2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.33.4课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-第三章3.33.4请同学们仔细完成[练案26]A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．一辆汽车在某段路中的行驶路程s关于时间t的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是(C)A．一次函数 B．二次函数C．分段函数 D．无法确定解析：由题图知在不同时段内，路程曲线不同，故函数模型为分段函数．2．用长度为24m的材料围成一矩形场地，假如在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3m B．4mC．6m D．12m解析：设矩形的长为x，则宽为eq\f(1,4)(24－2x)，则矩形的面积为S＝eq\f(1,4)(24－2x)x＝－eq\f(1,2)(x2－12x)＝－eq\f(1,2)(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(D)A．52 B．52.5C．53 D．52或53解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(105,2)))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．4．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x1≤x<10，x∈N＋，,2x＋1010≤x<100，x∈N＋，,1.5xx≥100，x∈N＋，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(C)A．15 B．40C．25 D．130解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满意题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．5．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B动身，沿B→C→D→A的依次运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为因变量的函数的图像，如图2，则梯形ABCD的面积是(B)A．96 B．104C．108 D．112解析：从图2可看出，BC＝8，CD＝10，DA＝10，在图1中，过点D作AB的垂线，垂足为E，可推得AE＝6，AB＝16，所以梯形的面积为eq\f(1,2)(DC＋AB)·BC＝eq\f(1,2)(10＋16)×8＝104，故选B．二、填空题(每小题5分，共15分)6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是__y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)__.解析：依题意，设新价为b，则有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%.化简，得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2，那么总利润L(Q)的最大值是__250__万元，这时产品的产量为__300__.(总利润＝总收入－成本)解析：L(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq\f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．8．一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地马路途长400km，为了平安起见，两辆汽车的间距不得小于eq\f(v2,800)km，那么这批物资全部到达灾区，最少须要__10__h.解析：设全部物资到达灾区所需时间最少为th，由题意可知，t相当于最终一辆车行驶了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50×\f(v2,800)＋400))km所用的时间，因此，t＝eq\f(50×\f(v2,800)＋400,v)＝eq\f(v,16)＋eq\f(400,v)≥2eq\r(\f(v,16)×\f(400,v))＝10.当且仅当eq\f(v,16)＝eq\f(400,v)，即v＝80时取“＝”．故最少须要10h.三、解答题(共20分)9．(10分)有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．解析：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由题图可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)·x，所以S＝eq\f(π,2)x2＋4xy＝eq\f(π,2)x2＋eq\f(2,3)x·[l－(9＋π)·x]＝－eq\f(－36＋π,6)x2＋eq\f(2,3)lx＝－eq\f(36＋π,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2l,36＋π)))2＋eq\f(2l2,336＋π).要使窗户所透过的光线最多，只需窗户的面积S最大．由6y＞0，得0＜x＜eq\f(l,9＋π).因为0＜eq\f(2l,36＋π)＜eq\f(l,9＋π)，所以当x＝eq\f(2l,36＋π)，y＝eq\f(l－9＋πx,6)＝eq\f(l18－π,636＋π)，即eq\f(x,y)＝eq\f(12,18－π)时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝eq\f(2l2,336＋π).10．(10分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则赐予实惠：每多1人，人均费用削减10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x.即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；当30＜x≤75时，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000.即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x2＋1200x－15000，30＜x≤75.))因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，Smax＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．B级素养提升一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图所示，从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．假如抛物线的最高点M离墙1m，离地面eq\f(40,3)m，则水流落地点B离墙的距离OB是(B)A．2m B．3mC．4m D．5m解析：以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y＝a(x－1)2＋eq\f(40,3)，由条件(0,10)在抛物线上，可得10＝a＋eq\f(40,3)，a＝－eq\f(10,3)，所以y＝－eq\f(10,3)(x－1)2＋eq\f(40,3)，设B(x,0)(x＞1)，代入方程得：(x－1)2＝4，所以x＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元，则超过800元部共享受肯定的折扣实惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣实惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为(A)A．1500元 B．1550元C．1750元 D．1800元解析：设该顾客在此商场的购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元．由题可知，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤800，,0.05x－800，800＜x≤1300，,0.1x－1300＋25，x＞1300.))∵y＝50＞25，∴x＞1300，∴0.1(x－1300)＋25＝50，解得x＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．二、多选题(每小题5分，共10分)3．在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间改变的状况由计算机记录后显示的图像如图所示．给出下列说法，其中正确的是(BD)A．前5min温度增加的速度越来越快B．前5min温度增加的速度越来越慢C．5min以后温度保持匀速增加D．5min以后温度保持不变E．温度随时间的改变状况无法推断解析：温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则BD正确．4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂干脆按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(ABC)A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节约费用解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的费用y1与证书数量x满意的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A、B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝eq\f(1,4)×8＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2)，因为y1＞y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节约费用，故D不正确．三、填空题(每小题5分，共10分)5．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/千克)与数量x(单位：千克)之间的函数关系的图像如图所示．现此零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品__90__千克．解析：由题意得，购买这种商品所需费用y(单位：元)与数量x(单位：千克)之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(37x，0＜x≤10，,32x，10＜x≤50，,30x，50＜x≤100，,27x，100＜x≤150，,25x，x＞150，))从而易得30×50＜2700＜30×100，即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间，故最多可购买这种商品eq\f(2700,30)＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y与年份代号x的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快；②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品的年产量保持不变．其中说法正确的是__②④__.解析：设年产量y与年份代号x的关系为f(x)，由图，可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢，故①错误，②正确；由图，可知从第四年起先该产品的年产量不发生改变，且f(4)≠0，故③错误，④正确．四、解答题(共10分)7．某创业团队拟生产A，B两种产品，依据市场预料，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金，并准备全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x)，则f(1)