天津市河西区2024−2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷含答案

天津市河西区2024−2025学年高二上学期期中质量调查数学试卷一、单选题（本大题共9小题）1．已知向量，则等于（

）A． B． C．1 D．22．直线的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．135°3．在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述：①点关于轴的对称点的坐标是；②点关于平面的对称点的坐标是；③点关于轴的对称点的坐标是；④点关于原点的对称点的坐标是．其中正确的个数是（

）A．3 B．2 C．1 D．04．已知向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则直线与平面所成的角为（

）A． B． C． D．5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（

）A．（－∞，－2）∪ B．C．（－2，0） D．6．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点A． B．C． D．7．设空间四点满足，其中，则（

）A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对8．在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．9．已知点，且，则直线AB的方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和二、填空题（本大题共6小题）10．．已知向量，使成立的x与使成立的x分别为．11．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______12．已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为．13．已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于．14．已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值．15．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为．三、解答题（本大题共5小题）16．如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：

(1)；(2)；(3)；(4)．17．已知空间三点，设．(1)若，，求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与互相垂直，求k．18．已知点到直线的距离均为，求直线的方程．19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

(1)证明：；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值．

参考答案1．【答案】C【详解】解：由题意得：故选：C2．【答案】B【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°.故选：B3．【答案】C【详解】空间直角坐标系中，点.对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误；对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误；对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误；对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确；综上知，正确的个数是1.故选C.4．【答案】A【详解】因为向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，设直线与平面所成的角为，则，又，所以，即直线与平面所成的角为.故选：A5．【答案】D【详解】由题得方程为＋（y＋a）2＝1－a－因为方程＋（y＋a）2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.故选D.6．【答案】B【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.7．【答案】A【详解】因为，所以，而，故，所以，所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A8．【答案】B【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示，∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角．在△OEH中，，HE＝，OH＝．由余弦定理，可得cos∠OEH＝．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．9．【答案】B【详解】解：因为点，，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以直线的方程：．即或．故选：．10．【答案】，－6【详解】因为，当时，，解得；当时，，解得．故答案为：，－6.11．【答案】3x－y＋3＝0【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0故答案为：3x−y+3=012．【答案】.【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.13．【答案】【详解】因为，所以，因为两条直线垂直，且，所以，解得，此时，将代入中，得到，解得，此时垂足为点，将代入中，得到，解得，故.故答案为：14．【答案】【详解】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，圆的圆心坐标为，半径为，所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即.15．【答案】【详解】取射线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．设平面A1D1E的法向量为=(x，y，z)．则即，令z＝2，则x＝1，得=(1，0，2)，又＝，所以点F到平面A1D1E的距离.【方法总结】向量法求点面距离：求点P到平面α的距离的步骤：①在平面α内取一点A，确定向量eq\o(PA,\s\up6(→))的坐标；②确定平面α的法向量n；③代入公式d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．16．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）如图，连接，

则，（2）连接，则．（3），（4）.17．【答案】(1)或；(2)；(3)或.【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为，所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.18．【答案】或或【详解】当点在直线的同侧时，得到，由斜率公式得直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，则可设直线的方程为，因为两平行直线间的距离为，所以，解得或，直线的方程为或，当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上，即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为，由点到直线的距离公式得，解得．所以直线的方程为．综上，直线的方程为线或或．19．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】（1）求出到直线的距离即半径，写出圆的方程即可.（2）利用垂径定理，得出直线与垂直.设出的方程，表示出到直线的距离，利用勾股定理算出的值，从而得出直线的方程.【详解】解：（Ⅰ）依题意知圆的半径等于原点到直线的距离，即，所以圆的方程为．

（Ⅱ）由题意，可设直线的方程为，

则圆心到直线的距离．

故，即．所以直线的方程为或．20．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用位置关系的向量证明推理判断.（2）利用空间向量求出线面角的正弦作答.（3）利用空间向量确定点F的位置，再利用空间向量求出面面角的余弦作答.【详解】（1）在四棱锥中，