沪教版-七年级数学-整式章节复习

整式的章节复习整式的章节复习课前测试【题目】课前测试某校学生进行队列表演，在队列中第1排有8位学生，从第2排开始，每一排都比前一排增加2位学生，那么第n排（n为正整数）的学生数为．（用含有n的代数式表示）【答案】2n+6．【解析】每一排的座位数比前一排多2，可列出通项第n排座位数的数学表达式为8+2n﹣2解：依题意得：第n排（n为正整数）的学生数为：8+2n﹣2=2n+6．故答案是：2n+6．总结：考查了数字的规律，并找出规律进行求解的能力．以及代数式的表示【难度】3【题目】课前测试已知，那么=．【答案】34【解析】由题意将x+看为一个整体，然后根据x2+=（x+）2﹣2，把x+=6代入从而求解解：∵x+=6，∴=x2+=（x+）2﹣2=36﹣2=34．故答案为：34．总结：本题考查了此题主要考查完全平方公式的性质及其应用，注意整体思想的运用．【难度系数】3知识定位适用范围：沪教版，七年级知识点概述：本章重点部分是整式的章节复习，其中主要内容是整式的加减、整式的乘处除法，乘法公式，因式分解。其中整式的乘法除法、因式分解，乘法公式是重点以及难点，这章是学习以后章节的基础，很重要适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：成绩中等偏下的学生着重掌握整式的概念，整式的加减、整式的乘处除法，乘法公式，因式分解的一些基础概念以及规则，中等偏上的学生重点掌握整式的中等程度的训练，甚至难一些，针对基础偏好的学生需要加强对整式综合题的练习。重点选讲：整式的有关概念整式的有关概念整式的乘法因式分解知识梳理知识梳理1：整式的有关概念11、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。知识梳理2：多项式=1\*GB3①=1\*GB3①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。=2\*GB3②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号①几个单项式的和叫做多项式多项式：②每个单项式叫做这个多项式的项③多项式中不含字母的项叫做常数项④多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数⑤所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。2、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号（2）合并同类项。整式的乘法：整式的除法：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。整式的乘法：整式的除法：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。知识梳理3：因式分解分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。二项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法：（3）分组分解法：（4）十字相乘法：3、因式分解的一般步骤例题精讲题型1：单项式的判断下列代数式中，单项式的个数是①2x﹣3y；②；③；④﹣a；⑤；⑥；⑦﹣7x2y；⑧0（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】根据单项式的概念即可判断． 解：解：③；④﹣a；⑥；⑦﹣7x2y；⑧0是单项式，故选：C．总结：本题考查单项式的概念，属于基础题型【难度】2【题目】题型1变式练习1如果单项式﹣x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（）A．m=2，n=2 B．m=﹣2，n=2 C．m=﹣1，n=2 D．m=2，n=﹣1【答案】C．【解析】根根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m和n的值．解：∵单项式﹣x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，∴单项式﹣x2ym+2与xny是同类项，∴n=2，m+2=1，解得：m=﹣1，n=2．故选：C．总结：此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同是解答本题的关键．【难度】3【题目】题型1变式练习2单项式2a3b的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】根据单项式的性质即可求出答案．该单项式的次数为：4故选：C．总结：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型【难度】2题型2：整式的加减与化简求值的应用（1）化简后再求值：x+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2），其中|x﹣2|+（y+1）2=0（2）若关于x、y的单项式cx2a+2y2与0.4xy3b+4的和为零，则a2b﹣[a2b﹣（3abc﹣a2c）﹣4a2c]﹣3abc的值又是多少？【答案】﹣12．【解析】（1）先去括号，然后合并同类项得出最简整式，根据绝对值及偶次方的非负性可得出x及y的值，代入即可得出答案．（2）根据同类项的知识可得出关于a和b的方程，解出a和b的值，然后将所求式子化为最简，代入即可得出答案．（1）∵|x﹣2|+（y+1）2=0，∴x=2，y=﹣1，原式=x+6y2﹣4x﹣8x+4y2=﹣11x+10y2，当x=2，y=﹣1，原式=﹣12．（2）由题意可得，单项式cx2a+2y2与0.4xy3b+4是同类项，∴a=﹣；b=﹣；又c+0.4=0，∴c=﹣0.4，原式=﹣a2b+3a2c，当a=﹣；b=﹣，c=﹣0.4时，原式=．总结：本题考查了同类项及整式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．【难度】3【题目】题型2:变式练习1先化简，再求值：，其中x=2，y=1.【答案】-1【解析】解：==-2x+3y=-2×2+3×1=-1故答案为：-1总结：此题主要考查了化简以及整式的加减运算，合并同类型，正确将原式变形是解题关键．【难度】2【题目】题型2变式练习2如图，在长方形ABCD中，点Q在边CD上（不与点C、D重合），将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90°后，得到长方形A1B1C1D1，且重叠部分的四边形PCQD1是长方形．如果AB=a，BC=b，CQ=x．（b＞a＞0）（1）用含有a、b、x的代数式表示△QDC1的面积S1和△A1BP的面积S2．（2）求六边形ABA1B1C1D的面积S，并进行化简．【答案】（1）S1=x（a﹣x）；S2=（b﹣x）（b﹣a+x）；（2）b2+ab【解析】（1）由ABCD为矩形，得到AB=DC=a，BC=AD=b，由CD﹣CQ=QD表示出QD，利用三角形的面积公式表示△QDC1的面积S1即可；由BC﹣CP=BP，表示出BP，由A1D1﹣PD1=A1P，表示出AP1，利用三角形的面积公式表示出△A1BP的面积S2即可；（2）六边形的面积=△QDC1的面积+△A1BP的面积+两个矩形ABCD的面积﹣矩形PCQD1的面积，列出关系式，去括号合并即可得到结果．解：（1）根据题意列得：S1=x（a﹣x）；S2=（b﹣x）（b﹣a+x）；（2）S=x（a﹣x）+（b﹣x）（b﹣a+x）+2ab﹣x（a﹣x）=ax﹣x2+（b2﹣ab+bx﹣bx+ax﹣x2）+2ab﹣ax+x2=ax﹣x2+b2﹣ab+bx﹣bx+ax﹣x2+2ab﹣ax+x2=b2+ab．总结：此题考查了整式加减运算的应用，弄清题意是解本题的关键．【难度】4题型3：整式的乘法以及除法的应用1、计算：x2x3=（） （2x）2=（）2、计算：（5x5﹣3x2）÷（﹣x）2=．【答案】（1），（2）5x3﹣3【解析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可．解：（1）x2x3=、（2x）2=4x2（2）根据多项式除以单项式和同底数幂的除法可以解答本题．解：（5x5﹣3x2）÷（﹣x）2=（5x5﹣3x2）÷x2=5x3﹣3，故答案为：5x3﹣3．总结：本题考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；乘方，底数不变，指数相乘．整式的除法、同底数幂的除法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．【难度】2【题目】题型3变式练习1：若2x+3y﹣2=0，则9x﹣3•27y+1=．【答案】：【解析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而求出答案．．解：∵2x+3y﹣2=0，∴2x+3y=2，9x﹣3•27y+1=（32）x﹣3•（33）y+1=32x﹣6•33y+3=32x+3y﹣3，=3﹣1=．故答案为：．总结：此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．【难度】3【题目】题型3变式练习2已知一个多项式与的积为，求这个多项式.【答案】8a-6ab【解析】[]÷=[]÷=()÷=8a-6ab总结：此题主要考查了本题考查整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．【难度】3题型4：乘法公式的应用（1）如果多项式4x4+4x2+M是完全平方式，那么M不可能是（）A．x6 B．8x3 C．1 D．4（2）如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是（）A.1B.-2C.2D.-1【答案】：（1）D（2）C【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．解：A、当M=x6时，原式=4x4+4x2+x6=（x3+2x）2，故正确；B、当M=8x3时，原式=4x4+4x2+8x3=（2x2+2x）2，故正确；C、当M=1时，原式=4x4+4x2+1=（2x2+1）2，故正确；D、当M=4时，原式=4x4+4x2+4，不正确，故选：D．（2）【解析】根据（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，可得（a+b）（a﹣b）=8，再代入a+b=4可得答案．解：∵a2﹣b2=8，∴（a+b）（a﹣b）=8，∵a+b=4，∴a﹣b=2，故答案为：C总结：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键关键是掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【难度】2【题目】题型4变式练习1在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）。通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A.； B.；C.；D..【答案】A【解析】图形左的面积=图形右的面积由图形可知长为（），宽为（）总结：此题主要考查了完全平方式的推导的一个验证过程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【难度】3【题目】题型4变式练习2若是一个完全平方式，则的关系是；【答案】【解析】解：是一个完全平方式∴∴∴总结：此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式的特点及如何变成完全平方公式【难度】3【题目】题型4变式练习3化简求值：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中a=﹣2，b=．【答案】19【解析】先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再把a、b的值代入计算解：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+9b2+4a2+12ab+9b2=4a2+27b2，当a=﹣2，b=时，原式=4×（﹣2）2+27×（）2=16+3=19．总结：本题主要考查完全平方公式和平方差公式的运用，熟练掌握公式结构是解题的关键，要注意此类题目的解题格式．【难度】4题型5：因式分解下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B．42=2×3×7C．x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1） D．2x2﹣x﹣1=x（2x﹣1）﹣1【答案】C．【解析】解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，故选：C．总结：本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．【难度】2【题目】题型5变式练习1在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．【答案】．【解析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解：4a2﹣3=．故答案为：．总结：本题考查平方差公式分解因式，把4a2写成（2a）2，3写成（）2是利用平方差公式的关键．【难度】2【题目】题型5变式练习2因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=．【答案】n（n﹣m）（m+1）．【解析】先整理并确定公因式n（n﹣m），然后提取公因式即可得解解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），=mn（n﹣m）+n（n﹣m），=n（n﹣m）（m+1）．故答案为：n（n﹣m）（m+1）．总结：本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键，要注意运算符号的处理，是本题容易出错的地方．【难度】2【题目】题型5变式练习3已知多项式x2-xy-12y2.（1）将此多项式分解因式；（2）若此多项式的值等于-6，且x、y都是正整数，求满足条件的x、y的值。【答案】（1）（x-4y）（x+3y）（2）x=3、y=1【解析】根据十字相乘法分解因式即可得解：（1）x2-xy-12y2=（x-4y）（x+3y）（2）∵x、y都是正整数∴x-4y为整数、x+3y为正整数∵此多项式的值等于-6∴解得故x=3、y=1总结：本题主要考查因式分解﹣十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法的依据x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．【难度】3【题目】题型5变式练习4分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）．【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．总结：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键【难度】4【题目】兴趣篇1阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面图形面积来表示，如左图，表示.(1)请写出右图所表示的代数恒等式______。(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示.【答案】．【解析】根据图一可知由面积可得图二同样运用面积可得，即长×宽==同理能画出长为宽为的长方形总结：此题考查了完全平方公式以及完全平方公式的拓展应用【难度】3【题目】兴趣篇2小明在计算时，找不到计算器，去向小花借，小花看了看题说根本不需要计算器，而且很快说出了答案，你知道他是怎么做得吗？【答案】0.5【解析】本题可运用完全平方公式来计算令a=20052004，则原式====总结：本题是完全平方公式的应用，有一定难度，需要我们仔细观察题目中的规律来找方法【难度】4【题目】备选试题1贾宪三角如图，最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中．这一成果比国外领先600年！这个三角形的构造法则是：两腰都是1，其余每个数为其上方左右两数之和．它给出（a+b）n（n为正整数）展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2=a2+2ab+b2的展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数；等等．（1）请根据贾宪三角直接写出（a+b）4、（a+b）5的展开式：（a+b）4=．（a+b）5=．（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的（a+b）4的结果．【答案】（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；【解析】（1）根据系数规律，由题意展开即可；（2）利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，即可得到