2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京五十中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为(

)A.3i B.−3i C.3 D.−32.已知集合A={x|x−2≤0}，B={x|x2+2x−3<0}，则集合A∪B=A.(−1,2] B.(−3,1) C.(−∞,2] D.(−∞,3]3.函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)，f(x1)=−3，f(x2)=3，且A.12 B.1 C.2 D.4.已知向量a=(1,1),b=(x,−1)，则“x=−1”是“(aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件5.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=(

)A.π6 B.π3 C.2π36.记Sn为数列{an}的前n项和.若aA.{an}有最大项，{Sn}有最大项 B.{an}有最大项，{Sn}有最小项7.在等腰梯形ABCD中，AB=−2CD，M为BC的中点，则AM=A.12AB+12AD B.38.已知函数f(x)=aex−x在区间(1,2)上单调递增，则实数a的最小值为A.e2 B.e C.e−1 9.点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1BA.[2,5]

B.[3210.已知函数f(x)=x2−x,x≤0x−alnx,x>0，若∀x1≤0，∃xA.(−∞,0)∪[e，+∞) B.[e,+∞)

C.(0,e] D.[0,e]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.二项式(x−2x)12.函数f(x)=1x+13.已知命题p：∃x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命题p为假命题，则实数a14.已知等边△ABC的边长为4，E，F分别是AB，AC的中点，则EF⋅EA=______；若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则EM15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．给出下列四个结论：

①D1O⊥AC；

②存在一点P，D1O//B1P；

③若D1O⊥OP三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

在△ABC中，a=1，b=2．

(1)若c=22，求△ABC的面积：

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．

条件①：∠B=2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C=2∠A．

注：如果选择的条件不符合要求，第17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求证：PD⊥AB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP18.(本小题12分)

人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下：“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况频数“一个”6“一些”4“一穷”2“一条”2其他a假设用频率估计概率．

(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；

(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明)19.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−2,1)和Q(22,0)．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点G(0,2)作直线l交椭圆E于不同的两点A，B，直线PA交y轴于点M，直线20.(本小题12分)

已知函数f(x)=xeax(a>0)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值；

(Ⅲ)当a=1时，求证：f(x)≥lnx+x+121.(本小题12分)

对于数列A：a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai−ai+1|(i=1,2)，且b3=|a3−a1|，记作B=T(A).继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推.当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．

(Ⅰ)直接写出A：2，6，4经过1次“T变换”得到的数列B，及B再经过3次“T变换”得到的数列E；

(Ⅱ)若A经过n次“T变换”后变换结束，求n的最大值；

(Ⅲ)设A：a1，a2参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

11.60

12.(−∞,0)∪(0,1]

13.[0,1)

14.2

11415.①③

16.解：(1)在△ABC中，a=1，b=2，c=22，

由余弦定理，可得cosC=a2+b2−c22ab=1+4−82×2×1=−34，

又C∈(0,π)，可得sinC=1−916=74，

故S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2×74=74；

(2)若选条件①：由题意有B=2A，a=1，b=2，

则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2cosA=2，

即cosA=1，又A∈(0,π)，cosA≠1，故△ABC不存在；

若选条件②：由题意有B=π3+A，a=1，b=2，

则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，

即3217.(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB．

(2)解：取AD的中点O，连结PO，CO，

因为PA=PD，AC=CD，所以PO⊥AD，CO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO，

故以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,1,0)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,1)，

在Rt△AOC中，OA=12AD=1，AC=5，所以OC=AC2−OA2=2，所以C(2,0,0)，

所以PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，PB=(1,1,−1)，

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PD=0,n⋅PC=0,即−y−z=0,2x−z=0,

令z=2，则x=1，y=−2，所以n=(1,−2,2)，

设直线PB与平面PCD所成角为θ，

则sinθ=|cos<PB，n>|=|PB⋅n||PB|⋅|n|=|1−2−2|3×3=33，

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为18.解：(1)由题意可得a=30−6−4−2−2=16；

故甲类题材中“一”出现的概率为301200=140；

(2)由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为P=630=15，

则X～B(2,15)，则X012P1681则E(X)=2×15=25．

(3)由题意知样本语料库B中“一格”出现的概率为2800=1400，

甲类题材中“一个”出现的概率为19.解：(I)由题意可得：a=22，4a2+1b2=1，a2=b2+c2，

联立解得a=22，b=2，c=6，

∴椭圆E的方程为x28+y22=1．

(Ⅱ)直线l的斜率不存在时，A(0,2)，B(0,−2)，即M(0,2)，N(0,−2)，满足|GM|⋅|GN|=2，此时直线l的方程为x=0．

直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+2x28+y22=1，化为：(1+4k2)x2+16kx+8=0，

Δ=16220.解：(Ⅰ)f′(x)=(1+ax)eax，f′(0)=1，f(0)=0，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x；

(Ⅱ)f′(x)=(1+ax)eax，a>0

当0<a≤1时，f′(x)≥0在区间[−1,1]上恒成立，f(x)在区间[−1,1]上单调递增，

所以函数f(x)的最小值为f(−1)=−e−a，最大值为f(1)=ea，

当a>1时，f′(x)=0，得x=−1a∈(−1,0)，

f′(x)在区间[−1,−1a)小于0，函数f(x)单调递减，

f′(x)在区间[−1a,1]大于0，函数f(x)单调递增，

所以函数f(x)的最小值为f(−1a)=−1ae，

f(−1)=−e−a，f(1)=ea，显然f(1)>f(−1)，所以函数f(x)的最大值为f(1)=ea，

综上可知，当0<a≤1时，函数f(x)的最小值为f(−1)=−e−a，最大值为f(1)=ea，

当a>1时，函数f(x)的最小值为f(−1a)=−1ae，最大值为f(1)=ea；

证明：(Ⅲ)当a=1时，f(x)=xex，即证明不等式xex≥lnx+x+1，

设g(x)=xex−lnx−x−1,x>0,g′(x)=(x+1)(ex−1x)，

设ℎ(x)=ex−1x,x>0,ℎ′(x)=ex+21.解：(I)B=T(A)，A：2，6，4经过1次“T变换”得B：4，2，2，

B：4，2，2，经过1次“T变换”得2，0，2；B经过第2次“T变换”得2，2，0；B经过第3次“T变换”得0，2，2.即E：0，2，2．

(II)n的最大值为1，

①先证明n可以为1，

构造A：1，1，1，则T(A)：0，0，0，变换结束，此时n=1．

②再证明n≤1，

反证法：假设n≥2，

设经过n−1次“T变换”后得到的数列为x，y，z，且x，y，z不全为0．

因为A经过n次“T变换”后变换结束，

所以|x−y|=|y−z|=|z−x|=0，所以x=y=z=t( t为非0常数)

设x，y，z(即t，t，t )由x1，y1，z1进行“T变换”得到，

则|x1−y1|=|y1−z1|=|z1−x1|=t≠0

不妨设x1≥y1≥z1