山东名校考试联盟2024−2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

山东名校考试联盟2024−2025学年高二上学期期中检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．给出下列关于空间向量的命题，其中正确的结论是（）A．若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面B．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面C．两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则D．与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面3．圆：与圆：的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离4．已知圆O：上有A，B两点，若满足，则（）A．2 B． C． D．5．在空间直角坐标系中，已知A2,0,0，，，，，若线段与平面交于点，则（）A． B． C． D．6．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（）A．当时，直线的一个方向向量为（1，0）B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面7．直角坐标系中直线上的横坐标分别为-2，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（）A． B． C．1 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下列命题中正确的是（）A．过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线方程为B．若，在直线的两侧，则的取值范围为C．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为D．过定点的直线截圆：所得的弦长为，则直线方程为和11．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（）A．异面直线与所成角的余弦值为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．点A到平面的距离为D．平面与平面所成的角的大小为三、填空题（本大题共3小题）12．如图，在长方体中，以点D为原点，，，所在的直线分别x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为，则向量的坐标为.13．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是.14．以坐标原点为圆心的圆与轴的负半轴交于点，直线与圆相交于、两点（其中点在轴的右侧），以为直径的圆与相交于、两点，若直线与的斜率互为倒数，且，则圆的方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C过点，，圆心C在直线上.(1)求圆C的标准方程.(2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点.16．如图，N是三棱柱的棱的中点，(1)若，求的值；(2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值.17．如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求的值；(3)当取何值时，与平面所成的角最大?18．已知长度为3的线段的两个端点M和N分别在x轴和y轴上滑动，点T满足.记点T的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”；若Ax1,y1，B(1)①点，，求的值；②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，(2)已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值；(3)我们把到两定点F1-c,0，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.

参考答案1．【答案】B【详解】设直线倾斜角为，直线的斜率为，又倾斜角的取值范围为，所以直线的倾斜角.故选：B.2．【答案】C【详解】对于A，任何两个向量，都是共面向量，所以A不正确；对于B，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，所以B不正确；对于C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则与共线，所以C正确；对于D，若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，此时与、共面，所以D不正确.故选：C.3．【答案】A【详解】圆的圆心，半径为6，圆的圆心，半径为1，所以，所以，两圆位置关系为内切，故选：A.4．【答案】D【详解】设Ax1,y1、B则，且∴，即.∵，两点在圆上，∴，，又∵，∴.∴.故选：D.由题意可知，，，则.故选：D.5．【答案】B【详解】，，设平面的法向量为，由，可知，且，令，则，所以，为平面的一个法向量，因为在线段上，设，所以，由可得：所以，，即，所以，故选：B.6．【答案】C【详解】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确；对于B，当时，得，即；当时，得，即，联立方程得，则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确；对于C，当时，坐标原点到直线的距离，而，则，故，即最小值为，故C正确；对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确；故选：C.7．【答案】A【详解】直线上的横坐标分别为-2，的两点、的坐标分别为，，如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，则、的夹角为，又，，，，，，则，解得，而，则.故选：A.8．【答案】B【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则.

设，则有，解得，所以.设第一象限内的点Px0,y0而，，所以点到轴的距离为，所以可视为线段上的点Px0,y0到轴的距离和到的距离之和过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B.9．【答案】ABD【详解】因为，所以，，共面，所以A正确；因为，所以，，共面，所以B正确；假设存在m，n，使得，则，显然无解，所以，，不共面，所以C不正确；因为，所以，，共面，所以D正确故选：ABD10．【答案】BD【详解】对于A，当直线过原点时，方程为时，也成立，所以A不正确.对于B，显然直线经过定点，故，因为，，在直线的两侧，则该直线与线段相交，且不过、两点，由可知斜率为：，所以或，即或，故B正确.对于C，当直线与直线平行时，；当直线与直线平行时，；当三条直线交于同一点时，.所以，若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为，故C不正确.对于D，圆：，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆被直线截得的弦长为，符合题意.当直线斜率存在时，设直线方程为，即此时圆心到直线的距离，所以，，此时直线的方程为，故D正确.故选：BD11．【答案】AC【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，，设，由E为的中点可得，解得，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：，，，，，则，，，，对于A，易知，所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确；对于B，设平面的法向量为，，即，取，，设与平面所成的角为，则，选项B不正确；对于C，点A到平面的距离为，选项C正确.对于D，设平面的法向量为，，则，即，取，，，所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.故选：AC.12．【答案】【详解】可设，，，依题意可得，，则，所以，，，则点，所以.故答案为：13．【答案】【详解】由题意可知，，不妨设，则，，，如下图所示：所以上、下截面椭圆的离心率分别为，，所以.故答案为：14．【答案】.【详解】如图所示，以为直径的圆与相交于、两点，显然，直线：过圆心，所以，，而，所以，，所以，直线与直线的倾斜角互补，即，又因为与为圆的半径，所以△为正三角形，所以，在△中，由正弦定理可得：，故圆的半径为，即圆的方程为：.故答案为：.15．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1）由，可得，的中点，，所以，线段的中垂线斜率为1，所以线段的中垂线方程为：，联立可得，圆心C点坐标为，圆C的半径，所以圆C的标准方程为：.（2）依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，

所以，，所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：，联立，两式作差并化简得直线的方程为：，当时，，所以，直线过定点（3,0）.另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，，则点A，B在以为直径的圆上，由点，可知为直径的圆的方程为，联立，可得直线的方程为：，当时，，所以，直线过定点（3，0）.另解2：依题意，设点，Ax1,y因为与圆C相切，则，而，所以，即整理得，而，则，因为与圆C相切，则，而，所以，即整理得，而，则，所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：，当时，，所以，直线过定点（3,0）.16．【答案】(1)-1(2)【详解】（1），而，则，，，所以（2）假设存在点，使，设，.由题意可知设，又，，则，，因为，所以，即，∴.∴，即，解得，即时，则.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如图，设，则是线段的中点，连接，由得，又矩形中，是线段的中点，则，，所以为平行四边形，则，因为四边形为矩形，则，故，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为平面，，则平面，且，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，，是线段的中点，则，，，，，，从而，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，从而平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，整理得，而，所以.（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，，因为，当且仅当，即时等号成立，则，所以当时，与平面所成的角最大，最大为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）设点，，，由得，解得，，即，，由可得，整理得，即曲线的方程为；（2）因为为的垂心，故有，，

又，所以，故设直线的方程为，代入，可得：，整理得，由得，设Ax1,y1由，得，，，即，所以，所以，化简得，解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.19．【答案】(1)①；②；(2)2；(3)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析.【详解】（1）①根据“曼哈顿距离”的定义得；②到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为.（2）设直线上任意一点坐标为，