人教 八下 数学 第17章《勾股定理》课件

17.1勾股定理第十七章勾股定理逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2

知识点勾股定理知1－讲1文字语言直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方图示符号语言∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴

a2＋b2＝c2知1－讲续表变式基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范拓展设三角形的三边长分别为a，b，c(c

为最长边)，则在锐角三角形中满足a2＋b2>c2，在钝角三角形中满足a2＋b2<c2知1－讲特别提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边.知1－讲特别解读运用勾股定理求边长时，关键是分清直角边和斜边，明确所求的是哪一条边.若题目中没有明确指出哪条边是斜边，则需要分类讨论，以免漏解.知1－练例1在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，

b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝19，a＝13，求b(结果保留根号)；(3)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求b.解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.知1－练

知1－练1－1.在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2＋AB2＋AC2＝(

)A．20 B．100

C．200 D．1441－2.[期末·上海闵行区]一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形的面积为_______．C24cm2知1－练已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________.

例2解题秘方：紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边”进行分类解答.

知1－练2－1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值有()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个2－2.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是____________．B知2－讲知识点勾股定理的证明2方法图形证明“赵爽弦图”知2－讲续表方法图形证明刘徽“青朱出入图”设大正方形的面积为S，则S＝c2.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2知2－讲续表方法图形证明加菲尔德总统拼图知2－讲续表方法图形证明毕达哥拉斯拼图在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理知2－讲特别解读通过拼图证明命题的思路：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.知2－练图17.1－1①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c.图17.1－1②是以c为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.例3知2－练思路引导：知2－练解：如图17.1－2即为所求.它是直角梯形.(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；知2－练

(2)利用这个图形证明勾股定理.知2－练3－1.如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到大小不同的两个正方形，则图②中小正方形的面积为________(用含a

的代数式表示).a2＋6a＋9知2－练3－2.如图①，Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，∠ACB＝90°，以AC

为一边作正方形ACDE，点B在边CD上，将△ABC裁剪拼接至△AFE

的位置，如图②，请用图①、图②的面积不变证明勾股定理．知2－练证明：如图，连接BF.∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2.∵CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，∴BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b.∵∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠BAE＝90°.∵∠BAC＝∠FAE，∴∠FAE＋∠BAE＝90°，∴△BAF为等腰直角三角形，知2－练知3－讲知识点勾股定理的应用31.勾股定理的应用范围勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.知3－讲2.勾股定理应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.知3－讲

先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解知3－讲特别提醒运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形;2.确定要求的线段所在的直角三角形;3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系;4.求得结果.知3－讲特别提醒若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线(如作三角形的高)构造直角三角形.知3－练如图17.1－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥

AB，垂足为D.求CD的长.解题秘方：紧扣“同一个直角三角形的面积的两种表示法”求解，即利用面积法解决问题.例4知3－练

知3－练方法技巧：已知直角三角形的两边长求斜边上的高的方法第1步：用两种方法分别计算同一图形的面积；第2步：利用面积相等列出一个方程；第3步：解方程即可求出斜边上的高.知3－练4－1.[中考·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为_______.4知3－练如图17.1－4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A，B，C

的面积分别是15，12，17，求正方形D

的面积.例5思路引导：知3－练解：根据勾股定理可知，S正方形A＋S正方形B＝S正方形P，S正方形C＋S正方形D＝S正方形Q，S正方形P＋S正方形Q＝S正方形M，∴

S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝S正方形M．∵

S正方形M＝82＝64，∴

S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝64.又∵正方形A，B，C的面积分别是15，12，17，∴

S正方形D＝64－(15＋12＋17)＝20，即正方形D的面积为20．知3－练解题技巧：与直角三角形三边相关的正方形、等边三角形、半圆形等，一般都具有相同的结论：两条直角边上图形的面积之和等于斜边上图形的面积.知3－练5－1.如图，分别以Rt△ABC

的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若AD＝4，则阴影部分的面积为(

)A．8B．16C．24D．32B知3－练如图17.1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中

线，MN⊥AB，垂足为N.求证：AN2－BN2＝AC2.例6知3－练思路引导：知3－练证明：∵

MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，AN2＋MN2＝AM2；在Rt△BMN中，BN2＋MN2＝MB2.∴

AM2－AN2＝MB2－BN2，即AN2－BN2＝AM2－MB2.在Rt△AMC中，∵∠C＝90°，∴

AM2－MC2＝AC2.又∵

AM是中线，∴

MC＝MB.∴

AM2－MB2＝AC2.∴

AN2－BN2＝AC2.知3－练6－1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥

AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.知3－练证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.∵∠C＝90°，∴BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.

∴BP2＝BC2＋AP2.知3－练一架5m长的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动()A.0m B.1m C.2m D.3m例7思路引导：知3－练答案：B

知3－练7－1.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为_________km.50知3－练7－2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为7m，顶端距离地面24m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20m．

则小巷的宽度为________.22m知4－讲

知识点

4知4－讲

知4－讲知4－讲续表知4－讲主要应用画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点续表知4－讲易错警示并不是所有的无理数都是用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，0.121121112…(相邻两个2之间1的个数逐渐加1)等.知4－练

例8思路引导：在数轴上作表示无理数的点的步骤.知4－练

知4－练

也可作OA=1，AB=3

知4－练8－1.如图，在数轴上，点O为原点，OB＝1，过点O作直线l⊥OB，在直线l上截取OA＝2，且A在数轴上方.连接

AB，以点B为圆心，AB长为半径作弧交数轴于点C，则点C

表示的数为________.勾股定理拼图法面积法验证勾股定理条件直角三角形结论三边平方关系应用几何应用实际应用题型建立勾股定理模型求线段的长1如图17.1－8，△ABC中，∠B＝60°，AC＝50，AB＝20.求BC的长.例9类型1构造直角三角形求线段的长思路引导：

技巧构造法：利用勾股定理求线段的长是勾股定理的一个重要应用，当题目中没有直角三角形时，往往作垂线构造直角三角形，然后利用勾股定理可求得线段的长.但是构造直角三角形时，尽量不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边.如图17.1－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A

与点B

重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为_______．例10类型2利用折叠求线段的长3思路引导：解：由折叠的性质，得AE＝BE，设CE＝x，则AE＝BE＝8－x，在Rt△BCE

中，由勾股定理，得BC2＋CE2＝BE2，∴

42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴

CE

的长为3.解题通法关于折叠问题要紧扣折叠前后的对应边相等，对应角相等，其解题步骤为：1.利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算)；2.选择直角三角形，这个直角三角形一般已知一边，另两边可通过重合图形找到数量关系，便能利用勾股定理列方程求解.题型建立勾股定理模型求不规则图形的面积2如图17.1－10，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，∠ABC＝90°.求四边形ABCD

的面积.例11类型1分割法求不规则图形的面积解题秘方：将不规则的四边形分割成规则的特殊三角形，再利用特殊三角形的性质求面积.

方法总结转化法：不规则图形的面积不易直接求得，往往通过转化的方法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差.常用的有分割法和补形法两种，如例11中将四边形的面积转化为等边三角形和直角三角形的面积和，例12中将四边形的面积通过补形转化为两个直角三角形的面积差.如图17.1－11，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°.求四边形ABCD

的面积.例12类型2补形法求不规则图形的面积解题秘方：将不规则的四边形补形成规则的特殊三角形，再利用特殊三角形面积的差求解.

技巧求不规则图形的面积时，我们一般通过作辅助线将不规则的图形转化成几个规则的图形，再利用所学规则图形的面积公式求解.本题通过补形将不规则的图形转化成两个直角三角形，以便利用勾股定理求出各线段的长，从而求出各三角形的面积.进而由两个直角三角形的面积差得到四边形的面积.题型建立勾股定理模型求最短距离3如图17.1－12①，一个牧童正在小河南4km的A处牧马，此时正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？例13类型1实际问题中的最短距离思路引导：

模型解读：利用“将军饮马”模型求最值已知定点A，B，在直线l上确定一点P，使点P到A，B

的距离之和最小.方法如下：如图17.1－13，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，其与直线l的交点即为所求的点P，此时PA＋PB的值最小，且PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.解题通法求直线同侧的两点到直线上一点的最短路径长的方法：先找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段长就是最短路径长.以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，将分散的线段集中在同一个三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线同侧的两点到直线上一点的最短路径长.如图17.1－14所示的长方体的高为4cm，底面是长为5cm，宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点B.求：例14类型2几何图形中的最短距离思路引导：比较各路线长(1)蚂蚁经过的最短路程；

特别解读长方体的长、宽、高分别为a，b，c.若a>b>c，则展开时，将b，c拼成一条直角边，最长边a作为一条直角边，此时斜边AB的长为蚂蚁经过的最短路程.(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．解：5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，∴蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程是30cm.解法解决有关立体图形的最短路径问题的方法：求解步骤第一步，化曲为直：化“立体”为“平面”，将求立体图形上两点间的路程转化为求平面内两点间的距离；第二步，定直角三角形：一般需构造直角三角形；第三步，利用勾股定理求出最短路径长.题型建立勾股定理模型解决动态探究题4如图17.1－16，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1个单位长

度，点Q从点C开始沿C→B→A方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为t

秒.例15思路引导：

(1)出发2秒后，求P，Q两点间的距离；思路引导：(2)当t为何值时，△APB能成为等腰三角形？

思路引导：(3)当点Q在BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.

以固定边BC的情况进行分类：①当BC为底边时；②当BC为腰且B为顶点时；③当BC为腰且C为顶点时.

面积法求直角三角形斜边上的高

解题策略解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解.一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变：第一，根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用含自变量的代数式表示出来，然后根据题目的要求，依据几何、代数知识求解.提示∵点P在线段AC上运动，∴∠BPA＝∠C＋∠CBP.∵∠C＝90°，∠CBP≥0°，∴∠BPA≥90°，∴△ABP若为等腰三角形，∠BPA只能作顶角.图解①CQ＝BQ，如图17.1－19.②BQ＝BC，如图17.1－20.③CQ＝CB，如图17.1－21.特别警示在(3)中，容易出现忽视分类而只得出其中一种情况的错误.易错点由于图形的形状不定导致漏解[中考·通辽]腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为______________.

例16

诊误区：本题有两个易错点，一是没有说明“高为4”是指腰上的高还是底边上的高；二是等腰三角形的顶角可以是锐角也可以是钝角，从而高可以在三角形内，也可以在三角形外.[中考·巴中]“今有方池一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图17.1－23，即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝()A．8

B．10C．12

D．13考法利用勾股定理解古算术中的求线段长问题1例17试题评析：本题考查的是勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题时与方程的结合是解决实际问题常用的方法.答案：C解：设BC＝x，则BD＝BA＝(x＋1).由题意得(x＋1)2＝52＋x2，解得x＝12，即BC＝12.

考法利用勾股定理求线段长2例18试题评析：本题考查用勾股定理求线段长，结合等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.

答案：B[中考·眉山]图17.1－25①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.考法利用勾股定理求面积3例19若图17.1－25①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图17.1－25②，则图17.1－25②中大正方形的面积为(

)A．24B．36C．40D．44试题评析：本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.解：如图17.1－25①，设直角三角形的两直角边长为a，

b，斜边长为c.∵图17.1－

25①中大正方形的面积是24，∴

a2＋b2＝c2＝24.答案：D

考法勾股定理与尺规作图的综合4例20若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(

)A．9 B．8C．7 D．6试题评析：本题借助尺规作图考查勾股定理，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理推断出∠BAC＝90°.

答案：D[中考·十堰]如图17.1－27，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B

点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？考法利用勾股定理解实际中的应用问题5例21试题评析：本题考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键.解：没有触礁的危险.理由如下：如图17.1－27，过点A作AC⊥BD交BD的延长线于点C，则AC的长是点A到BD的距离.由题意易知∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°.

B

C3.我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(

)D

D

A6.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝

AB′，AB⊥B′C

于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC

的长度为x

尺，可列方程为