山西省太原市高一上学期11月期中学业诊断数学试题（含答案解析）

2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7:30－9:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故选：B.2.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对A举反例即可判断；对BD举反例，即可；对C，利用不等式性质即可判断.【详解】A.当时，由，得，故A错误；B.，时，不成立，故B错误；C.，则，故C正确.D.举例，时，则，故D错误；故选：C3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得，故函数定义域为.故选：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要性和充分性判断.【详解】因为，所以或或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.函数（，且的图象必经过的定点是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据确定指数型函数图象恒过的定点.【详解】令，得x=1，代入解析式，得到图象必经过的定点是.故选：A.6.已知不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次项系数为0和小于0，再结合判别式小于0，就可以求解的取值范围.【详解】由不等式对于一切实数都成立，则当时，不等式恒成立，当时，则需满足，解得：，综上可得：实数取值范围是，故选：B.7.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算得出，结合可得解.【详解】因为，则，，则.故选：D.8.已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先将已知等式变形，然后利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立求出的取值范围.【详解】由，因为，等式两边同时除以可得.，根据基本不等式则，所以，即的最小值是.因为恒成立，所以，即，解得.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（）A. B.增函数C.是偶函数 D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项.【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即.分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误.分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确.分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误.分析选项D,由，即，解不等式，，又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确.故选：BD.10.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，fx=x2−2xA. B.是函数的最大值C.当时， D.不等式的解集是【答案】AD【解析】【分析】根据奇函数性质判断A；举例判断B；根据时函数的解析式，结合函数的奇偶性判断C；写出函数的完整解析式为一个分段函数，分两种情况解不等式就可求解.【详解】因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确；因为函数为奇函数，所以，所以，而，所以不是函数的最大值，B错误；设，则，所以，又为奇函数，，所以，所以时，，C错误；根据以上结果，有，所以，有，解得，或，解得，所以不等式的解集是，D正确.故选：AD11.已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.是增函数 D.【答案】AD【解析】【分析】令，，结合可求得，可判断A；令，可判断B；令，由可判断C.令，由可判断D；【详解】对于A，令，，则；由时，得：，，A正确；对于B，令，得，B错误，对于C，设，；，，即，又，，∴fx在R上单调递减，C错误；对于D，令，则；当时，，，，对于任意x∈R，，D正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.命题“，”的否定是___________.【答案】，【解析】【分析】利用特称命题否定可出结论.【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故答案为：，.13.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.14.对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用函数新定义可得，作出函数图象即可得出结论.【详解】根据运算“◎”的定义可得，即可得，画出函数图象如下图所示：若函数图象与轴恰有个公共点，即函数与函数的图象有两个交点，由图可知，当处在图中长虚线位置以及轴处时满足题意，此时或或.因此实数的取值范围是.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式的值（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用指数幂的运算法则计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】.16.已知全集，，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求得集合A，B再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；（2）根据集合之间的关系建立不等式（组），可求得所求的范围.【小问1详解】,,，；【小问2详解】由（1）得，，，实数的取值范围为.17.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）根据定义证明：在上单调递增.【答案】（1）是上的奇函数，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明定义域关于原点对称，再证明f−x=−fx，从而可证明是（2）利用单调性的定义来证明即可.【小问1详解】是上的奇函数.证明：由题意得的定义域为，，都有，，∴fx是上的奇函数.【小问2详解】证明：，，且，则，，，，，，，，∴fx在−1,1上单调递增.18.实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用.某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产.该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元.（1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）；（2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种：方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备；方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由.【答案】（1），，2023年（2）应选用方案一，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解；（2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果.【小问1详解】由题意得，，令，则，，，故从2023年开始，该设备开始盈利；【小问2详解】方案一：年平均盈利额，当且仅当时，即当时，上式等号成立，故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值，此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为；方案二：盈利总额，当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102，此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为；因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一.19.若函数对于定义域的某个或某些区间内的任意一个，满足f−x=−fx，则称函数为上的“局部奇函数”；满足f−x=fx，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数，其中为常数.（1）若为上的“局部奇函数”，求不等式的解集；（2）已知函数是上的“局部奇函数”，也是上的“局部偶函数”.①当时，求函数的值域；②对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）①；②.【解析】【分析】（1）利用奇函数恒等式来求参数，再利用单调性来解不等式；（2）①利用奇偶性来求不同的参数，说明是分段函数，然后求分段函数值域的并集即可；②利用是分段函数，把原不等式转化为的最值条件来研究，即可求得参数范围.【小问1详解】由题意得，f−x=−f即恒成立，整理可得恒成立，则，即，又由在上单调递增，且，所以不等式的解集为.【小问2详解】①由（1）可得当时，的取值范围为；由题意得，f−x=f即恒成立，整理可得恒成立，则，即，又由在上单调递增，所以在上值域为，根