2024高考数学二轮复习重难点专题《极值点偏移的十大类型》题型突破及解析

重难点专题08极值点偏移的十大类型

题型1加法型构造一元差函数...........................................1

题型2乘法型构造一元差函数..........................................2

题型3构造辅助函数+构造一元差函数...................................3

题型4比值代换法.....................................................4

题型5对数均值不等式法...............................................5

题型6加法型汇总.....................................................6

题型7减法类型.......................................................7

题型8乘积型汇总.....................................................8

题型9平方类型.......................................................9

题型10商类型.......................................................10

题型1加法型构造一元差函数

极值点偏移问题中（极值点为股），证明xJxQZr，或右♦公＜2右的方法：

①构造网力二武力-路「立

②确定网力的单调性，

③结合特殊值得到W3）一衣4-刀）乂或真幻-Wa-刀）＜0,再利用

火力）二元公），得到真力）与力）的大小关系，

④利用户工）的单调性即可得到无或

【例题1】（2023•直庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知函数

Ax）^-sinQx）-》二1为其极小值点.

（1）求实数石的值；

⑵若存在r，Hx：,使得代孙）二爪孙），求证：不。尸2

【变式1-1]1.（2022•全国-高三专题练习）已知函数

f（x）--定+力巳工+巳"；

（1）求的极值.

⑵若汉马）二式打）二式孙），孙（力（石，证明：孙+孙（2

【变式1-112.（2023•贵州毕节-校考模拟预测）己知函数

/（x）二（然.-liu-ax-a）,a〉Q.

（1）当时，Hx）求己的取值范围.

⑵若函数Hx）有两个极值点证明：丸+力＞2"

【变式1-1]3.（2022•江苏南通・高三期中）己知五»二-—#（3G月，其

极小值为-4.

（1）求4勺值；

（2）若关于邛勺方程/O）=f在（03上有两个不相等的实数根孙，孙，求证：

3〈M+孙〈4.

【变式1-114.（2023•黑龙江牡丹江•牡丹江一中校考三模）已知函数

a为实数.

（1）求函数火力的单调区间；

（2）若函数H力在X=e处取得极值，for）是函数Wx）的导函数，且fa,）二九

禹《也，证明：2《小+孙（c

题型2乘法型构造一元差函数

处理极值点偏移问题中的类似于黑灯（3（胃1。二式右））的问题的基本步骤如下：

①求导确定«x）的单调性，得到X。尤的范围；

②构造函数八力二大力-f（3,求导后可得用»恒正或恒负；

③得到HzJ与49的大小关系后，将Hz・）置换为犬处）；

④根据r与=所处的范围，结合Hx）的单调性，可得到公与=的大小关系，由此证

得结论.

【例题2】（2022•北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数Hx）=lnx-彳

（1）求函数式x）单调区间；

⑵设函数烈x）二式丫）+凡若刈孙G（Oe]是函数仪x）的两个零点，

①求4勺取值范围；

②求证：治力＜1.

【变式2T】L（2023秋•辽宁丹东•高三统考期末）已知函数

f（x）二铲-jinx/，-aj.

⑴证明：若aWeX,则

（2）证明：若L有两个零点无，无，则九七（7.

【变式2-112.（2023•全国•高三专题练习）已知函数打外二

⑴若xM1时，求④的取值范围；

（2）当己二7时，方程6有两个不相等的实数根证明:X<1.

【变式2-1】3.（2023・全国•高三专题练习）已知函数

（1）求犬力在匕/8）上的最小值.

⑵设烈X）=Hx）“。；打-Ini-4若式X）有两个零点"工，证明：XI?<1.

【变式2-114.（2023•全国•高三专题练习）已知函数*力=Ini.

（1）证明：WX.

（2）若函数用了）二为真力，若存在与使武幻二状七）,证明：孙‘灯S

题型3构造辅助函数+构造一元差函数

极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数存在两个零点再，七且品力尤，求证：*子孙，24（说为函数ff力的

极值点）；

2.若函数分）中存在即史且*声忆满足置"二fGJ求证：的〃/Zr,（Jh为

函数/Y#的极值点）；

3.若函数存在两个零点立身且距=E，令x产早,求证：，（卷乂；

4.若函数中存在孔a且*工工满足ffGJ令孙二号，求证：

/（xj）>0.

【例题3]（2023秋-黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考开学考试）己知函数

真力二引烈x）=^=2.71828--•为自然对数的底数）

（1）当e=7时，求函数V二f（x）的极大值；

(2)已知"X,W(Q吟,且满足Hx；)，g(xR,求证：x，+ae”2a.

【变式3-1]1.(2023•广东茂名-茂名市第一中学校考三模)已知函数

/(x)=ax+(a-J)lnj+-・，JaE'}•

(1)讨论函数贝月的单调性；

(2)若关于邓勺方程"1Tn"泊两个不相等的实数根，、无，

(i)求实数a的取值范围；

(ii)求证：句*：*..

【变式3-112.(2023•山东日照•统考二模)已知函数真力二x-alru.

(1)若Hx)》斗亘成立，求实数如勺值：

⑵若X))。,u"；♦了：,证明：fx尸2

【变式3-1]3.(2022秋-浙江杭州-高三浙江大学附属中学校考期中)已知

函数f份)=(%-x)lm,其中廿二Z〃828...为自然对数的底数.

(1)讨论函数广浦的单调性；

(2)若打，打£(04，JSxjnx.-x.lnxj-^x：xXlnx2-InxJ,证明：

2Z、+L《2e+1

X.19

【变式3-1】4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数兵力二X(7-lnx).

(I)讨论0X)的单调性；

⑵设为6为两个不相等的正数，且bln”mink”乙证明：2《注

题型4比值代换法

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,

然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用比值

JTj

(一般用7表示)表示两个极值点，即'=；,化为单变量的函数不等式，继而将

所求解问题转化为关于？的函数问题求解.

【例题4】(2023•北京通州-统考三模)已知函数月力=^-\-lnx(a>0)

(1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为求实数a的值;

⑵已知f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

(3)已知展")二五')七有两个零点公，"求实数a的取值范围并证明丘力)—

【变式4-111.(2022•全国•高三专题练习)设函数

/(j)-ex(j-2]:kx3

(1)若左二，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点M’x力与，且孙(孙(力，求4的取值范围，并证明：

必F>2x：.

【变式4-112.(2022•全国•高三专题练习)己知函数

f(x)-x2-a-2e~r^lnx(aER\且f①是函数fG)的导函数，

⑴求函数的极值；

(2)当时，若方程「公二。有两个不等实根叫H力G-

、工口In孙Tn年〈与二

(1)证明：v与：；

(ii)证明：fG；小。.

【变式4-113.(2023•四川绵阳・统考模拟预测)已知函数

在其定义域内有两个不同的极值点.

⑴求石的取值范围；

(2)记两个极值点为r，,E,且，<七.若』21，证明：一「4.

【变式4-114.(2022•全国-高三专题练习)已知函数十»=Inx.

(1)设函数式»=3-卜式[且烈丫)与/0)恒成立，求实数珀勺取值范围；

(2)求证：

⑶设函数y二‘("一"一式&三用的两个零点"犯，求证：X：x?>2/.

题型5对数均值不等式法

L(afb)=iM-ia*

两个正数琳曲的对数平均定义：S(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：GWLQb)W号(此式记为对

数平均不等式)

取等条件：当且仅当3二加寸，等号成立.

【例题51(2022•全国-高三专题练习)已知函数武力(3片用

(F(其为正＞)的导函数).

(1)讨论f(x)单调性；

(2)设必1犯是的两个极值点，证明：°＜之,1

【变式5-111.(2022•黑龙江•牡丹江市第二高级中学高三阶段练习)已知

函数//二八.一;加

⑴若在由+8)上单调递减，求实数。的取值范围.

⑵若"七是方程打第二。的两个不相等的实数根，证明：不+力”.

【变式5-1】2.(2022・全国-高三专题练习)已知函数尸(x)=lnx・ax,a为

常数.

(1)若函数f(x)在x=l处的切线与x轴平行，求a的值；

(2)当a=l时,试比较，(加与的大小；

(3)若函数f(x)有两个零点小、X2,试证明必先＞＜/.

【变式5-113.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f/ualn＞+x+s存

在两个零点看，死.

(1)求之的取值范围；

(2)证明：孙物力.

【变式5-1]4.(2023•广东广州・广州市从化区从化中学校考模拟预测)己

知函数犬x)-Inx-5r

(1)讨论函数W了)的单调性：

(2)若口元是方程Hx)二。的两不等实根，求证：

题型6加法型汇总

【例题6】(2023春•江西宜春•高三校考开学考试)已知函数

/(x)-jalnx-(a-5)j,aW).

(1)当时，求曲线爪力二/(力-JlnN-siru在“二不处的切线方程；

(2)设心E是用外二力>)-(砺-Zlnx-%的两个不同零点，证明：aU+x/X.

【变式6-1]1.(2022秋・安徽阜阳-高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练

习)已知函数*"二4"1皿火力£另

(1)求函数Hx)的单调区间和最大值；

⑵设函数用力二找两个零点"刈，证明：黑打；)2.

【变式67】2.(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知函数

/(x)-jTlni-a(ae另.

(1)求函数Hx)的单调区间；

(2)若函数H*)有两个零点工、七，证明,,町+孙<3.

【变式67】3.(2023春-全国-高三专题练习)已知函数

J(X)-ar£尬

(1)讨论Hx)的单调性；

(2)若X了)有两个零点孙，北，证明：与‘灯)：

【变式6-1】4.(2023•全国-高三专题练习)设函数兴初二1n(x-】)-

⑴若Hx)对Hr£[2+8)恒成立，求实数A的取值范围；

⑵己知方程"三二3有两个不同的根，、x：,求证：九+x，>6e+2,其中

•为自然对数的底数.

题型7减法类型

【例题7】(2023•全国・模拟预测)已知函数

(1)求函数Hx)的单调区间与极值.

(2)若衣巴)二力刀)-J；<x:<JJ,求证：号7.

【变式7-111.(2021•常熟市月考)设函数f㈤=lm,g(x)二a(x-l),其中

ae/

(1)若证明：当刀)1时，fM<g(x).

(2)设尸⑴=式，且其中^是自然对数的底数.

①证明尸田恰有两个零点；

②设在如为尸行)的极值点，片为尸色)的零点，且片证明：3句一盯

【变式7-112.(2021•黄州区校级模拟)已知函数十»="ln＞-(3+i)ln儿武x)

的导数为f(力.

(1)当3X时，讨论f(力的单调性；

(2)设方程式»二:-x有两个不同的零点公孙(孙(孙),求证不‘廿’孙

【变式7-113.(2023-全国-高三专题练习)已知函数=e'-2r-("1)，

式力二刃(其中u=2〃8Z是自然对数的底数)

(1)试讨论函数找力的零点个数；

(2)当时，设函数加力二汽力一式力的两个极值点为兄、力且，＜必，求证：

e盯・。七＜4"£

【变式77】4.(2021•日照模拟)设函数/包二^一：册7

(1)若函数在十上单调递增，求z的值；

⑵当方＞】时,

①证明：函数有两个极值点孙，孙国〈孙),且力一工.随着电勺增大而增大；

②证明：…]+今.

【变式7-115.(2021春•丽水期中)已知函数4x)=2xlm,烈x)=x2+ax-l.

ae/

(1)若对任意x三匕+R),不等式Wx)WEx)恒成立，求电勺取值范围;

(2)若函数次丫)=小＞)|一%有3个不同的零点M,孙,孙(孙(孙(七).

(i)求证：小";

(ii)求证：孙一孙“"Za-q-Z.

题型8乘积型汇总

【例题8](2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)已知

f\x)-2x-sin/-«lru.

(1)当时，讨论函数勺极值点个数；

⑵若存在尤，x/d，使=fGJ求证：N：＜注

【变式8-1]1.(2023秋•湖北黄冈-高三流水县第一中学校考阶段练习)己

知函数犬力-XlnJ-a),烈%)二十在3.心.

(1)当尸21时，胃力2-lnx-4亘成立，求a的取值范围.

(2)若烈了)的两个相异零点为七，七，求证：工，%)/.

【变式8-1】2.(2023•新疆•校联考二模)已知函数必’2公，

d£/,其中。为自然对数的底数.

(1)若HJ)有两个极值点，求珀勺取值范围；

⑵记H力有两个极值点为r、元,试证明：X,必＜2(X-

【变式8T】3.(2022秋•辽宁•高三辽宁实验中学校考阶段练习)已知函数

/(力二2x-sinx♦加1山，式力=/(*)*sinj.

(1)求函数仪力的单调区间和极值；

⑵若存在X”必，8),且当，声尤时，&；)二仆")，证明：号门.

(变式8-1]4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数

/(x)-x-sinx-tanx*alnx^i,Jey).

⑴求证：2x＜sinx*tani,e(^7)；

⑵若存在"孙!，且当x,Hx：时，使得尤均二/1七)成立，求证：号

题型9平方类型

【例题9](2023秋・辽宁大连・高三大连市第二十高级中学校考开学考试)已

知函数H")二一二.

(1)讨论Hx)的单调性；

⑵若“与卢二("2)'—e是自然对数的底数)，且九)。，xQO,孙声石，证明:

中

【变式9-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数«,)二=一制

(1)若贝x)W-1,求实数石的取值范围；

(2)若犬力有2个不同的零点孙，孙(工(乙)，求证:因文埒.

【变式9-112.(2023•全国•高三专题练习)已知函数式＞)二寸

(1)讨论f(x)的单调件：

(2)若9孙)灯=(“2产，且工1°，七》0,盯Hx：,证明：JWF'".

【变式9-113.(2021•浙江模拟)函数工

(1)若占二1,求函数在x=i处的切线；

(2)若函数，=/(X)有两个零点无，孙，且看(乐，

(i)求实数&的取值范围；

(ii)证明：弓一号＜一丁一.

[变式9-1]4.(2022・全国-高三专题练习)已知函数

f(x)-x-sinjcosx-alm,a1.

(1)当3二。时，求曲线V二fGJ在点(不，,9))处的切线方程；

(2)^f(iB)=f(n),0＜w＜n,求证：

题型10商类型

【例题10】(2021•新疆模拟)已知函数3六1"-"狂人

I

⑴当a个时,求的单调区间;

⑵已知毛，孙但“孙)为函数/⑨的两个极值点，求y二q鹭Tn£

的最大值.

【变式10-1]1.(2021春•湖北期末)已知函数武力-aexnnx-2(a£/).

(1)当aWe时，讨论函数Wx)的单调性；

(2)若函数日＞)恰有两个极值点X：,七(七(无)，且必打—,求工的

最大值.

【变式107】2.（2021•宁德三模）已知函数/'/二3lnx-i（a

（1）当3We时，讨论函数的单调性：

（2）若函数fG）恰有两个极值点刈孙（七〈X》,且x：+*W力nJ,求蓝的最大值.

【变式10-113.（2021•新乡三模）已知函数十＞）=la?.

（1）求函数式丫）=/里丫）的单调区间；

⑵证明：七「M1乙2），式孙孙）与3+七）（］-㈢,

【变式10T】4.（2021春•海曙区校级期中）已知函数二:一x'alnx.

（1）讨论的单调性；

八,、"方、《，）

（2）已知夕（二，若f⑨存在两个极值点右死，且匕＜也，求=F■的取值范

围.

1.（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知函数-----；—

（1）若函数界*）在定义域上单调递增，求石的最大值；

⑵若函数H尸）在定义域上有两个极值点Z和孙，若外）々，［二e（e-2,求

“年•的最小值.

2.（2023-全国-模以预测）已知函数巴A二9+lnx-n日£用.

（1）讨论函数角＞）的极值点的个数；

⑵若函数«x）恰有三个极值点不、土、孙（七＜x3KXJ-XIWJ,求x"孙・r：

的最大值.

3.（2022•全国•高二专题练习）已知函数*/二:的导函数为

f（l）.

（1）判断fG的单调性;

⑵若关于x的方程，⑴二加有两个实数根右xlx.Cj求证：x.W＜Z

4.（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）己知函数

*x）-x-alnxiaek）.

⑴若用力有两个零点，珀勺取值范围；

⑵若方程比“-Win/x)二C有两个实根，、七，且九二无，证明：I”,77.

5.(2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数

f(x)-aln(x+2)-x(aeR).

(1)讨论门外的单调性和最值；

⑵若关于珅勺方程1二二-口「三命’刃有两个不等的实数根""求证：

6.(2023•四川成都•校考模拟预测)已知函数«力=

(1)若函数Nx)为增函数，求实数d的取值范围；

⑵若函数H力有两个极值点"求证：H©)・/(必)—必》；,

7.(2020•全国•模拟预测)已知函数Hx)-

(1)讨论函数W力的单调性.

(2)已知Wx)有两个不同的零点1八七.

(i)求实数后的取值范围；

(ii)求证:《纤。(F(0为的导函数).

8.(2021•全国-统考高考真题)己知函数贝工)-x(-Z-lnj).

(1)讨论«*)的单调性；

(2)设Q,占为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b,证明：2＜二+：＜£

参考答案与试题解析

重难点专题08极值点偏移的卜大类型

题型1加法型构造一元差函数..........................................13

题型2乘法型构造一元差函数.........................................21

题型3构造辅助函数+构造一元差函数..................................28

题型4比值代换法....................................................37

题型5对数均值不等式法.............................................47

题型6加法型汇总....................................................55

题型7减法类型......................................................64

题型8乘积型汇总....................................................75

题型9平方类型......................................................84

题型10商类型.......................................................93

题型1加法型构造一元差函数

极值点偏移问题中（极值点为股），证明孙，公罪兀或小♦孙＜2%的方法：

①构造汽力二穴力-贝勿-JT）,

②确定巴6的单调性，

③结合特殊值得到0均-扎为「力）M或犬均-扎为「孙）《0,再利用

HxJ二汽七），得到汽七）与H2与-孙）的大小关系，

④利用找力的单调性即可得到x"七＞2%或九+七《2九.

【例题1】（2023•宜庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知函数

七）=x-sin《x）为其极小值点.

⑴求实数d的值；

⑵若存在刈使得Hx）二式与），求证：&♦孙，2

【答案】⑴"7

（2）证明见解析

【分析】（1）根据二。求出d二］，再根据极小值点的定义加以验证即可；

（2）分类讨论］和打，转化为证明当°（息"，°（孙＜2时，x/xzX,继续

转化为证明当1（盯*时，构造函数产出＞二?6）-f々-力

«＜2）,利用导数判断单调性可证不等式成立.

【详解】（1）f31的定义域为⑥+81

，在"L；c°s（5）二依题意得f⑴二/-卢。得2=1,

此时，⑴二1-TC0S

当oca时，。＜力弓,。＜泊仔X）弓p;,故fwf⑨在他力

内单调递减，

当时，：<力（兀，7C0S（TJ）<0,；门，故，fGJ在亿刁内

单调递增，

故力力在万二1处取得极小值，符合题意.

综上所述：a=1.

（2）由（1）知,f㈤二x-sin（子）-1叫

不妨设力（七，

当】Wx；<”］寸，不等式几+七）2显然成立；

当。（x：C,外星二时，不等式几，h）2显然成立；

当。《x：《】，。《孙<2时，由（1）知fGJ在内单调递减，因为存在孔了工,

使得升力）二穴孙），所以7（孙*,

要证1，・打”2只要证，>2・尤，

因为】<孙<2,所以。<2-与<，又在低”内单调递减，

所以只要证优-xj,又巴必）二式七），所以只要证外必^/勿-必人

设/G）=勿-#（1<1<2）,

则/Q）=f（x）+f（2-x）=1-7C0S（手）-/7-7C0S（7彷切-i

:2.《:.白）・,y丘os（1X）+cos①--jx??=2.?一"^cos（：了）"

191，

令g（x）=2-0+七'Q（X<2）,则二？

因为7<x<Z所以g'3i<。gGJ在221上为减函数，所以g3><g①>=4

即/G"。

所以外力在（7,Z上为减函数，

所以产自=4即e一r1

综上所述：孙+孙，2

【点睛】方法点睛：本于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：

①比值代换：设2二’，将不等式化为关于r的不等式，再构造函数，利用导数证

明即可；

②构造函数产公)二%-力，其中占为极值点，利用导数判断单调性，根

据单调性证明即可.

【变式1-111.(2022•全国-高三专题练习)已知函数

f(x)--定)1加工+=)；

(1)求勺极值.

(2)若五＞；)二式打)二大北)，孙(孙＜孙，证明：力+的＜2

【答案】⑴极大值为-e,f■的极小值为六房

⑵证明见解析

【分析】(1)利用导数求出函数的单调性即得解；

⑵由(1)可知。(孙“＜孙，\^,g(x)-f(x)-f(2-x)f0＜x＜lt证明

f㈤＜f攵-，在自1)上恒成立，即得解.

【详解】(1)(1)由题意可得/£”*一定+力铲北=(1-!)("-e).

当*〈。或时，/(x)＞0.当。时，/(x)＜0,

所以揖灯在(-叱。与0+上单调递增，在自1)上单调递减.

故的极大值为=-e,/自用勺极小值为力^二:一三；

(2)证明：由(1)可知?＜孙＜】＜孙

^g(x)=f(x)-f(2-x)t0＜x＜1,

则g'G)=f(x)+f(2-x)-(ex-7)(ex-e)I1-(e2-jr-2)(6^-e)

设方&)=则》(x)-3e3x-2e2xex*J-ex(Se2x-2ex-As).

因为二4-1%(。，所以方GA。在自1)上恒成立，即人.在自受上单调递增,

因为人⑨＜人。)=。，所以一出)＞。在自11上恒成立，即g①在自11上单调递

增，

因为ge(g(7)=。，所以f⑨勿-外在自11上恒成立.

因为孙W自:U,所以H＞2)(*2-肛)，

因为日＞2）=/（小），所以火灯）＜/（2-盯）.

由⑴可知fG）在。，3）上单调递增，且无，2-必£⑴+旬，

则打＜2-%，即孙+的（2

【变式1T】2.（2023•贵州毕节•校考模拟预测）已知函数

Hx）二（2x+a）lnx-5（x-a）,a＞G,

（1）当时，去（，求占的取值范围.

（2）若函数H力有两个极值点占,无，证明：力*公Z?eT

【答案】（1）14*°0]

⑵证明见解析

、3r-2ii.ni/]也口

【分析】（1）参变分离可得42丁7二在X2,恒成立，令旦包二下二,

X七【1,利用导数求出函数的最大值，即可得解；

（2）求出函数的导函数，依题意可得函数旷二J与函数方作）二＞-Zrlru,

刀£（。*8）的图象有两个交点，利用导数说明A（x）的单调性，不妨设

°,盯弓J,要证甬即证打，会包令"

利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】（1）当不臣,时，行，三d在耳》，恒成立，

令g0二^xw口,+8）,

则ga二笔号々，

•:函数g⑨在E，8）上单调递减，

」g（x）WW/）二，

•:a星，，

•:题勺取值范围是此*8）.

（2）函数fGJ=⑵6ra＞6,

贝ij，（x）=0nx，^^.3=0n»；/=«-*产]

丁函数人用有两个极值点刈，X-,

「f'(x)二0有两个正实数解，方程d=x-2rlru有两个正实数解口函数夕二d与

函数力»=x-Zrlru,xE(〃，8)的图象有两个交点.

h(x)=1-2-2Lnx--21ni-2f令力(x)=0,解得“《，

当°<x<5时方7外乂，则A(X)单调递增，当时方'(的”，则〃力单调递减,

•:函数力仞的极大值即最大值为M力)=5.

又时"X)=且当X-!时，力GJ-I又从\@二0,

/.0<a<^

不妨设°J弓J,

耍证明孙F，兔—。叫+一*o"磔(力修乜)o*x)"仔r),

“仅，2

令%)-A(x)-g-J=x-^lnx-(^-x)+2修-x)In偿r)

xW(。虬啕乂

所以/(x)-l-21nx-2^1-2

>力巾^r)]-2A2X1*手)-2=6

当且仅当X-忑-X,即X-工时取等号，

一:函数"力在'e(0—单调递增，

丁尸㈤二°,丁尸&"。即候叫，

因此兀+工,>2。-；成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含

参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应

用；二是函数的签点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

【变式1T】3.(2022•江苏南通•高三期中)已知五x)二一—#(己三用，其

极小值为-4.

⑴求邨J值；

（2）若关于却勺方程二f在（。①上有两个不相等的实数根4,孙，求证：

3《必+必〈4.

【答案】（1）3

⑵证明见解析

【分析】（1）求导，分a二。、彳和办0三种情况求式X）的极小值，列方程求解

即可；

（2）构造函数式力二*，）-*4-苗（0＜丫＜（，根据式力的单调性和式0=。得

到/（灯）-W4-七）再结合H孙）二/'（孙）和武力的单调性即可得到％+孙＜4；

设/＞）=2/-6九通过比较正»和版x）的大小关系得到孙（与，叉＜也，再结合

物+力二5即可得到刈+力）5.

【详解】（1）因为■«＞）二所以¥（幻二3/-2常

当3二。时，f⑺=3/26,

所以*x）单调递增，没有极值，舍去.

当八。时，在区间68,苓上，/（x）＞6,式X）单调递增，

在区间管，°）上，fa）a,五力单调递减,

在区间（。+8）上，/（x）＞0,正»单调递增，

所以当X=c时，式X）的极小值为=4舍去

当31。时，在区间（-8,2上，f（x））。，式X）单调递增，

在区间（0勺）上，f（x）（。，H＞）单调递减，

在区间管―8）上,，5＞0,/＜＞）单调递增，

所以当X—时，正»的极小值为《子4.

所以3二工

（2）由（1）知，在区间（-8,。上，/（X）单调递增，

在区间（。才上，尤＞）单调递减，

在区间（Z+8）上，f⑶乂，式X）单调递增，

所以不妨设°〈盯〈2〈必〈3.

下面先证不+力“

即证孙（4-也，因为0〈孙＜2＜孙＜，所以］＜4-七*,

又因为区间（。②上，贝丫）单调递减，

只要证式＞;）2%4-小），又因为H孙）二汽灯），

只要证五与）〉共4-孙），只要证式犯）-/（4-方）2。.

设用刀）二式x）-五4一天）（。＜2\

则g'（x）=f（x）+f（4-x）=3x（x-2）+3（4-x）（（4-x）-2二6（又一为224

所以虱x）单调递增，

所以爪*）,£（。=。，所以式＞2）-式4-打）＞0.

下面证3＜与+无.

设A（x）-2X2-63,因为Wx）-岚丫）=3-5Y+6＞=x（x-为（x-＜5）,

在区间（。为上，方5）；在区间（2①上，尤＞）＜方（或

设孙心（。7）,武心二h（xj二t,因为x必）乂（石）,

所以/4）〉方（孙），所以不《七.

设孔£（23,/（㈢二方（见）二，，因为川万）＜方（孙），

所以名力）1方（心），所以/＜孙

因为丛孙）=》（分）=，，所以力正取=5,

所以3二小+〃〈孙+七.

【变式1-114.（2023•黑龙江牡丹江•牡丹江一中校考三模）已知函数

孔力:二（1g-判，a为实数.

（1）求函数Hx）的单调区间；

（2）若函数真了）在％二e处取得极值，，（力是函数Hx）的导函数，且必）,

x,《夫，证明：2＜x：ix2＜t

【答案】⑴f田递减区间为(叱丁)，递增区间为卜丁)8).

⑵证明见解析

【分析】(1)求导，由导函数的正负即可确定的单调区问，

(2)构造函数，(力二g(2-x)-烈x),x£(。刀，求导得，出J的单调性，即可证

明力+必)2,构造函数式力-(-2x)=2xlnx,A(力二g(x)-(2x-比),求导，利

用单调性即可求证与+与♦红红

【详解】(1)函数,㈤=/。1三人的定义域为佃，+8人

Sri

f(JT)Nxlnx■押♦尸JT⑨nx-3"”令f⑶=C,所以Inx二—,得尸e-,

当x£(。°f)，，㈤<0,当x手，，8),f,0,

故函数外力递减区间为丁)，递增区间为(E-8).

(2)因为函数"”在％二C处取得极值,

SLJ

所以x二e丁二c,得2二I,

所以f3>=/(Inx・?，得f(外「传inx-2"2iIru-〃

令g3.，=Zrlnx-力，

因为g'&J=Rru,当x=1时，g(x)=0,

所以函数在不£(。力单调递减，在不£(Z，8)单调递增，

且当Xe(fte)时，烈x)=ZRlmr-Z)<0,当不£(孰+8)

时，烈x)-x(lnx-7)>fi,

故

0<町<7<盯<e.

先证打♦孙需证孙〉2一九

因为打“力2-x*>1,下面证明烈力)二式孙))6(2-刈).

设"，)二g(2-X)-g(x),x&(。7),

贝!jt(x)>3(2-0t(x)a21n(2-力-幺n*二-21nl(2-x)x]>0

故，（力在。力上为增函数，故，（力<，⑺=g⑺-式。二。,

所以，⑸二g（2-4）-<0,则虱2-均）<g（x：\

所以2-小（七,即得jr+hM,

下面证明：xjx?《e

令烈Z）二烈孙）二M当不£（。力时烈x）-（-2x）-2xlnx<Of所以烈x）・Z成

立，

所以-2x,>g（x,）=i,所以与♦!

当x£（Ze）时,记A（力二g（x）-（2r-发）-/rlnx-<r*fe,

所以Xe（4e）时h\x）-21ni-2<0,所以从x）为减函数得

A（J）>A（e）=2e-4e+2e=0,

所以加二6（孙）>2x厂加,即得孙

所以孙+“♦/"e=e得证,

综上，2（八+必〈工

【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果

求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数,

利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用

两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构

造有效的函数往往是解题的关键.

题型2乘法型构造一元差函数

处理极值点偏移问题中的类似于1公<。（犬工।二H七））的问题的基本步骤如下:

①求导确定«工）的单调性，得到叫,也的范围；

②构造函数网"="力-《3,求导后可得用x）恒正或恒负；

③得到真句）与43的大小关系后，将真工）置换为找公）；

④根据元与最所处的范围，结合个）的单调性，可得到打与标的大小关系，由此证

得结论.

【例题2】（2022•北京市房山区良乡中学高三期中）己知函数Hx）=lnx-3

（1）求函数式X）单调区间；

（2）设函数式丫）二久力+a,若刈必G（Oe］是函数式丫）的两个零点，

①求如勺取值范围；

②求证：&孙〈1.

【答案】（D单调递增区间为（。分；单调递减区间为（，+8）

（2）①（Be-力；②证明见解析

【分析】（1）求导后，根据f（幻正负即可得到正»的单调区间；

（2）①将问题转化为Wx）与y=-N在（0,e］上有两个不同的交点，采用数形结合的

方式可求得结果；

②由①可得。（孙＜1《必忘巳设网刀）二式》）一8（3（］（＞We）,利用导数可求

得汉x）＜0,进而得到式打）。（3,即烈七）0⑥，根据小卷的范围和式丫）单

调性可得结论.

【详解】（1）丁武X）定义域为（0,+8）,f（x）

•:当xG（。力时，/（X）＞0.当x6（，+8）时，f（幻（4

・：武*）的单调递增区间为（。冷；单调递减区间为（，+8）.

（2）①若*（。臼是爪X）的两个不同零点，贝犷=f（x）与y=一在⑼村上有

两个不同交点；

由（T知:在力3二一1,xXe）=1-e,

■:耳丫）在（0川的图象如下图所示，

由图象可知：-：l＜a即盾的取值范围为（Ze

②不妨设孙（无，由①知：0〈X：〈1〈孙We,

7g(x)=f(Y)+4,:g(x)=一,

•:泰力在（。力上单调递增，在a+8）上单调递减；

设网。=g（x）-g（3QWe）,则

产'（X）二.一百•（T=.号=等＜。

T，

•:尸（X）在（，e|上单调递减，・：尸（X）"⑺二Q,:g（x）＜g（3,

又盯eael,Zg（"）＜g（H,又爪与）二式打），.：式与）＜g«）；

"£（&1）,Ze（?J）,式x）在（。力上单调递增，

•'々’乙则”

【变式21】1.（2023秋♦辽宁丹东♦高二统考期末）已知函数

/ix.'1-er-xlnx^/-a）.

⑴证明：若则/YxJ“

⑵证明：若力力有两个零点七，七，则孙孙

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）因为fG）定义域为。"8九所以f3»2，等价于

97n设gS"：Tn"Lj求导判断单调性，从而求得

g（x）⑴=e+1-2即可得证；

（2）不妨设孙（孙，由（1）可知无，上也是gGJ的两个零点，且九＜；,x2＞lf

于是由于g.在口力单调递减，故兀rn等价于虱勺）18（3.而

烈X」）二烈外）二4故无力。等价于俱”“8（90,设力/二£G-£（3,则①

式为富"）,G因此对力行佛导判断单调性即可得证.

【详解】（1）因为f3（定义域为“"8九所以F3I2/等价于

《Tn"J-a云L

设g小4TM…,则屋行”々^,

当0c”时，g（x）＜Ot当尸」时，g（x）＞0,

所以在⑥力单调递减，在亿+8）单调递增，

故〃32g⑴二"1-A.

因为aWd,所以于是/YZI24

（2）不妨设襄＜x；,由（1）可知X，，力也是的两个零点，且°＜x：（7,七），

于是由于gGJ在自力单调递减，故九孙＜7等价于烈孙）‘‘§（3.

而虱Z）二式七）二。故兀公＜7等价于俱”“§（3.①

设Mx"g⑨-g（j则①式为用孙）乂.

因为力'.二£（3（9=------?-----：.

设4（X.--e*+x-je»-J,

当时，/⑨二If"”打乂，故4⑨在2+8）单调递增，

所以二4从而力因此万GJ在亿+8J单调递增.

又孙），故/x》》h⑴=G,故对"）九（3,于是工,七包

【点睛】关键点点睛：本题第（2）问是极值点偏移问题，关键点是通过分析法,

构造函数加“二£3」-£（；）证明不等式.

【变式2-112.（2023•全国•高三专题练习）已知函数fG）二Jrlnr-aj+z.

（1）若尸》/时，求石的取值范围；

（2）当2二1时，方程ff力二b有两个不相等的实数根X，,丸，证明：x.x.＜1.

【答案】⑴，-应力

⑵证明见解析

【分析】（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围；

（2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论.

【详解】（1）,.,x2j,fGJ21,云《

设=Inx-/，6r呈L,，(“)二；一^二0，

当时,令屋⑨二(得不二，当/Wx＜那寸，gf(x)＜C,g/单调递减；当x)自

时，g'⑨＞0,单调递增，

：.g(a)＜g(l)-C3与已知矛盾.

当aWJ时，g'⑨.,.g3l在〃，，例上单调递增，...g㈤2g。”。

满足条件；

综上，与取值范围是r-8"」.

(2)证明：却二】时,f-11U,当x＞Lf(i)＞0,当0c＜/,/(x)＜0,

则打力在区间2+8)上单调递增，在区间(。力上单调递减，

不妨设，＜工，则「＜小＜】＜上，要证几年＜7,只需证‘＜孙＜一,

,"⑴在区间亿+划上单调递增，,只需证'

・

-f(xJ-f(x2)t..只需证

设F(x)=f(x)x《】),则/⑨=lnx-：lnjr二号】nx)。，

.,.尸㈤在区间(。力上单调递增，.,•尸㈤(尸⑴=，，即

成立,

与孙＜1.

【点睛】方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有：

(1)分离参数法：转叱为函数最值问题；

(2)直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论.

双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解.

【变式27】3.(2023•全国•高三专题练习)己知函数•e：

⑴求«x)在匕/8)上的最小值.

I

⑵设式力二式1)”新打Tnx一,若大x)有两个零点打，丸，证明：x：x2＜1.

【答案】(1"

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，令忒X）二二.色利用导数可知当4学】时，A（x）由

此可知得到Hx）单调性，由最值定义可求得结果；

（2）求导后，根据g'（x）正负可确定烈x）单调性，从而确定"汇的取值范围；采

用分析法可知要证1打<7,只需证得俱㈤=”勺»8㈢；令

"（%）nx-Nrur-'x'/）,利用导数可证得P（x），a结合（1）中结论可证得

W"（3,由此可得结论.

【详解】⑴知二字“斗中停•司,

令A（x）=._比,：6⑶=—：*'+三，

则当万》」时,从外20恒成立，」A（x）在\L*8）上单调递增，

•：Mx）二以力二4

又当时，9星4・：/（，）24・：H»在IZ+8）上单调递增，

E二N力二a

⑵由题意得：俱X）二三行-IHO。），则屋⑴二21^"■"—（三♦”

•:当x£（。刀时,/（x）<0；当x£（/+8）时,g'a）20；

•:双月在（。,力上单调递减，在（1/8）上单调递增，

:'6力有两个零点必，北,­•o<X：<1,J2>1，

要证九刀（乙只需证

又Q《与《1,0<7,<1,用力在（。力上单调递减，,：只需证用与）"§（：）,

又式乙）二小七），,：只需证烈”）1名（3,

即证：于3"“-25-3）0；

设「（力二X•2则。'（力二7-二弓二手乂，

・"（加（，+8］上单调递增，,力（力）0⑺二4

•：刀(孙)二盯一且口盯一：,0

由⑴知：呆肉叫唱-*』-3厂4°成立，

综上所述：XX《1.

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数的最值、证明不等式的问题；本

题证明不等式的关键是利用极