上海市高桥中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

高桥中学2024学年第一学期高三年级数学期中一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1、若集合，，则________．2、若复数，则其共轭复数的虚部为________．3、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则________．4、不等式的解集为________．5、的展开式中，常数项为________．6、双曲线的两条渐近线的夹角为________．7、若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为________．8、已知向量，的夹角为，且，，则________．9、某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率为0.2和．若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则________．10、顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为________cm．（精确到）11、对于正整数，记表示的最大奇数因数，例如，，．设．当，时，________．12、已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为________．二、选择题（本题满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）13、用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至少有两个角 B．有且只有两个解C．至少有三个解 D．至多有一个解14、以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩（单位：分）：72、86、80、88、83、78、81、90、91、92，则这10个成绩的第75百分位数是（）A．90 B．89 C．88 D．88.515、已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（）A． B． C． D．16、已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，使得是偶函数B.存在，使得在上单调递减C.存在，使得在处取极大值D.存在，使得是的最小值三、解答题（本大题共有5分，满分78分）17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2．（1）求该圆锥的侧面积；（2）设，为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值．18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）为庆祝神州十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，己知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在的学生中抽取12人作为航天知识宣讲使者．现从这12名使者中随机抽取2人作为组长，求至少有一名组长的竞赛成绩在内的概率．19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备．如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，记，三条轨道的总长度为米．（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．20、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的法向量为，求直线的方程；（3）是否存在直线，使得为直角三角形?若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数的图像上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”．（1）试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；（2）若，求函数的图像的“自公切线”方程；（3）若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11、对于正整数，记表示的最大奇数因数，例如，，．设．当，时，________．【答案】【解析】当时，

于是.故答案为:.12、已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】函数,当时，可得作图如下：

由题意,若,则,化简可得,解得,

当时,,此时不符合题意，

当时，令令,且函数图象的对称轴为直线

由,则或,所以函数在上单调递减,

可得,则在上单调递减,,则在上恒成立，所以此时不符合题意;当时,可作图如下:显然不存在符合题意的.

综上所述，的取值范围为.故答案为:.二、选择题13.C14.A15.A16.D15、已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图,圆的圆心为,半径

显然点为抛物线的焦点,抛物线的准线方程为,

设则

所以,因此,即有,解得

设直线的方程为,显然,由消去得,则有,解得.故选：B.16、已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，使得是偶函数B.存在，使得在上单调递减C.存在，使得在处取极大值D.存在，使得是的最小值【答案】D【解析】依题意，，选项,若是偶函数,则,则当,时,不满足选项错误.选项,若在上单调递减,则,与题意矛盾，选项错误.选项,若在处取极大值,则存在,使得在区间上,单调递增,

与""矛盾,所以选项错误.选项,设,画出图象如下图所示,

由图可知,满足,且是的最小值，所以选项正确.故选：D.三．解答题17.（1）（2）18.（1）平均数为（2）19.（1）（2）20、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的法向量为，求直线的方程；（3）是否存在直线，使得为直角三角形?若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，直线的斜率为.【解析】（1）由题意可得,可得,又因为所以椭圆的方程为;

（2）由条件知:直线的斜率为,方程为

则由,得,所以,从而.

由于,所以直线的方程为,同理可得,

所以直线的斜率为,从而直线的方程为,即.

（3）假设存在满足条件的直线,并设直线的方程为,

则由,得,所以,

由于,所以直线的方程为同理可得,故直线的斜率为

当为直角三角形时,只有可能,或,于是,或.若,由,可得;从而;若,由,可得，也有.因此,直线的斜率为.21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数的图像上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”．（1）试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；（2）若，求函数的图像的“自公切线”方程；（3）若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”．【答案】（1）存在,不存在;（2）（3）证明见解析【解析】（1）因为直线是的图像的一条"自公切线",故函数的图像存在"自公切线";

对于是严格减函数,故在不同点处的切线斜率不同,所以函数的图像不存在"自公切线",所以的图像存在"自公切线",函数的图像不存在"自公切线";

（2）函数,求导得

显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，

设切点,则存在,使得,

则在点处的切线方程为,在点处的切线方程为,因此，消去可得令,求导得

则函数在上单调递增,又,函数的零点为-1,因此,所以曲