山东省济宁市兖州区高三上学期期中质量检测数学试题（含答案解析）

2024-2025学年第一学期期中质量检测高三数学试题2024.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列举法表示集合，结合交集的概念即可得解.【详解】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因，所以.故选：B.2.，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出，再根据复数模的公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查复数代数形式的运算，以及复数的模，属于基础题.3.已知向量，，，，，若，则，的夹角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据坐标计算出，根据得到，代入向量夹角公式计算即可.【详解】∵，∴，∵，∴，∴，设，的夹角为，则，又∵，∴.故选：A4.已知等差数列的前项和为，则（）A.158 B.160 C.162 D.164【答案】B【解析】【分析】先由题意结合等差数列通项公式求出公差d和，进而结合等差数列前n项和公式即可求解.【详解】因为数列为等差数列，设公差为d，由题得，即，又，所以，所以，所以.故选：B.5.已知是奇函数，，则是成立（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件.【详解】由是奇函数，则，即，解得，所以，当时，，，，所以是奇函数，所以，所以是的充要条件.故选：A.6.若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】的对称轴为；结合单调性可得，然后求解即可.【详解】因为，所以的对称轴为，又在上单调递减，则在上单调递增，又因为，由对称性可得，所以，，即.故选：D7.已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】从函数在上恰有两个零点可得出，又函数图象的一条对称轴是，可得出，进而求得的最大值.【详解】解：由题意可得，函数，由于，所以；又由在上恰有两个零点，所以，解得；又因为函数图象的一条对称轴是，所以，即，又且，所以当时，，故选：B．8.若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围.【详解】依题意，设切点坐标，由，求导得，则函数的图象在点处的切线方程为，由切线过点，得，令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，而当时，恒有，又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数，其中正确命题是（）A.是以为最小正周期的周期函数B.的最大值为C.将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合D.在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】先化简函数，接着即可由函数性质直接得出函数的最小正周期和最值，进而可判断AB；对于C，由平移变换知识求得变换之后的解析式为即可判断；对于D，由得，进而结合正弦函数性质即可判断.【详解】由题得，对于A，函数最小正周期为，故A正确；对于B，函数最大值为，故B正确；对于C，将函数的图象向左平移个单位可得到函数解析式为，所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故C错误；对于D，当，，因为正弦函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确.故选：ABD.10.对于已知函数，下列论述正确的有（）A.若，则函数的单调递减区间为B.若函数在区间上是增函数，则C.当，时，函数的图像的对称轴为D.当，时，函数的图像的对称中心为【答案】AD【解析】【分析】先求导函数再根据单调性分别判断A，B，再应用fx单调递增不能有对称轴判断C，根据得出对称中心判断D.【详解】函数，，对于A：，令，可得，所以fx的单调递减区间为，A选项正确；对于B：若函数在区间上是增函数，所以恒成立，当，所以，B选项错误；对于C：当，时，函数，所以fx对于D：当，时，，又因为，所以函数fx的图像关于对称，D正确.故选：AD11.已知函数的定义域，满足，，，，则下列说法正确的是（）A. B.是等差数列C. D.数列的前项和【答案】BCD【解析】【分析】根据赋值法得出函数值判断A,B,应用赋值法结合导数单调性得出结论判断C,应用错位相减法求前n项和判断D.【详解】令，，，A不对；令，，，，，即，，,所以为等差数列,B正确；，，，令gx=x-sinx,x>0,g'x=1-cosx≥0,g令，,,两式相减得，,可得，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：构造函数求导函数根据导函数正负得出函数单调性得出，根据错位相减法求出判断选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角，且，则________【答案】2【解析】【分析】由同角三角函数的商数关系，利用两角和与差公式化简后求解．【详解】由，可得，即，故.又，故，即，代入可得.故.故答案为：2.13.已知，，且，则的最大值为____________.【答案】##0.125【解析】【分析】由已知条件，可变形为，利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值.【详解】已知，，且，则，，当且仅当，即时等号成立，则有，，所以的最大值为.故答案为：.14.若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将问题转化为与在上有两个交点，进而有有两个不同的正根，利用导数研究右侧函数的单调性及区间符号，即可得结果.【详解】由题设，要使恰有两个“匹配点对”，只需与在上有两个交点，所以有两个不同的正根，令且，则，所以时，即在上递减；时，即在上递增；又时，时，且最小值，所以，要使有两个不同的正根，只需，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若的角平分线与交于点，求.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.【小问1详解】依题意，由正弦定理可得所以，又所以，因为B∈0,π，所以，所以，又，所以.【小问2详解】解法一：如图，由题意得，，所以，即，又，所以，所以，即，所以.解法二：如图，中，因为，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，所以.16.在等腰梯形中，，，，．（1）若与垂直，求的值；（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到各边长，并建立平面直角坐标系，得到，根据与垂直，得到方程，求出；（2）设，，则，求出最小值.【小问1详解】过作于，等腰梯形中易知，又，故可得，如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，所以，故因为与垂直，所以，解得；【小问2详解】设，，则，，则，则，对，其对称轴，故其最小值为，所以的最小值为.17.为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.（1）求的值和的大小；（2）若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，，故，从而可得曲线段的解析式，令时，可得，根据几何知识求；（2）根据题意可得，利用三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解.【小问1详解】由题意可得：，即，且，则，所以曲线段的解析式为.当时，，又因为，则，可知锐角，所以.【小问2详解】由（1）可知，，且,则，可得，则矩形的面积为，又因为，则，可知当，即时，，所以矩形取得最大值．18.已知数列的前项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，求值.【答案】（1）证明见解析（2），（3）【解析】【分析】（1）当时，由递推关系得到，再求出即可；（2）由基本量法求出，再由递推关系求出，然后采用分组求和法结合等比数列的前项和公式求解即可；（3）代入解出即可；【小问1详解】因为，所以当时，，即时，，又时，，所以数列为首项为，公比为的等比数列【小问2详解】由（1）知，所以，又由，可得，所以.【小问3详解】因为，所以，整理得到，解得，所以n的值为.19.设，.（1）求函数y=fx的单调区间（2）求证:；（3）设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为"A关联函数".求证：若y=fx与y=gx为"关联函数"，则.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间；（2）根据题意分析可知：原不等式等价于，构建，利用导数求其最值，进而分析证明；（3）根据题意整理可得，利用基本不等式可得对任意都成立，取可得，构建，利用导数判断其单调性，进而判断其符号即可.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，且.当时，f′x<0；当时，f所以函数y=fx的单调增区间为，单调见区间为.【小问2详解】由（1）可知，故只需证.由于，等价于.令，则.当时，；当时，；可知函数在0,4内单调递减，在单调递增，则，所以.