四川省成都市四川天府新区华阳中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

四川省成都市四川天府新区华阳中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设向量，若，则（

）A． B． C．1 D．42．在空间坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．3．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（

）A． B．C． D．5．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知曲线，点A为曲线C上任意一点，过点A作轴的垂线，垂足为点N，点P为AN上一点，且满足，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．或8．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．给出下列命题，其中正确的是（

）A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称点的坐标是C．点P为平面ABC上一点，且，则D．非零向量，若，则为锐角10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）

A．CC1⊥BDB．C．夹角是60°D．直线与直线的距离是11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（

）A．若点，则B．若对于三点，则“”当且仅当“点在线段上”C．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是D．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是三、填空题（本大题共1小题）12．若向量，，则．四、解答题（本大题共1小题）13．求点到直线（为任意实数）的距离的最大值．五、填空题（本大题共1小题）14．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则MN的取值范围是.六、解答题（本大题共5小题）15．的三个顶点，，，求：(1)边上的高所在直线方程；(2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度．16．已知圆C过点，点和点.(1)求圆C的标准方程；(2)设点为圆C上任意一点，求代数式的最值.17．在中，为直角，，点D，E分别在边AC和边AB上，且，，如图甲.将折起到的位置，使，点M在棱上，如图乙.(1)求证：；(2)若M是的中点，求CM与平面所成角的大小.18．已知圆，直线过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，求面积的最小值及此时的直线方程.19．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上.（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.

参考答案1．【答案】D【详解】因为，所以，即，解得.故选：D.2．【答案】A【详解】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于轴对称的点坐标是.故选：A.3．【答案】C【详解】直线的斜率为1，则倾斜角为.故选：C.4．【答案】B【详解】由题意，，因为直线的斜率为1，则直线的斜率为，又在上，所以在上，所以的方程是，即.故选：B.5．【答案】B【详解】圆：，圆：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.故选：B6．【答案】C【详解】设，，则，由，得，则，又A为曲线C上任意一点，则将代入，得，即，即.故选：C.7．【答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，即且，所以．故选：B．8．【答案】C【详解】如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.故选C.9．【答案】ABC【详解】对A，若是空间的一个基底，则，，不共面，假设共面，则存在实数，，使，，，，不共面，，则，无解，故不共面，也是空间的一个基底，故A正确.选项B：点关于坐标平面的对称点是，选项B正确.选项C：由空间向量共面的推论可知成立，，则，选项C正确.选项D：，则，，可能为零角或直角或锐角，选项D错误.故选：ABC.10．【答案】ABD【详解】

如图，设，则对于A，因，则，故A正确；对于B，因，，则，故B正确；对于C，，则，且设夹角为，则，因，则，即C错误；对于D,在平行六面体中，易得,则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.因，且，则，故D正确.故选：ABD.11．【答案】AD【分析】由定义可以判断A选项，由数形结合即可判断出B选项，CD选项是求点与点的“曼哈顿距离”，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可判断.【详解】对于A选项：由定义可知，故A正确；对于B选项：设点，，则，显然，当点在线段上时，，，所以成立，如图：过点作轴，过点作轴，和相交于点，过点作于点，过点作于点，由图可知显然此时点不在线段上，故B错误；对于CD选项：因为当时，所以想要最小，点到直线距离最小时取得，所以过原点作直线交圆于，如图：设，则所以设点，则又因为当，①当时，由；②当时，由又因为；所以的最小值为：.故C错误，D正确.故选AD.12．【答案】【分析】根据空间向量的加法运算和模长公式求解.【详解】由题意，，于是.故答案为：13．【答案】【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线，∴可将直线方程变形为，∴，解得，由此可得直线系恒过点则P到直线l的最近距离为A，此时直线过P．P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∴．14．【答案】【详解】由于直线恒过定点，圆心，设，则，故，即，化简可得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，由于在圆外，,故，即，故答案为：

15．【答案】(1)(2)；中线的长度为5.【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，，则，由斜截式知边上的高所在直线方程为：，即边上的高所在直线方程为：.（2）的三个顶点，，，故边上的中点，边上的中线所在直线方程为，即.边上的中线的长度.16．【答案】(1)(2)最小值为，最大值为【详解】（1）设圆C的标准方程为，则，解得，所以圆C的标准方程为.（2）由（1）知，圆C的圆心，半径，由，因为表示点Px,y与之间的距离，即，又，所以，，则的最小值为，最大值为.

17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在图甲中，，则，因此在图乙中，，又平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知，平面，且，如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得.设与平面所成角的大小为，则，则，即与平面所成角的大小为.18．【答案】(1)或(2)面积最小值，此时直线的方程为【详解】（1）解：由圆可得：圆心坐标为，半径为，分以下两种情况讨论：若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意；若直线斜率存在，设直线方程为，即.由直线与圆相切可得：，解得.此时直线的方程为：，综上直线的方程为：或.（2）解：由题意，设点、，则，，所以，直线的方程为，则，由基本不等式可得，即，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，直线的方程为，即，所以，面积的最小值为，此时，直线的方程为.19．【答案】(1)(2)（i）7（ii）证明见解析，【详解】（1）设点，由题意可得，即，化简得，所以点的轨迹