2023-2024学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−2)=0，当x>0时，xf′(x)+2f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

)A.(−∞,−2)∪(0,2) B.(−2,0)∪(2,+∞)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(−2,0)∪(0,2)2.设正数数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为TA.599 B.499 C.1243.若C106=C10xA.4 B.6 C.4或6 D.84.抛物线y2=4x的焦点坐标是(

)A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为(

)A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为34、23，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为(

)A.112 B.16 C.147.如图所示，为了测量A，B处岛的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(    )海里．A.5B.5(1+C.10D.108.执行如图所示的程序框图，输出的结果为(

)A.4

B.9

C.23

D.649.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线C：(a>0,b>0)的一顶点，C的另一顶点为A，C与E在第一象限内的交点为P(4,m)，若PF=5，则直线PA的斜率为(

)A.−43 B.43 C.−10.已知i为虚数单位，复数z=a−2i1−i(a∈R)是纯虚数，则|A.5 B.4 C.3 D.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(

)A.B.

C.D.12.下列四个命题中，为真命题的是(

)A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，c>d，则a−c>b−d

C.若a>|b|，则a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形(如图所示)，则该椭圆的离心率为

．14.若“∀x∈[0,π4]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为

15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，AB=3AE，P，F分别是线段A116.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的右焦点为F，过点F三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+2n=an+1−2，a2=8，其中n∈N∗．

(1)记bn=an18.(本小题12分)

已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N∗)，且a4=9．

(1)求数列{an19.(本小题12分)

求下列函数的导数：

(1)y=3x2+cosx；

20.(本小题12分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M和N分别是CC1和BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P=λA1B1．

(1)21.(本小题12分)

某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生．为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间(单位：小时)，绘制出了如图所示的频率分布直方图．

(1)求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；

(2)估计样本数据的中位数(保留两位小数)；

(3)估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数．22.(本小题10分)

如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF//底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等．(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：P−ABC为正四面体；

(2)若PD=12PA，求二面角D−BC−A的大小；

(3)设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台DEF−ABC

参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.B

6.D

7.C

8.C

9.D

10.C

11.D

12.C

13.214.1

15.316.y=±17.解：(1)证明：对任意的n∈N∗，2Sn+2n=an+1−2，a2=8，

当n=1时，2S1+2=a2−2=6，解得a1=2，

当n≥2时，因为2Sn+2n=an+1−2，可得2Sn−1+2n−2=an−2，

两式相减可得2an+2=an+1−an，即有an+1=3an+2，

经检验，a1=2满足上式，

整理得an+1+1=3(an+1)18.解：(1)依题意，由an+1−an=2(n∈N∗)，

可知数列{an}是公差为2的等差数列，

∵a4=9，

∴a1=9−3×2=3，

∴an=3+2(n−1)=2n+1，n∈N∗．

(2)由(1)19.解：(1)因为y=3x2+cosx，

所以y′=3(x2)′+(cosx)′=6x−sinx，

(2)因为y=(x+1)lnx20.解：(1)证明：以A为坐标原点，以AC，AA1，AB分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,1,0)，M(1,12,0)，N(12,0,12)，B1(0,1,1)，

则P(0,1,λ)，

所以AM=(1,12,0)，PN=(12,−1,12−λ)，

所以AM⋅PN=1×12+12×(−1)+0×(12−λ)=0，则AM⊥PN，

所以无论λ取何值，总有AM⊥PN；

(2)不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的为二面角为30°．

理由如下：假设存在点P满足题意，由(1)可知，PN=(12,−1,12−λ)，NM=(12,21.解：(1)样本中高一年级学生的人数为2003000×1200=80，

由(0.74+a+0.34+0.12+0.10+0.04)×0.5=1，

解得a=0.66；

(2)设中位数为x，7<x<7.5，

则0.10×0.5+0.34×0.5+0.66×(x−7)=0.5，

解得x≈7.42，

故样本数据的中位数约为7.42；

(3)由图可知，样本数据落在[7,9]的频率为(0.74+0.66+0.12+0.04)×0.5=0.78，

故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为3000×0.78=234022.解：(1)证明：因为棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等，

所以DE+EF+FD+DA+EB+FC+AB+BC+CA=AB+BC+CA+PA+PB+PC，

故DE+EF+FD=PD+PE+PF．

又因为截面DEF/​/底面ABC，所以DE=EF=FD，PD=PE=PF，

从而DE=PD=PE，从而∠APB=60°，故P−ABC为正四面体．

(2)取BC的中点M，连接PM、DM、AM，

由BC⊥PM，BC⊥AM，PM∩AM=M得：BC⊥平面PAM，

而DM⊂平面PAM，故BC⊥DM，

从而∠DMA是二面角D−BC−A的平面角．

由(1)知，三棱锥P−ABC的各棱长均为1，所以PM=AM=3