7.5正态分布课件高二下学期数学人教A版选择性

7.5正态分布高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是正态分布．那么,什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？如图所示是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个个小球从高

尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方

的某一球槽内，只有球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两头低，成左右对称的图形.正态分布离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0

，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，前面我们研究

的分布列（如二项分布、超几何分布等）都是离散型随机变量的分布列。正态分布在统计学中是很重要的分布，它是一个连续型随机变量的分布，它等于任何一个实数的概率都为0

，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的

概率，它的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.

由于各种不可控的因素,任

意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多

或少会存在一定的误差(实际

质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,

随机抽取了100袋食盐,获得误差X

(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.

误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,

由频

率的稳定性可知,规率分布直方图

的轮廓就越来越稳定,接近一条光

滑的钟形曲线,如右图所示。根据频率与概率的关系，可用以用

上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量

误差的概率分布，曲线与水平轴之间的

面积为1.任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率如何表示?可以用图中黄色阴影部分的面积表示.对任意的x

∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称

正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机

变量X服从正态分布(normal

dis-tribution),记为X~N(u,

σ2

).正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)

=

σ·

2π

e

2σ

,

x

∈R,

其中μ

∈R，σ

>

0为参数.1

一

(x一

)22μ若X~N(u,σ2),则如上图所示,X取值不超过x

的概率P(X)为图中区域A的面积,而P(a≤X<b)为区域B的面积.y

μ=0

σ=

10-3

-2

-1

1

2

3

x特别地,

当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.即X~N(0,1).正态曲线的性质思考:一个正态分布由参数μ和σ完全确定,这两个参数对正态曲线的形

状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征?f(x)=

e

2σ

,

x∈

R其中μ

∈

R,

σ>0为参数.2-3-2-1

0

1

2

x

-3-2-1

01

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x具有两头低

、

中间高

、左右对称的基本特征ycμ=

1

σ=2

μ=0

σ=

1σ=0.5μ=

-1—

(x—μ)2yyμ=

-1σ=0.5-3-2-1

0

1

2

xy-

μ=0σ=

1-3-2-1

0

1

2

3

xy-3-2-1

0

1

2

3

4x(1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(2)最值性:曲线在x=μ处达到峰值(最高点)

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.当x∈(-

∞

,μ]时,为增函数.当x∈[μ,+∞)时,

为减函数.值域为

(0,

]x∈

R其中μ

∈

R,

σ>0为参数.μ=

1

σ=2y若σ

固定,

随μ值的变化而沿x轴

平移,故μ称为位置参数；参数

μ

,

σ

的含义及对正态曲线的形状的影响μ=0μ=

-1参数μ反映了正态分布的集中位置,(1).

当参数

σ取定值时，μ1μ=1σ=

1μ3μ2y(2).当参数μ取定值时:

峰值

1

与σ成反比，

σ

2π又σ>0,

曲线与x轴围成的面积为1.σ越小，曲线越“瘦高

”，表示总体的分布越集中.若X~N(μ,σ

2

),

则E(X)=

μ,

D(X)=

σ2μ

x所以σ越大，曲线越“矮胖

”，表示总体的分布越分散；若

μ

固定,σ大时,

曲线“矮而胖

”；

σ小时,

曲线“瘦而高

”,

故称σ为形状参数.μ=0σ

=0.5σ

=1σ=2y正态分布的3σ原则

假设X~N(μ,σ2

),

可以证明：对给定的

k

∈

N*

,

P(μ一

kσ≤X≤μ

+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地

P(μ一σ≤X≤μ

+

σ)≈0.6827P(μ一

2σ≤X≤μ

+

2σ)≈0.9545

P(μ一

3σ≤X≤μ

+

3σ)≈0.9973尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,x的取值几乎总落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常

认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量x只取

[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.A若

μ

固定,σ大时,

曲线“矮而胖

”；

σ小时,

曲线“瘦而高

”,

故称σ为形状参数.D若X~N(μ,σ

2

),

则E(X)=

μ,

D(X)=

σ20.20.68275.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b

，下列说法中不正确的是（D

）A.

曲线b仍然是正态曲线；B.

曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.

以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;

D.

以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。6.

已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是

1

。7.如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。5

1015

202530

35xy12

π18.若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于4

·

2π

,求该正态分布的概率密度函数的解析式。9.某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布

N(70,

102

)

，如果规定低于60分为不及格，求：（1）成绩不及格的人数占多少？（2）成绩在80~90内的学生占多少？10.李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数

;(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线

;(3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工

具?请说明理由.解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ

,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交