时,n次方根状况如何?例如:①327=,3-27=.②记n次方根当n为偶数时,正数a的n次方根状况如何?例如:①(±3)4=,81的4次方根就是.②记n次方根x=.

思索下面两个问题1.依据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对随意实数a都存在n次方根?n为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应留意什么问题?要点归纳1.0的随意正整数次方根均为0.2.正数a的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.随意实数的奇数次方根都有且只有一个.学生举例并总结根式的性质一般的根式的性质:①na②当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,n学问应用例1(1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②416的运算结果是±4;③当n为大于1的奇数时,na对随意实数a都有意义;④当n为大于1的偶数时,na只有当a(2)求值化简:3(-a)3;4(-7)4任务二阅读课本第5页的“尝试与发觉”,得出分数指数幂的定义及运算性质(a)2=a1=(a12)2能成为(am)n=aab=ab能成为ambm=(ab)m的特例吗?m,n视察(5)2=51=(512)2,所以51一般地,假如n是正整数,那么:当na有意义时,规定a1n当na没有意义时,称a1规定amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1);a-mn=1amn=1na跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.nam=(a>0,m,n∈N*,n>1);3x2=;(2)求值:6413;探讨:0的分数指数幂.随意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R.①

②

③

任务三分数指数幂的运算例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·a=,a3·3a2=,aa=(式中例3求值:2723;16-34变式训练化简:①a2a(a>0);②13③a23b1课堂练习1.3a·6-aA.--a B.-a C.-a2.625的4次方根是()A.5 B.-5 C.±5 D.253.下列结论中,正确的命题的个数是()①当a<0时,(a2)32=a3;②nan=|a|;③函数y=(x-2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞A.0 B.1 C.2 D.34.求值:(1)33·43·427作业布置1.课本P8练习A第3,4题,练习B第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.4(-3)A.3 B.-3 C.±3 D.812.化简(-b)2是(A.-b B.b C.±b D.13.化简6(a-4.计算:(3-5)3=;35.化简a+4(1-A.1 B.2a-1 C.1或2a-1 D.06.假如a,b都是实数,则下列实数肯定成立的是()A.3a3+B.|a|+b2=a2C.4(a2+D.a27.当8<x<10时,(x-8)28.若x2-2x+1+y2+69.若(|x|-1)-13有意义,则x10.化简:(1)(3649)311.计算1612+181-12.若a2-2a+113.化简下列各式.(1)4-23;第2课时学习目标进一步驾驭根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义一般的根式的性质:①na②当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,n分数指数幂的意义amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1);a-mn=1amn=1na随意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R.①

②

③

自我检测1.下列各式正确的是()A.-32=-3 B.4C.22=2 D.3(-2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.-x=(-x)12(B.6y2=y1C.x-34=4D.x-13=-33.求值:2723+16-12课堂探究任务一典型例题例1求证:假如a>b>0,n是大于1的自然数,那么a1n>推论:假如a>b>0,s是正有理数,那么as>bs.利用例1的结论可以证明(课后练习)(1)假如a>1,s为正有理数,那么as>1,a-s<1;(2)假如a>1,s>t>0,s与t均为有理数,那么as>at.应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与任务二例2计算下列各式的值.(1)331039;(2)5跟踪练习1.-338-23+(0.002)-12-10×(5-2)-2.(0.064)-13--780+[(-2)3]-例3(1)化简下列各式.①5②4a23b(2)已知a12+a①a+a-1;②a2+a-2;③a3跟踪练习化简:(1)(2m2n-35)10÷(-m12n-3任务三情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础探讨经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2024年、2024年、2024年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能依据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预料2024年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p1,p2,…,pn之间的关系,即p=n(1+p课堂练习1.若x12+x-12=2.若3x=a,5x=b,则45x=()A.a2b B.ab2 C.a2+b D.a2+b23.3-8的值是课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习):(1)假如a>1,s为正有理数,那么as>1,a-s<1;(2)假如a>1,s>t>0,s与t均为有理数,那么as>at.2.课本P13习题4-1A第1,3题,4-1B第1,2题.核心素养专练1.已知x5=6,则x等于()A.6 B.5C.-56 D.±2.(42)4运算的结果是(A.2 B.-2 C.±2 D.不确定3.m是实数,则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2 B.3m C.4.下列各式化简错误的是()A.a-2B.(a6b-9)-23=a-C.(x14y-1D.-15a15.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是()A.-x=(-x)12(B.x-1C.xy-34=4yD.6y2=y16.化简:111912-3π20-1·181147.已知x=a-3+b-2,求4x28.已知x+x-1=3,求下列各式的值:(1)x12+(2)x32+9.探究:当nan+(na)n=2a时,实数a和整数n所应参考答案第1课时自主预习略课堂探究略课堂练习1.A2.C3.A4.(1)333(2)425a2b核心素养专练略第2课时自主预习略自我检测1.C2.C3.3课堂探究例1求证:假如是a>b>0,n是大于1的自然数,那么a1n>证明