安徽省鼎尖教育联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年安徽省鼎尖教育联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1⩽x＜5} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1⩽x＜2}2．（5分）复数z满足z（1+2i）＝3+i，则＝（）A． B．1﹣i C． D．1+i3．（5分）已知曲线f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+5＝0垂直，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣34．（5分）已知，，则sin2α＝（）A． B． C． D．5．（5分）已知函数在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A． B． C． D．6．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，O为其外心．若△ABC外接圆半径为R，且，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．7．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A．∠PAB＝90° B．当平面PCD⊥平面PAB时，PD＝5 C．M，N分别为AD，PC的中点，则MN∥平面PAB D．四棱锥P﹣ABCD外接球半径的最小值为8．（5分）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（）A． B． C．a2+2b≥8 D．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），∀θ∈R，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）恒成立，则（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）在（0，+∞）上单调递增 C．t可以取 D．当时，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）的取值范围是（多选）11．（6分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一点，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，则（）A．过点M有四条直线与AB，BC所成角均为 B．BB1⊥平面AB1C C．棱A1C1上存在点Q，使平面AB1Q∥平面BMC1 D．若点P在侧面ABB1A1上运动，且CP与平面ABB1A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），则x＝．13．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使成立的最大整数为．14．（5分）某同学在同一坐标系中分别画出曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2cosr，曲线E：y＝﹣2cosr，作出直线，，直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得；直线x＝β交曲线C、E于P、Q两点，且P在Q上方，测得，则cos（α+β）＝．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＝cos2B，且．（1）求A﹣B的值；（2）若，求△ABC的面积．16．（15分）已知函数（1）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式；（2）已知点A（2，﹣1），点M是函数f（x）在区间（0，3）上的图象上的点，求|MA|的最小值．17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且．（1）证明：AD⊥PB；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1有两个零点x1，x2（x1＜x2），函数．（1）解不等式g（x）＞0；（2）求实数a的取值范围；（3）证明：．19．（17分）定义数列{an}为“阶梯数列”：，，，…，．（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；（3）证明：．

2024-2025学年安徽省鼎尖教育联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1⩽x＜5} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1⩽x＜2}【答案】D【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：由题意可知，M＝{x|1⩽x＜5}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，故M∩N＝{x|1⩽x＜2}．故选：D．2．（5分）复数z满足z（1+2i）＝3+i，则＝（）A． B．1﹣i C． D．1+i【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z（1+2i）＝3+i，∴，∴．故选：D．3．（5分）已知曲线f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+5＝0垂直，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】C【分析】求出原函数在x＝0处的导数值，再由题意列式求解a值．【解答】解：由f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1），得，则f′（0）＝a﹣1，而直线x+2y+5＝0的斜率为，由题意可得，即a﹣1＝2，解得a＝3．故选：C．4．（5分）已知，，则sin2α＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【解答】解：因为，所以，所以．又，则sinα＞0，cosα＜0，即cosα﹣sinα＜0．所以，因为，所以sin2α＜0．由，可得，即，符合题意．故选：C．5．（5分）已知函数在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数、对勾函数的性质，列出不等式组求解即可．【解答】解：因为在（0，+∞）上单调递减，所以，即，解得．所以a的取值范围为[，1）．故选：D．6．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，O为其外心．若△ABC外接圆半径为R，且，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据三角形外心性质，结合平面向量数量积运算，得a＝mR，再利用正弦定理，即可求得m．【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB交AB于D，OE⊥AC交AC于E，由点O为△ABC的外心，可得D，E分别是AB，AC的中点，则，，由，可得，即，整理得ccosB+bcosC＝mR，即a＝mR，由正弦定理，可得，故．故选：B．7．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A．∠PAB＝90° B．当平面PCD⊥平面PAB时，PD＝5 C．M，N分别为AD，PC的中点，则MN∥平面PAB D．四棱锥P﹣ABCD外接球半径的最小值为【答案】B【分析】根据题意易得AB⊥平面PAD，再由线面垂直的性质，二面角的概念，线面平行的判定定理，四棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，又AP⊂平面PAD，所以AB⊥AP，所以∠PAB＝90°，所以A选项正确；若平面PCD⊥平面PAB，则两平面所成的二面角为90°，设平面PCD∩平面PAB＝l，因为AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，且平面PCD∩平面PAB＝l，AB∥l，又AB⊥平面PAD，所以l⊥平面PAD，所以∠APD＝90°，在Rt△PAD中，PA＝3，AD＝4，所以，故B错误；取BC中点为Q，则MQ∥AB可得MQ∥平面PAB，NQ∥PB，所以NQ∥平面PAB，所以平面MNQ∥平面PAB，因MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAB，故C正确；设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，O在平面PAD、平面ABCD的射影分别为O1、O2，易知四边形OO1MO2为矩形，OA为外接球半径，所以，所以，仅当O1、M重合时取等，此时∠APD＝90°，，故D正确．故选：B．8．（5分）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由数列的裂项相消求和与数列的单调性，计算可得所求取值范围．【解答】解：在数列{cn}中，c1＝1，，可得＝n﹣，即有cn＝＝，n≥2，即有Tn＝＝1×××...×＝＝＝2（﹣），则Sn＝T1+T2+...+Tn＝2（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣），由于n≥2，{Sn}递增，可得S2≤Sn＜2，即为≤Sn＜2．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（）A． B． C．a2+2b≥8 D．【答案】AD【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：a＞0，b＞0，且a+b＝4，．故A正确；因为＝，当前仅当a＝b＝1时取等号，所以，B错误；因a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+2b＝a2+2（4﹣a）＝（a﹣1）2+7≥7，故C错误；因为，令，根据对勾函数单调性可定，当x＝2时，f（x）取得最小值8．所以故D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），∀θ∈R，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）恒成立，则（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）在（0，+∞）上单调递增 C．t可以取 D．当时，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）的取值范围是【答案】ABC【分析】由偶函数的定义可得A正确；由递增函数的定义可得B正确；由函数为递增函数可得，再令，由辅助角公式得到，解出可得C正确；由辅助角公式得到，再画函数图像可得D错误；【解答】解：函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，故A正确；设0＜x1＜x2，则，∴，故，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故B正确；故f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）⇔|3t+tcosθ﹣2﹣sinθ|⩽|2+sinθ|，令，化为2sinθ﹣ycosθ＝3y﹣4，，故，解得，故，故C正确；∵时，，由图可知，，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一点，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，则（）A．过点M有四条直线与AB，BC所成角均为 B．BB1⊥平面AB1C C．棱A1C1上存在点Q，使平面AB1Q∥平面BMC1 D．若点P在侧面ABB1A1上运动，且CP与平面ABB1A1【答案】ACD【分析】由作直线与AB，BC所成角取值范围是，判断A；由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，再由BC⊥AB，得AB⊥平面BCC1B1，从而AB⊥BB1，推导出BB1⊥AB1与AB⊥BB1矛盾，判断B；在A1C1上取点Q，使，则，连接AQ，得四边形QC1MA为平行四边形，由此能推导出平面AB1Q∥平面C1BM，判断C；点C到面A1AB距离为h，在三棱锥A1﹣ABC中，求出体积，得到点C到面A1AB距离，判断D．【解答】解：∵过点M作直线与AB，BC所成角取值范围是，∴过点M有四条直线与AB，BC所成角均为，故A正确；由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，又BC⊥AB，故AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥BB1，若BB1⊥平面AB1C，∴BB1⊥AB1与AB⊥BB1矛盾，故B错误；在A1C1上取点Q，使，则，连接AQ，∴四边形QC1MA为平行四边形，∴AQ∥C1M，∵C1M⊂平面C1BM，∴AQ∥平面C1BM，∵AB1∥平面C1BM，∴平面AB1Q∥平面C1BM，故C正确；点C到面A1AB距离为h，在三棱锥A1﹣ABC中，其体积，∴，即点C到面A1AB距离为，设C在面ABB1A1投影为H，从而，∴，又，，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），则x＝﹣7．【答案】见试题解答内容【分析】由向量垂直的坐标表示建立方程求解即可．【解答】解：因为＝（x﹣1，1），＝（2，3），所以，因为⊥（+），所i，解得x＝﹣7．故答案为：﹣7．13．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使成立的最大整数为63．【答案】63．【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，求出Sn，再结合取整函数的定义，即可求解．【解答】解：等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，则a1＝3，故＝n2+2n，∴，，∴，即，∴n（n+1）⩽4050，n＝63时，63×64＝4032＜4050；n＝64时，64×65＝4160＞4050．故n的最大值为63．故答案为：63．14．（5分）某同学在同一坐标系中分别画出曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2cosr，曲线E：y＝﹣2cosr，作出直线，，直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得；直线x＝β交曲线C、E于P、Q两点，且P在Q上方，测得，则cos（α+β）＝．【答案】．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：由于曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2cosr，曲线E：y＝﹣2cosr，作出直线，，直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得；所以：．则由，得令，则，同理，β∈（0，2）则，cos（α+β）＝cos[（α﹣φ）+（β+φ）]＝cos（α﹣φ）cos（β+φ）﹣sin（α﹣φ）sin（β+φ）＝．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＝cos2B，且．（1）求A﹣B的值；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）由诱导公式结合已知计算即可；（2）由两角和的正弦展开式和三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）sin2A＝cos2B＝sin（），故或，当时，不合题意，故2A﹣2B+，即A﹣B＝；（2）∵，由正弦定理得sinA＝sinB，即，∴sinB+＝sinB，即sinB＝cosB，则tanB＝1，由B为三角形内角得，故，，故．16．（15分）已知函数（1）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式；（2）已知点A（2，﹣1），点M是函数f（x）在区间（0，3）上的图象上的点，求|MA|的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据自变量x﹣3的范围代入函数解析式即可；（2）设出M坐标，根据两点之间的距离公式列式即可．【解答】解：函数，（1）由题可知在（0，3）上，f（x）＝f（x﹣3），而﹣3＜x﹣3＜0，所以，即在（0，3）上，；（2）设M（x0，y0），＝，当且仅当时，取得等号，解得，故|MA|的最小值为．17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且．（1）证明：AD⊥PB；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析．（2）．【分析】（1）先证AD⊥平面PBC，根据线面垂直的定义证明线线垂直．（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的大小．【解答】解：（1）证明：由于PA⊥底面ABC，并且BC⊂底面ABC，因此PA⊥BC，由于PA∩AC＝A，且PA，AC⊂平面PAC，并且AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，又由于AD⊂平面PAC，因此BC⊥AD，由于PA＝AC，且D为PC的中点，因此AD⊥PC，又由于PC∩BC＝C，且BC，PC⊂平面PBC，因此AD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，因此AD⊥PB．（2）根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则PA＝AC＝BC＝3，可得，C（0，3，0），B（3，3，0），A（0，0，0），P（0，0，3），所以，，由于G在线段PB上，令，且0＜λ＜1，那么，由于，所以，因此，因此H（2，2，1），G（1，1，2），所以，，，设平面ADH的法向量为，那么令y＝1，可得，z＝﹣1，所以，设平面ADG的法向量为，那么令y＝1，可得z＝﹣1，x＝1，因此，设平面ADG与平面ADH的夹角为θ，可得，故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为．18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1有两个零点x1，x2（x1＜x2），函数．（1）解不等式g（x）＞0；（2）求实数a的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）（1，+∞）；（2）{a|0＜a＜1}；（3）证明见解析．【分析】（1）由导函数恒大于等于0可知g（x）为（0，+∞）上的增函数，得出不等式解集；（2）求导函数，分类讨论参数a，当a≤0时，函数单调不合题意；当a＞0时，函数不单调，需要利用零点存在