《经济数学基础》课件第2章

第2章导数与微分2.1导数的概念2.2导数的运算2.3微分

2.1导数的概念

2.1.1引例

引例1(变速直线运动的速度)设一物体做变速直线运动，运动方程为s=s(t)，现求其在某一时刻t0的瞬时速度v0.

设时间t由t0变化到t0+Δt，则时间t的增量为Δt.相应地，路程增量为Δs=s(t0+Δt)－s(t0).于是，这段时间内的平均速度为.显然，当时间增量Δt很小时，平均速递就可以近似地表示物体在t0时刻的瞬时速度，并且Δt越小，近似的精确度越高.因此，当Δt→0时，如果极限

存在，则这个极限就表示了物体在t0时刻的瞬时速度，即例1

已知物体做自由落体运动，运动方程为

s=(1/2)gt2

求任意时刻t0的瞬时速度v0.

解给时间t在t0时刻以增量Δt，则相应的路程增量为于是，这段时间内的平均速度为令Δt→0，则t0时刻的瞬时速度为

引例2(平面曲线的切线斜率)设曲线y=f(x)上有一定点M0(x0，y0)，求曲线在该点的切线斜率.

如图2-1所示，在曲线y=f(x)上任取一动点M(x0+Δx，y0+Δy)，作割线M0M，当动点M沿着曲线无限趋近于定点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的切线，过M0且与切线垂直的直线称为曲线在点M0处的法线.由于割线M0M的斜率为故令Δx→0，则过点M0的切线斜率为图2-1引例3(边际成本问题)设某产品的总成本C是产量Q的函数：C=C(Q)，求产量为Q0时，总成本的变化率.

当产量Q由Q0变化到Q0+ΔQ时，总成本的改变量为

ΔC=C(Q0+ΔQ)－C(Q0)于是总成本的平均变化率为

当ΔQ很小时，上式可近似表示总成本在Q0的变化率，并且ΔQ越小，近似程度越高，故令ΔQ→0，可得总成本的变化率为在经济学中，总成本的变化率也称为边际成本.2.1.2导数的概念

1.导数的定义

定义2.1

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx(≠0)时，函数f(x)有相应的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果当Δx→0时，存在，则称f(x)在点x0处可导，并将此极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)或y′(x0)或(dy/dx)|x=x0或(df(x)/dx)|x=x0.如果

不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.例2

求函数y=3x2－x+1在x0=2处的导数.

解给自变量x在x0=2处以增量Δx，则函数相应的增量为

Δy=3(2+Δx)2－(2+Δx)+1－11

=3(Δx)2+11Δx

于是

故有

即

f′(2)=11定义2.2

如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，则称函数f(x)在区间(a，b)内可导.

如果函数f(x)在区间(a，b)内可导，则对于任意x∈(a，b)，都有一个确定的导数值f′(x)与之对应，这样就确定了一个新函数.我们称这个新函数为函数y=f(x)在区间(a，b)内的导函数，简称导数，记作y′或f′(x)或(dy/dx)或(df(x)/dx).

注函数在点x0处的导数等于其导函数在该点的函数值.

有了导数的概念后，2.1.1节中所讲的三个引例就可以用导数来表示，它们分别表示了导数在物理、几何、经济方面的意义：

导数的物理意义——瞬时速度，即v(t)=s′(t)；

导数的几何意义——切线斜率，即k切=f′(x)；导数的经济意义——边际成本，即MC=C′(Q).

根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一般步骤如下：

(1)求函数f(x)的增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)求比值：；

(3)取极限：.

例3

求函数y=c(c为常数)的导数.

解

(1)求增量:

Δy=f(x+Δx)－f(x)=c－c=0

(2)求比值:

(3)取极限:

故有

c′=0

例4

求函数y=x2的导数.

解

(1)求增量:

Δy=(x+Δx)2－x2=2xΔx+(Δx)2

(2)求比值:

(Δy/Δx)=2x+Δx

(3)取极限:y′＝故有

(x2)′=2x

一般地，对于幂函数y=xa的导数，有如下公式:

(xa)′=axa－1(其中a为任意常数)

例5

求函数y=sinx的导数.

解

(1)求增量:

Δy=sin(x+Δx)－sinx

(2)求比值:

故有

(sinx)′=cosx

类似地，可以得到

(cosx)′=－sinx

例6

求对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的导数.

解

(1)求增量:(2)求比值:

(3)取极限:

故有

一般地，例7(边际利润)在经济数学中，边际利润定义为产量增加一个单位时所增加的利润.

设某产品产量为Q个单位时总利润为L=L(Q)，当产量由Q变为Q+ΔQ时，总利润函数的改变量为

ΔL=L(Q+ΔQ)－L(Q)

总利润函数的平均变化率为

它表示产量由Q变到Q+ΔQ时，在平均意义下的边际利润.

当总利润函数L=L(Q)可导时，其变化率表示该产品产量为Q时的边际利润，即边际利润是总利润函数关于产量的导数.

类似地，在经济数学中，边际成本定义为多生产一个单位产品所增加的成本投入，即C′(Q)，这里C(Q)表示生产量为Q时的总成本投入.

2.左、右导数

由于导数本身就是极限，而极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，因此，极限:分别称为函数y=f(x)在点x0处的左导数和右导数，分别记为

f′－(x0)和f′+(x0).

于是，有如下定理.

定理2.1

函数f(x)在点x0处可导的充要条件是f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等.

例8

设函数，试讨论f(x)在点x=1处是否可导.

解由于故f′(1)=22.1.3导数的几何意义

由引例2可知，函数y=f(x)在点x0处的导数就是它所表示的曲线在点M0(x0，y0)处的切线MT的斜率，即k=f′(x0)

于是，曲线y=f(x)在点M0(x0，y0)处的切线方程为

y－y0=f′(x0)(x－x0)

若f′(x0)≠0，则曲线y=f(x)在点M0(x0，y0)处的法线方程为例9

求抛物线y=x3在点(1，1)处的切线和法线方程.

解因为y′=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3在点(1，1)处的切线斜率为

k=y′|x=1=3

故所求切线方程为

y－1=3(x－1)

法线方程为2.1.4可导与连续的关系

设函数y=f(x)在点x0处可导，即

存在，由极限的运算法则得

由函数连续性的定义可知，f(x)在点x0处连续，故有如下结论.

定理2.2

如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在点x0处一定连续.反之，逆命题不一定成立.

例10

讨论函数

解如图2-2所示，因为在点x=0处的连续性与可导性.Δy=f(0+Δx)－f(0)=|Δx|图2-2所以

故处连续.

又因为

显然左、右导数存在但不相等，故函数在点x=0处不可导.

因此，函数连续是可导的必要而非充分条件.

2.2导数的运算

2.2.1导数的四则运算法则

定理2.3

如果函数u=u(x)、v=v(x)都在点x处可导，则函数u(x)±v(x)、u(x)v(x)、[u(x)/v(x)](v(x)≠0)也在点x处可导，且有

(1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；

(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)

，其中v(x)≠0.例1

求函数y=x2+(3/x)－lnx+sina的导数.

解

例2

求函数y=(x3+2x)cosx的导数.

解

例3

求函数y=tanx的导数.

解即(tanx)′=sec2x

类似地，可得

(cotx)′=－csc2x

(secx)′=secxtanx

(cscx)′=－cscxcotx

例4

设f(x)=(ex

cosx/x2)，求f′(x).

解

2.2.2反函数的求导法则

定理2.4

如果单调连续函数x=g(y)在点y处可导，且g′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在对应点x处也可导，且有例5

求y=ax(a>0，a≠1)的导数.

解因为y=ax是x=logay的反函数，且有所以即

(ax)′=axlna

特别地，当a=e时，有

(ex)′=ex

例6

求y=arcsinx，x∈(－1，1)的导数.

解因为y=arcsinx是x=siny的反函数，，且有

所以即

，x∈(－1，1)

类似地，可得

，x∈(－1，1)

例7

求y=arctanx的导数.

解因为y=arctanx是x=tany

的反函数，且有所以即类似地，可得2.2.3复合函数的求导法则

定理2.5(复合函数的求导法则)设函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在相应的点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导，且有

该法则可以叙述为：复合函数的导数，等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.例8

求y=cos(3x+5)的导数.

解设y=cosu，u=3x+5，则有

y′=(cosu)′(3x+5)′=－3sinu=－3sin(3x+5)

例9

求

的导数.

解设

，u=2x2+5x－3，则有例10

求y=ln(tan3x)的导数.

解设y=lnu，u=tanv，v=3x，则有例11

求函数

的导数.

解

例12

求下列函数的导数:2.2.4基本初等函数的导数公式

前面我们利用导数概念、四则运算求导法则、反函数求导法则等内容求出了部分基本初等函数的导数公式.为了便于记忆和运算，下面将六类基本初等函数的导数公式归纳如下：

(1)(C)′=0(C为常数)；

(2)(xa)′=axa－1(a为常数)；

(3)(ax)′=axlna(a>0，a≠1)；

(4)(ex)′=ex； 2.2.5高阶导数

2.1.1节的引例1中介绍了变速直线运动的瞬时速度v(t)是路程函数s=s(t)对时间t的导数，即v(t)=s′(t).由物理学可知，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度，即a(t)=v′(t).于是，加速度a(t)就是路程函数s=s(t)对时间t的导数的导数，我们称为路程函数s(t)对时间t的二阶导数，记作s″(t)，即a(t)=s″(t).例13

求下列函数的二阶导数:

(1)y=x3+3x2+1；

(2)y=x2e2x.

解

(1)y′=3x2+6x，y″=6x+6

(2)y′=2xe2x+2x2e2x，y″=2e2x+8xe2x+4x2e2x=e2x(2+8x+4x2)

例14

设f(x)=x2lnx，求f'''(x)、f(2).

解由f′(x)=2xlnx+x，f″(x)=2lnx+3得故

f'''(2)=1例15

求y=sinx的n阶导数.

解由于故以此类推，可得…

2.3微分

2.3.1微分的概念

1.微分的概念

引例一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0+Δx，如图2-3所示，求此薄片的面积改变量.

分析设正方形金属薄片的边长为x，面积为A，则A=x2，薄片受温度变化影响时，面积A的改变量为

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0Δx+(Δx)2图2-3上式包含两个部分:第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；第二部分(Δx)2在图中是空白的小正方形的面积，因为

，即第二部分(Δx)2是比Δx高阶的无穷小.由此可见，如果边长x的改变量Δx的绝对值很小，第二部分(Δx)2就可以忽略不计，面积增量ΔA可近似地用第一部分代替，即

ΔA≈2x0Δx

又因为

故有

ΔA≈A′(x0)Δx定义2.3

设函数y=f(x)在点x0处可导，则称f′(x0)Δx为函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy，即

dy=f′(x0)Δx

如引例中，函数A=x2在点x0处的微分为

dA=2x0Δx

注函数y=f(x)在任意点x处的微分称为函数的微分，记作

dy=f′(x)Δx

由于对于函数y=x而言，dy=dx=(x)‘Δx=Δx，这说明自变量的微分dx就等于它的改变量Δx，故而函数的微分可以写成

dy=f′(x)dx

给上式两边同除以dx，可得例1

求函数y=x2在x0=2、Δx=0.01时的改变量与微分.

解

2.微分的几何意义

在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线，如图2-4所示，设曲线上有一定点M0(x0，y0)，当自变量x有微小增量Δx时，得到曲线上另一动点M(x0+Δx，y0+Δy)，过点M0作曲线的切线M0T，它的倾斜角为α，则切线的斜率为

tanα=f′(x0)

又由图中可得tanα=(NT/M0N)，M0N=Δx，于是

NT=M0N·tanα=f′(x0)·Δx

即

dy=NT

由此可见，函数微分的几何意义是：在曲线上某一点处，当自变量x取得微小改变量Δx时，曲线在该点处的切线上纵坐标的改变量.图2-42.3.2微分的计算

由于函数的微分dy=f′(x)dx，故只需计算出函数的导数便可求出其微分.于是，根据函数的导数公式与导数运算法则，便可得到相应的函数微分公式和运算法则.

1.微分的基本公式

(1)d(C)=0;

(2)d(xa)=axa－1dx(a为常数);

(3)d(ax)=axlnadx;

(4)d(ex)=exdx;

(5)d(logax)=(1/xlna)dx;

(6)d(lnx)=1/xdx;

(7)d(sinx)=cosxdx;

(8)d(cosx)=－sinxdx;(9)d(tanx)=sec2xdx;

(10)d(cotx)=－csc2xdx;

(11)d(secx)=secxtanxdx;

(12)d(cscx)=－cscxcotxdx;

(13)

(14)

(15)

(16)

2.函数和、差、积、商的微分法则

(1)d(u±v)=du±dv;

(2)d(uv)=vdu+u

dv;

(3)d(cu)=cdu(c为常数);

(4)d(u/v)=(vdu－udv)/v2(v≠0).

3.微分形式的不变性

对于函数y=f(u)，如果u仅为自变量，函数y=f(u)的微分是

dy=f′(u)du如果u不是自变量，而是x的可导函数u=φ(x)，则由于复合函数y=f[φ(x)]的导数为

y′=f′(u)φ′(x)

所以函数的微分为

dy=f′(