天津市五区县重点校联考2024−2025学年高二上学期11月期中联考数学试题含答案

天津市五区县重点校联考2024−2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题（本大题共9小题）1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）.A． B．C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（

）A． B．C． D．3．方程表示椭圆的充要条件是（）.A． B．或C． D．4．若直线与平行，则的值为（

）A．0 B．2 C．3 D．2或35．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知直线：与直线：交于点A，若点，则AB的最小值为（

）A． B．2 C． D．9．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）10．已知.则．11．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为12．若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则.13．点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则.14．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为.15．已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为.三、解答题（本大题共5小题）16．直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.17．如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.18．已知椭圆：经过点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.19．如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．20．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求的方程；(2)直线交于两点.（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

参考答案1．【答案】C【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：.2．【答案】C【分析】根据空间直角坐标中点的对称规则判断即可.【详解】点关于轴对称点的坐标为.故选C．3．【答案】B【详解】若表示椭圆，则，解得或.故选：.4．【答案】D【详解】因为直线与平行，所以，解得或，当时直线与平行，符合题意；当时直线与平行，符合题意；所以或.故选：D5．【答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.【详解】，而，故直线的取值范围为.故选A.6．【答案】B【详解】易知直线，过定点，圆的标准方程是，圆心为，半径为，而，所以．故选：B．7．【答案】A【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解.【详解】连接交于点O，由题意得，，，如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设，所以，

设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设顶点B到平面距离为d，则，当时，，当时，，所以当，即时，点B到平面距离最大，最大值为.故选A.8．【答案】A【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直；当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直；易知直线经过定点，直线经过定点，所以点A在以为直径的圆上，的中点为，所以，所以圆，所以,所以，故选：A.9．【答案】B【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知，由，故，，点满足，即，则，又，，即，又，故，则，即，即平分，又，故，则，则，，，由，故，即，即，又，故.故选B.【关键点拨】本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到.10．【答案】【详解】因为，且，所以，解得，则，故，所以.故答案为：．11．【答案】或【详解】当截距为0时，设，将代入直线方程，，解得，故直线的方程为，当截距不为0时，设直线的方程为，将代入直线方程，，解得，故直线的方程为，故直线的方程为或.故答案为：或12．【答案】【详解】由题意可知圆心到直线的距离，即，解得，所以.故答案为：13．【答案】4【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可．【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为的中位线，，由椭圆的定义得．故答案为：4．14．【答案】【详解】由得点在圆上，所以点在圆上，又在圆上，所以两圆有交点，因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，即，解得，所以的最小值为.故答案为：.15．【答案】【详解】如图，设，，延长交于，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，因此，则，可得，，又，则，因此可得，又在中，，则，将，代入得，即，由所以，所以，.故答案为：.16．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，又因为直线过点，所以，即，所以直线的方程为；（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，又因为该圆过点、，所以有，解得，所以圆心坐标为，半径，故圆的方程为.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由平面，底面为正方形，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，，故，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离为.18．【答案】(1)(2)4【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出椭圆的标准方程；（2）由原点到直线的距离为2，可得，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，从而可表示出的面积，化简后结合基本不等式可求得其最大值.【详解】（1）由题意可得：，又离心率为，所以，可得，那么，代入可得：，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，设，，联立可得：，其判别式，可知由韦达定理可得：，，那么，所以的面积当且仅当时取得等号，所以△的面积的最大值.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，则，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）得即为平面的一个法向量，，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，则，所以二面角的正弦值为；（3）设，则，因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，解得（舍去），所以.

【点睛】20．【答案】(1)(2)（i）证明见详解；（ii）【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得；（2）（i）由点差法可得，进而有；（ii）联立，可得，故由重心坐标公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分线上，根据其方程，可得，由在上进而可得.【详解】（1）由题意，得，解得，所以的方程为；（2）依题意可设点，且，（i）证明